【摘要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中，在數(shù)與代數(shù)領域增加了代數(shù)推理的內容.因此，如何發(fā)展學生的代數(shù)推理能力逐漸成為研究的新趨勢.本文以“平方差公式”為例，從代數(shù)推理的情境性、可視性、遷移性、反思性四個方面出發(fā)，闡述對代數(shù)推理教學實踐的看法與思考，從而有效地發(fā)展學生的代數(shù)推理能力.

【關鍵詞】代數(shù)推理；平方差公式；初中數(shù)學

1代數(shù)推理

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》特別指出，在數(shù)與代數(shù)領域中要關注基于代數(shù)的邏輯推理能力，要求學生能靈活運用有關的代數(shù)知識進行代數(shù)推理.張僑平指出，代數(shù)推理是對數(shù)學結構的探索，是對具體的數(shù)字與計算進行概括，即尋找、識別、概括與運用潛在的數(shù)學結構是代數(shù)推理的主要因素[1]REF_Ref24002rh.吳立寶、劉穎超認為，代數(shù)推理是指按照一定的程序和結構系統(tǒng)地表示這些概括和抽象的過程，并逐漸用標準的代數(shù)符號來推理并表達[2]REF_Ref24028rh.丁銀杰提出，代數(shù)推理主要包括代數(shù)運算和代數(shù)結構或關系的變形與轉化兩種形式，其中前者側重于寓理于算，后者主要是函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)模型的等價轉化，顯性或隱性構造新的代數(shù)模型或用圖形、圖象表征代數(shù)對象等[3]REF_Ref24054rh.殷如意等人也指出，代數(shù)推理是對數(shù)字與計算進行總結，將所得結論用有意義的符號進行表達并加以探究驗證[4]REF_Ref24081rh.

因此，教師要加強學生的代數(shù)推理能力，促進學生深入理解代數(shù)運算的本質和規(guī)律，明確知識之間的邏輯關系，加深對代數(shù)知識和方法的理解，從而落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展與提高.

2基于“平方差公式”的代數(shù)推理教學實踐

2.1代數(shù)推理要體現(xiàn)“情境性”

環(huán)節(jié)1以“速算比賽”為背景，引出“平方差公式”

（1）（x+1）（x-1）（2）（2x+2）（2x-2）（3）（m+3）（m-3）（4）（5+4n）（5-4n）

問題1上述式子中，相乘的兩個多項式有什么共同點？

問題2通過計算，上述式子的結果有什么共同點？

問題3每個式子的左右兩邊有什么共同的聯(lián)系？

問題4請你用一般化的式子歸納出你的發(fā)現(xiàn).

加強代數(shù)推理的“情境性”，能在教學之初就充分激發(fā)學生的學習熱情，便于學生體驗學習過程.在“平方差公式”的教學中，以“速算比賽”為情境，激發(fā)學生的興趣，讓每位學生最大程度地參與到數(shù)學活動中.當他們真正融入課堂后，再通過教師一步步的問題引導，最后順理成章地引出“平方差公式”，讓學生的學習局面從“要我學”變?yōu)椤拔乙獙W”.

2.2代數(shù)推理要體現(xiàn)“可視性”

環(huán)節(jié)2深入探究“平方差公式”

問題1你能用多項式相乘證明你的發(fā)現(xiàn)嗎？

問題2你能說說多項式相乘與平方差公式之間的關系嗎？

問題3如何用幾何法來說明平方差公式？

當學生歸納出“平方差公式”后，教師便引導學生運用多項式相乘的知識來驗證“平方差公式”，這不僅加強了新舊知識之間的聯(lián)系，還讓代數(shù)推理過程達到了“看得見”的效果.此外，教師還應從幾何方面來說明“平方差公式”（如表1），從而加深學生對公式的理解.

對學生而言，代數(shù)推理本就是抽象的內容，大部分學生很難理解“為何代數(shù)推理”“何謂代數(shù)推理”兩大問題.因此，這就需要教師從多角度出發(fā)，將代數(shù)推理過程“可視化”，只有學生“看得見”推理過程，再通過教師的循循誘導，便可達到“看得懂”的效果.

2.3代數(shù)推理要體現(xiàn)“遷移性”

環(huán)節(jié)3靈活應用“平方差公式”

請你完成以下計算，并回答以下問題.

（1）（a+3）（a-3）;

（2）（-2a+3）（-2a-3）;

（3）（3-2a）（-2a-3）;

（4）（3-2a2）（-2a2-3）;

（5）（3b-2a）（-2a-3b）;

（6）（a+b+c）（a+b－c）;

問題1平方差公式中的字母a、b除了能表示數(shù)，還能表示什么？

問題2平方差公式有什么樣的結構特征？

問題3應用平方差公式的步驟是什么？

首先，通過不斷地變式訓練，即變系數(shù)、變符號、變位置、變次數(shù)、變因式、變項數(shù)，從而加深學生對“平方差公式”的理解，發(fā)展他們的遷移能力；同時在練習過程中，教師要帶領學生分析“平方差公式”的特點，找準“平方差公式”中所對應的a和b，讓學生感受到應用公式不是簡單的代入公式，而是要挖掘公式的本質.最后，教師再引導學生對練習題進行總結概況，得出“平方差公式”的結構特征和應用步驟.

2.4代數(shù)推理要體現(xiàn)“反思性”

（1）簡述我們探究平方差公式的路徑是什么？

（2）談談本節(jié)課你收獲了什么？

圖1

經(jīng)過一堂課的學習后，學生反思本節(jié)課的內容，嘗試畫出本節(jié)課的思維導圖（如圖1）.通過及時反思，不僅能夠使學生深刻領會新知識，還能明晰知識的探究過程與方法，將整個研究路徑了然于心，從而更好地理解代數(shù)知識之間的橫縱向聯(lián)系，鍛煉數(shù)學思維的發(fā)散性，優(yōu)化解題策略和方法，提高數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理等能力.

