單元復習課是學生在較短的時間內(nèi)再次完整地經(jīng)歷單元學習的全過程，深化知識理解，構建認知結(jié)構，歸納提煉方法策略，深化思想方法認識，發(fā)展核心素養(yǎng)，是一個螺旋上升的過程.不久前，寧波市教育局教研室舉行市直屬高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課評審，主題為“核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學單元整體教學復習課研討”，筆者講授的內(nèi)容為人教A版必修第二冊立體幾何中“空間直線、平面垂直”單元復習，現(xiàn)把這節(jié)復習課整理成文，供各位參考，歡迎指正.

1．教材分析

垂直關系是立體幾何中兩大基本位置關系之一，讓學生通過本節(jié)課熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，是本節(jié)課的一個重要任務.依據(jù)《課程標準（2017）版》對學生邏輯推理素養(yǎng)及直觀想象素養(yǎng)的要求，培養(yǎng)學生能夠通過對命題條件與結(jié)論的分析，利用已學過的知識，探索論證思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準確的數(shù)學語言表述論證過程.本課為《8.6空間直線、平面的垂直》單元復習課，積極踐行新課程理念，通過一些問題的設置，幫助學生構建知識網(wǎng)絡，對線線垂直、線面垂直、面面垂直有一個完整的知識框架，并且通過本節(jié)課的學習，能夠體會重要的幾何模型在實際問題中的重要作用，體會“降維”“升維”思想在立體幾何中的應用.

2．教學目標

（1）理順空間垂直位置關系的知識構架，并能應用相關知識對問題進行分析、轉(zhuǎn)化和解決.

（2）能從實際問題情境中找到符合定理模型的基本元素從而解決問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng).

3．重點與難點

教學重點：理解空間中垂直關系之間系統(tǒng)化的知識結(jié)構，證明一些有關垂直關系的簡單命題.

教學難點：樹立模型意識，能從實際問題中發(fā)現(xiàn)模型，應用定理，熟練地解決問題.

4．課堂簡錄

4.1 回顧知識，形成網(wǎng)絡

利用概念圖織點為網(wǎng)，構建知識整體框架.幫助學生把原來學過的知識溫習一遍，更重要的是要能夠?qū)⑦@些知識之間的關聯(lián)整理清楚，形成知識網(wǎng)絡，并能在實際問題中自如地加以應用.因此，從文字語言、圖形語言和符號語言三個維度與學生一起建構思維導圖.

問題1 哪位同學分享一下空間中直線、平面垂直關系之間的聯(lián)系？

（注：整理思維導圖的過程中，注意自然語言、符號語言和圖形語言并舉）

讓學生進一步體會這三種語言各自的特點.一般情況下，在理解題意的階段需要把題目中給出的自然語言或者是符號語言“翻譯”成圖形語言，然后通過圖形語言來分析題目的條件，建立已知與未知的關聯(lián)，圖形語言更有助于發(fā)現(xiàn)實際圖形中可作為定理模型使用的基本圖形.

設計意圖：學生通過回憶了解整個小節(jié)知識框架和地位，培養(yǎng)學生養(yǎng)成看待問題的整體意識和聯(lián)系意識的習慣.學生通過回答問題的方式替代老師念讀或幻燈片放映，既強化了對知識的理解和認識，同時也在這樣的學習習慣中養(yǎng)成自主學習意識.當頭腦中已經(jīng)建立起了解決問題的完整思路時，就要通過符號語言或自然語言來表達整個邏輯推理過程.以上建構知識思維導圖，將數(shù)學的三種語言融匯成了一體，加深了學生的理解和認識，方便學生應用時進行知識提取.

4.2 應用定理，構建模型

應用定理解立體幾何題，首先要樹立“定理”即“模型”的意識，學會從復雜圖形中分離出定理“模型”.要證明線面垂直、面面垂直、線線垂直，常常需要進行“降維、升維”處理.

例1 如圖1，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB.

問題2 哪位同學分享一下本題的探究結(jié)果？

追問：四面體P-ABC有幾個面是直角三角形，并指出其中的直角.

師生共同回顧定理中的轉(zhuǎn)化思想，圈點關鍵詞.

設計意圖：應用定理解立體幾何題，首先要樹立“定理”即“模型”的意識，學會從復雜圖形中分離出定理“模型”.要證明線面垂直，常常需要通過“降維或升維”處理，師生共同分析該模型的特點和模型中定理的應用.

4.3 典例分析，鞏固提高

例2 如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形， 側(cè)棱PD⊥底面ABCD ，且PD=DC，E是PC的中點，EF⊥PB，垂足為F，連接DE， DF.求證：PB⊥平面DEF.

問題3 例1和例2兩個幾何體分別具有什么特點，同學們能否給它們分別取個名字呢？在例1、例2中有兩個幾何體我國很早就有研究，而且它們還擁有自己的名字：一個是底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的名字叫“陽馬”，另一個是四個面都為直角三角形的四面體叫“鱉臑”.關于“陽馬”和“鱉臑”，《九章算術？商功》里是這樣描述的：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”

通過幾何畫板的動畫更好地認識塹堵、陽馬、鱉臑.

追問：你能從圖2中找到幾個“鱉臑”？

設計意圖：通過“鱉臑” 的引入，了解我國古代對立體圖形的研究方向和方法，體會古代數(shù)學家對人類的貢獻.通過數(shù)學幾何體空間形象和模型的觀察認識，學生更加容易理解題目條件，熟悉題目背景.探究性趣味問題的設置旨在調(diào)動學生課堂參與度和學習積極性，通過合作交流尋求“鱉臑”的個數(shù)，增強協(xié)作共進的團隊合作精神.

