摘 要：對(duì)于Pell方程組[y2-2x2=-1， z2-Dx2=-4]，其中[D]是正整數(shù)且非平方數(shù)，該文利用高次丟番圖方程的結(jié)果證明，該方程組在[D≡1， 2， 3， 6， 7（mod 8）]時(shí)無正整數(shù)解；在[D=5]時(shí)有2組正整數(shù)解[（x， y， z）=（1， 1， 1）， （5， 7， 11）]；在[D≡5（mod 8）]、[Dgt;8]且[D-8]是素?cái)?shù)時(shí)至多有2組正整數(shù)解[（x， y， z）]，其中[y]可由Pell方程[u2-2Dv2=-1]的基本解表示；在[D≡4（mod 8）]、[Dgt;8]且[D/4-2]是素?cái)?shù)時(shí)至多有2組正整數(shù)解[（x， y， z）]，其中y可由Pell方程[u2-（D/2）v2=-1]的基本解表示。

關(guān)鍵詞：丟番圖方程組；Pell方程組；高次丟番圖方程；正整數(shù)解；解數(shù)

中圖分類號(hào)：O156.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0" " 引言

丟番圖方程和方程組的求解是數(shù)論中一個(gè)有趣且困難的問題。1969年英國數(shù)學(xué)家Baker等［1］證明，丟番圖方程組[3x2-2=y2]，[8x2-7=z2]只有2組正整數(shù)解[x， y， z=1， 1， 1，（11， 19， 31）]。此后Pell方程組的求解問題受到廣泛關(guān)注。例如，對(duì)于Pell方程組

[x2-Cy2=1，" " y2-Dz2=4，]" " " " " " " " " " " " " " nbsp; " " " " " " （a）

其中[C， D]是正整數(shù)且D無奇平方因子，國內(nèi)外不少學(xué)者都進(jìn)行了研究，所得的部分結(jié)果如表1所示，表中[ωD]表示D的不同的奇素因子的個(gè)數(shù)。

類似的Pell方程組也有待研究，例如關(guān)于如下方程組的求解，目前尚未在文獻(xiàn)中見到相關(guān)的結(jié)果：

[y2-2x2=-1，" " "z2-Dx2=-4]，" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（b）

其中D是正整數(shù)且非平方數(shù)。本文利用高次丟番圖方程的結(jié)果證明了如下定理。

定理1 （i）當(dāng)[D≡1， 2， 3， 6， 7（mod 8）]時(shí)，方程組（b）無正整數(shù)解。

（ii）當(dāng)[D=5]時(shí)，方程組（b）只有2組正整數(shù)解[（x， y， z）=（1， 1， 1），（5， 7， 11）]。

推論2 方程組（b）當(dāng)[D=20]時(shí)的正整數(shù)解只有[（x， y， z）=（1， 1， 4）]，當(dāng)[D=52]時(shí)的正整數(shù)解只有[（x， y， z）=（5， 7， 36）]，當(dāng)[D=61]時(shí)的正整數(shù)解只有[（x， y， z）=（5， 7， 39）]。

1" " 幾個(gè)引理

為了證明定理1，我們需要如下兩個(gè)引理。

引理1 設(shè)[（x， y， z）]是方程組（b）的正整數(shù)解，則[x和y]均為奇數(shù)，并且：

（i） 當(dāng)[D≡5（mod 8）]，[Dgt;8]且[D-8]是素?cái)?shù)時(shí)，z是奇數(shù)且與y互素。

（ii） 當(dāng)[D≡4（mod 8）]，[Dgt;8]且[D/4-2]是素?cái)?shù)時(shí)，z是偶數(shù)且與y互素。

證明 由[y2-2x2=-1]易知[y]必為奇數(shù)，然后對(duì)該式模4，便得[x]也是奇數(shù)。

（i） 對(duì)[z2-Dx2=-4]模4可知[z]是奇數(shù)。記[p=D-8]，[d=gcd （y， z）]，則有

[d2=gcd（y2， z2）=gcd（2x2-1， Dx2-4）= ][gcd（2x2-1， px2）=]

（ii） 對(duì)[z2-Dx2=-4]模4可知z是偶數(shù)。記[p=D/4-2]，[d=gcd （y， z）]，則有

[d2=gcd（y2， z2）=gcd（2x2-1， Dx2-4）=][ gcd（2x2-1， 2p）=gcd（2x2-1， p）]。

同（i）中論證可得[d=1]。

2" " 主要結(jié)果的證明

定理1的證明

（i） [D≡1， 2， 3， 6， 7mod 8]

設(shè)[（x， y， z）]是方程組（b）的正整數(shù)解。因[x]是奇數(shù)，有

[z2=Dx2-4≡D-4≡-3， -2， -1， 2， 3（mod 8）]，

不可能。

（ii） D = 5

設(shè)[（x， y， z）]是方程組（b）的正整數(shù)解。易知z是奇數(shù)且與y互素。由方程組（b）可得

[（2y+z）（2y-z）=3x2]。

注意到

[gcd（2y+z， 2y-z）=gcd（2y+z， 2z）=gcd（2y+z， z）=gcd（2y， z）=gcd（y， z）=1，]" " " " " " "（1）