3對代數(shù)推理教學的思考

3.1代數(shù)推理與現(xiàn)實生活結合

數(shù)學課程標準；強調要加強數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，要從學生熟悉的生活情境進行數(shù)學教學，使學生有機會從周圍熟悉的事物中學習和理解數(shù)學，深刻體會到數(shù)學就在身邊，感受現(xiàn)實生活中的數(shù)學之美.

代數(shù)推理作為數(shù)學的重要部分，它不僅在數(shù)學學習中有著重要作用，也在我們的日常生活中發(fā)揮著巨大的作用.因此，在進行代數(shù)推理教學時，教師可以從學生熟悉的生活情境出發(fā)，把學生思維的著力點建立在他們熟悉的事物上，加強代數(shù)推理與現(xiàn)實生活的有機結合，有效地發(fā)展學生的代數(shù)推理能力，充分展示數(shù)學的應用價值.

例如在探究“等比定理”時，我們便可利用生活中的常識性知識來發(fā)現(xiàn)“等比定理”.首先，我們用a表示糖水（溶液），b表示糖（溶質），于是ba就表示甜度（濃度）.然后，將一大杯糖水分為三小杯糖水，其中三小杯糖水的濃度分別b1a1、b2a2、b3a3，由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，顯然有b1a1=b2a2=b3a3.之后，又把三小杯糖水倒入一個空的大杯子，由生活常識可知，三小杯糖水的濃度與混合后的糖水濃度相等，最后便得到“等比定理”：b1a1=b2a2=b3a3=b1+b2+b3a1+a2+a3.

3.2代數(shù)推理與育人教育結合

教育是國之大計、黨之大計，是人才培養(yǎng)的根本問題.為了讓數(shù)學教育重回育人的本質，我們應高度重視育人教育，將其融入數(shù)學課堂，融入代數(shù)推理教學中，實現(xiàn)育人教育與代數(shù)推理的同頻共振、同向同行[5]REF_Ref4659rh.為將兩者相結合，教師可以從以下兩方面出發(fā).

首先，加強數(shù)學史與代數(shù)推理的融合.將數(shù)學史融入數(shù)學教學，讓數(shù)學課堂充滿人文元素.學生通過欣賞古今中外的數(shù)學史料和故事，能體會古人對數(shù)學的思考與創(chuàng)造，學習數(shù)學家們堅持不懈、持之以恒、追求真理等優(yōu)良品質.

例如在“勾股定理”的教學中，教師利用“趙爽弦圖”來證明勾股定理，并引用《〈周髀算經(jīng)〉注》里的話：“負薪余日，聊觀《周髀》”，以此告訴學生：我國三國時期的數(shù)學家趙爽在辛苦勞作的情況下仍舊不忘刻苦學習、努力鉆研[6]REF_Ref2834rh.在“可化為一元二次方程的分式方程”中，教師講述英國著名盲人數(shù)學家桑德森的故事，讓學生感受到數(shù)學家堅韌不拔、勤奮好學等可貴品質.

其次，加強社會時事熱點與代數(shù)推理的結合.以社會熱點為背景，開展代數(shù)推理教學，將新鮮有趣的引例帶入課堂中，向學生傳遞有溫度的數(shù)學知識，激發(fā)學生的學習興趣.

例如在學習“導數(shù)概念”時，以“2024年巴黎奧運會”跳水比賽為背景，研究奧運健兒的瞬時速度，從而引出課題，并且還讓學生體會到了運動健兒為國爭光的愛國情懷.

4結語

在育人教育與代數(shù)推理結合的過程中，教師要由此及彼、循序漸進地實現(xiàn)數(shù)學教學與思政教育的水乳交融[7]REF_Ref29717rh.充分挖掘數(shù)學學科的育人資源，提高數(shù)學課程育人的深度、溫度和力度REF_Ref4659rh.唯此，方能落實立德樹人的根本任務，幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀.

總而言之，在實際教學中，需要教師落實代數(shù)推理的“情境性”“可視性”“遷移性”“反思性”.將現(xiàn)實生活和育人教育融入代數(shù)推理中，讓學生感受到生活中的數(shù)學之美，領悟到數(shù)學中的德育之美.

參考文獻：

[1]張僑平，邢佳立，金軒竹.小學數(shù)學教學中數(shù)學推理的理論和實踐[J].數(shù)學教育學報，2021，30（05）：1-7.

[2]吳立寶，劉穎超.從意識到能力：代數(shù)推理認知發(fā)展的進階理路[J].課程.教材.教法，2023，43（04）：120-126.

[3]丁銀杰.基于二次函數(shù)發(fā)展代數(shù)推理的教學實踐與思考[J].數(shù)學通報，2023，62（08）：26-28+49.

[4]殷如意，張明華，凌靜.基于領域劃分的小學數(shù)學推理意識發(fā)展[J].教學與管理，2023（05）：29-34.

[5]崔建文.中小學數(shù)學課程思政教學設計探索[J].中學政治教學參考，2023（34）：85.

[6]李玲，顧海萍.“平方差公式”：以多種方式融入數(shù)學史[J].教育研究與評論（中學教育教學），2014（11）：43-47.

[7]鄧翰香，吳立寶.課程思政融入數(shù)學教育的路徑探索[J].教育科學論壇，2020（34）：50-53.