4.4 課堂練習，應用提升

例3 如圖3，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2CD；側(cè)面PAB垂直于底面ABCD，且 PA＝PB，O是AB的中點.證明：平面POC⊥平面ABCD.（1）熟悉題目背景幾何體，理解題目條件（觀察模具，一邊看題一邊想象幾何體的空間形象）這里也有一個模型，陽馬P-AOCD.

（2）分析問題，尋找解決問題的突破口

問題4 哪位同學來分析題目所給條件？

我們分析題目所給條件尋找PO垂直于平面ABCD的依據(jù).

強調(diào)：證明兩個平面垂直就是在一個平面內(nèi)找另一個平面的垂線.

設計意圖：通過對問題進行分析，學生可以體會應用平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.在分析問題和解決問題中轉(zhuǎn)化功能，體會應用所學知識解決問題的心理愉悅.

問題5 還有其他的解決方法嗎？（AB垂直平面POC）

變式1 若側(cè)面PAB不垂直于底面ABCD，問題的結(jié)論還成立嗎？

通過AB垂直平面POC（不變性）不管平面PAB如何變化，O是AB中點，從而PO⊥AB是不變的，不管怎么變AB⊥平面POC不變.在這里我們要抓住動態(tài)問題中的不變性質(zhì)，這是解決動態(tài)問題的常見思路.利用幾何畫板再次直觀感受.

變式2 PC與底面ABCD所成角？PD與底面ABCD所成角？

設計意圖：通過對條件分析，學生可以養(yǎng)成深入挖掘題目隱含條件的習慣.板演及其點評旨在規(guī)范學生的解題格式，注重表述的條理性和嚴謹性.學生在多種方法的發(fā)掘和變式思考過程中養(yǎng)成發(fā)散思維的良好習慣，體會參與課堂的成就感和愉悅感.借助信息技術將抽象問題形象化，將空間問題平面化、可視化.學生通過完成解題反思，總結(jié)學習經(jīng)驗，升華方法、思想.

4.5 小結(jié)提升，整體把握

問題6 "（1）這節(jié)課我們學到了什么知識？

（2）空間幾種垂直關系的聯(lián)系？我們還要繼續(xù)研究哪些內(nèi)容呢？

設計意圖：開放式的小結(jié)設問，以閑話家常的模式，從“情感態(tài)度”的角度，學生可以檢驗自己的課堂收獲和對整堂課全局上的把握.學生通過瀏覽閱讀思維導圖，易于構建空間垂直位置關系知識框架，體會知識之間的聯(lián)系性和系統(tǒng)性，同時也為下節(jié)課對后續(xù)復習做好準備.

5．教學反思

5.1 單元復習課要明確數(shù)學核心素養(yǎng)的目標

教學是一種有目的、有計劃的活動.學習目標是課堂教學過程中，學生一切學習活動的出發(fā)點和落腳點.由于數(shù)學核心素養(yǎng)是在學習過程中形成的，因此它不能脫離內(nèi)容與過程.本節(jié)課從幾何角度遵循“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”的認知習慣展開.學生在解題訓練的過程中充分參與課堂活動，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；從定理應用的角度借助例1，例2樹立數(shù)學模型的意識，能從實際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，從而解決問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).

5.2 單元復習課應重視對數(shù)學知識的整體構建

在數(shù)學的單元復習中，筆者認為教師應重視對數(shù)學知識單元的構建，以大單元理念為指引，引導學生將知識和方法嵌入到完整的知識體系中，特別是具備核心作用的內(nèi)容.繼教材空間平行位置關系之后的遷移與完整性拓展，本節(jié)課通過思維導圖幫助學生構建空間垂直位置關系的知識框架，把握知識之間的聯(lián)系性和整體性，深入挖掘他們之間相互轉(zhuǎn)化思想.因此，從知識邏輯順序上來看，那么對于空間中一般的位置關系即空間中異面直線所成的角、斜線與平面所成的角、二面角的大小以及后續(xù)利用空間向量求解空間角的問題都做好鋪墊.

5.3 單元復習課要注重數(shù)學文化價值的挖掘

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“數(shù)學課程內(nèi)容要培育數(shù)學核心素養(yǎng)，繼承與弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，堅定文化自信；要注重數(shù)學文化的滲透，不斷引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.”中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化走進高中數(shù)學課堂強調(diào)古為今用，提升學生數(shù)學學習的文化涵養(yǎng)，促進核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.本節(jié)課創(chuàng)設合適的教學問題情境，引入“陽馬”和“鱉臑”，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì).了解我國古代對立體圖形的研究方向和方法.體會古代數(shù)學家對人類的貢獻.教科書上的模型基本都是“陽馬”和“鱉臑”.讓學生充分感受幾何體“陽馬”和“鱉臑”在現(xiàn)今學習垂直關系時的意義和價值.單元復習課需要注重挖掘數(shù)學文化，引領學生的思維前行，幫助學生積累思維的經(jīng)驗，積淀并提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).只有根植數(shù)學文化的基因，才能真正讓學生的數(shù)學思維在數(shù)學文化的氣息中得到成長.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2017.

［2］盧明. 數(shù)學教學要既見“樹木”又見“森林”［N］. 中國教育報，2018-03-07（10）.

［3］王 璐，盧 明.指向核心素養(yǎng)的教學設計與實施［A］. 中學教研（數(shù)學） 2018-07.