故可設(shè)[2y±z=3x21， 2y?z=x22， x=x1x2， gcd（x1， x2）=1]，進(jìn)而有

[（4x21-y）2-10x41=-1。]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（2）

由引理2，丟番圖方程[X2-10Y4=-1]的正整數(shù)解只有[（X， Y）=（3， 1）]，于是由式（2）得[4x21-y=3， x1=1]，即[4x12-y=±3， x21=1]，故[y=4x21±3=1， 7]。所以[（x， y， z）=（1， 1， 1）， （5， 7， 11）]。

（iii） [D≡5mod 8]，[Dgt;8]且[D-8]是素?cái)?shù)

設(shè)[（x， y， z）]是方程組（b）的正整數(shù)解。記[D-8=p]，則有

[（z+2y）（z-2y）=px2。]

由引理1知y與z互素，由式（1）可知z + 2y與z - 2y互素，故可設(shè)[z±2y=px21， z?2y=x22， x=x1x2， gcd（x1， x2）=1]，進(jìn)而有

由[y2-2x2=-1]得[（px21-x22）2-32（x1x2）2=-16]，即[p2x14-2（p+16）（x1x2）2+x42=-16]，寫為

[（p2+32p+256）x41-2（p+16）（x1x2）2+x42-（32p+256）x41=-16，]

即[（（p+16）x21-x22）2-32（p+8）x41=-16]，整理得

故有

[（4x21±y）2-2Dx41=-1。]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （3）

（iv） [D≡4mod 8]，[Dgt;8]且[D/4-2]是素?cái)?shù)

設(shè)[（x， y， z）]是方程組（b）的正整數(shù)解。令[D=4D1]，則有

[y2-2x2=-1]，" "[z2-4D1x2=-4]。

由引理1知z是偶數(shù)，故令[z=2z1]，則有[y2-2x2=-1]，[z12-D1x2=-1]，從而[z12-y2=（D1-2）x2]。記[D1-2=p]，則

[（z1+y）（z1-y）=px2。]

由于[y]是奇數(shù)，[z]是偶數(shù)，故[gcd（z+2y， z-2y）=gcd（2y， z）]，再由[y與z]互素得 [gcd（z+2y， z-2y）=2]，進(jìn)而[gcd（z1+y， z1-y）=1。]于是可設(shè)[z1±y=px21， z1?y=x22， x=x1x2， gcd（x1， x2）=1]，從而有

[（p2+8p+16）x41-2（p+4）（x1x2）2+x42-（8p+16）x41=-4，]

即[（（p+4）x21-x22）2-8（p+2）x41=-4]，整理得

故有

[（2x21±y）2-（D/2）x41=-1]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （4）

定理1證畢。

對(duì)于定理1（iii）、（iv）的一些特殊情況，可以給出更加具體的結(jié)果，即確定方程組（b）的全部正整數(shù)解。

推論2的證明

注1 滿足定理1（iii）或（iv））中條件的D的取值顯然有無窮多個(gè)，對(duì)其中任何一個(gè)具體值，都可按推論2的證明步驟求出方程組（b）的全部正整數(shù)解。所以，推論2的證明實(shí)際上給出了方程組（b）在定理1的（iii）和（iv）中情形的解法。

3" " 結(jié)束語

關(guān)于丟番圖方程，有著名的希爾伯特第十問題：能否通過有限多步驟來判定一個(gè)丟番圖方程是否存在正整數(shù)解？1970年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇證明，一般情況下該問題的答案是否定的［14］，即希爾伯特所期望的一般方法并不存在。因此，對(duì)于丟番圖方程只能分別進(jìn)行討論，而且有些丟番圖方程的求解十分困難。

對(duì)于方程組（b），定理1的（i）和（ii）分別解決了它在[D≡1， 2， 3， 6， 7（mod 8 ）]時(shí)和[D=5]時(shí)兩種情形的求解問題，但在（iii）和（iv）的情形中只是證明了它至多有2組正整數(shù)解。自然地，有如下問題：

問題1 設(shè)整數(shù)Dgt;8非平方數(shù)。

（i） [當(dāng)D≡5（mod 8）]且D-8是素?cái)?shù)時(shí)，方程組（b）的解數(shù)分別在什么情形為2、1和0？

（ii） 當(dāng)[D≡4（mod 8）]且D/4-2是素?cái)?shù)時(shí)，方程組（b）的解數(shù)分別在什么情形為2、1和0？

除了方程組（a）和（b），還有一些與之類似的Pell方程組，關(guān)于它們的求解仍是公開問題，例如

[x2-2y2=-1，" " "y2-Dz2=-4]，" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（c）

其中D是正整數(shù)且非平方數(shù)。

問題2 當(dāng)D=5時(shí)，方程組（c）的正整數(shù)解是否只有[（x， y， z）=（1， 1， 1）， （41， 29， 13）]？

問題3 當(dāng)[Dgt;8]且[D≡5mod 8]時(shí)，方程組（c）是否至多有1組正整數(shù)解？

參考文獻(xiàn)：

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