摘 要：零和理論主要研究有限交換群的各種零和不變量。設(shè)[G]是有限交換群，[k是正整數(shù)，]則有零和不變量[s≤k（G）]，它是最小的正整數(shù)[l]，使得對(duì)[G]上任一長(zhǎng)度不小于[l]的序列[S]，都存在一個(gè)長(zhǎng)度不大于[k]的零和子列。這一零和不變量是對(duì)經(jīng)典的零和不變量[D（G）]和[η（G）]的推廣。該文對(duì)于初等交換2-群[?r2]，給出了使得[s≤r-k（?r2）=r+3]的條件。

關(guān)鍵詞：有限交換群；Davenport常數(shù)；零和序列；初等交換2-群；極小零和序列

中圖分類號(hào)：O157.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0" "引言

零和理論是組合數(shù)論的一個(gè)重要分支，近幾十年來發(fā)展迅速，受到了廣泛的關(guān)注。在有限交換群的零和理論中，一個(gè)重要問題是計(jì)算或估計(jì)群的零和不變量。設(shè)[G]是有限交換群（運(yùn)算表為加法），則有[G]的Davenport常數(shù)[D（G）]，它是[G]上的極小零和序列的長(zhǎng)度的上確界。記[expG]為[G]的冪指數(shù)，即[G]中各元素的階的最小公倍數(shù)，則[η（G）]表示最小的正整數(shù)[l]，使得[G]上每個(gè)長(zhǎng)度不小于[l]的序列都存在長(zhǎng)度不超過[exp（G）]的零和子列。[D（G）]和[η（G）]都是[G]的零和不變量。2001年Delorme等［1］ 將這兩個(gè)經(jīng)典的不變量推廣為[s≤k（G）]，它表示最小的正整數(shù)[l]，使得[G]上每個(gè)長(zhǎng)度不小于[l]的序列都存在長(zhǎng)度不超過[k]的零和子列。這個(gè)新的不變量在近年來受到不少學(xué)者的關(guān)注，例如Cohen等［2］指出了該不變量與編碼理論的聯(lián)系，而Bhowmik等［3］、Zhang［4］和Roy等［5］分別研究了當(dāng)[G]為一些特殊類型的[p]-群時(shí)該不變量的值。

關(guān)于初等交換2-群的各種零和不變量的研究結(jié)果最為豐富。Freeze等［6］給出了當(dāng)[G]是初等交換2-群時(shí)[s≤3（G）]的準(zhǔn)確值。Wang等［7］證明，當(dāng)[G]為循環(huán)群[?m]與[?n]的直和時(shí)有[s≤DG-kG=DG+k]，[0≤k≤m-1]；同時(shí)給出了使得[s≤k（?r2）=r+2]的[k]的取值范圍。Gao等［8-9］分別給出了不變量[sk（?32）和disc（?r2）]的準(zhǔn)確值。Fan等［10］給出了不變量[C0（?r2）]的取值范圍。Sidorenko等［11-12］分別給出了不變量[s2m（?d2）]和[s'2m（?d2）] 在[d≤2m+1]時(shí)的值。Hu等［13］給出了在[d]為偶數(shù)且[dlt;2m]時(shí)不變量[s'2m（?d2）與s2m（?d2）]之間的關(guān)系以及它們的值。

1" " 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于實(shí)數(shù)[x]，用[x]和[x]分別表示不大于x的最大整數(shù)和不小于[x]的最小整數(shù)。設(shè)[G]是有限加法群，

[φS?φg1φg2…φgl]。

易知[φS=S][， σ（φS）=φ（σS）]，于是[φS]是零和的當(dāng)且僅當(dāng)[σS∈ker （φ）]。

2" " 主要結(jié)果

以下G均為初等交換2-群[?rz]，其中[r≥1]。記ei為[G]中的元素（0，…，0，[1i]，0，…，0），i = 1，…，r。令[H]為G中由[er-k+1， er-k+2， … ， er]生成的子群，[φ：G→G]為G到[H]的投影。

（i） 當(dāng)[r=1， 2， 3， 4， 5， 8， 11]時(shí)有[s≤r-k（G）gt;r+3]；

（ii） 當(dāng)[r≥6且r≠8，11]時(shí)有[s≤r-kG=r+3]。

證明 （i） 只需證明[G]上存在長(zhǎng)度為[r+3]的序列[S]，其任一零和子列的長(zhǎng)度都大于[r-k]。

當(dāng)[r=1時(shí)r-k=1，]取[S=e1e1e1e1]。

當(dāng)[r=2時(shí)r-k=1，]取[S=e1e1（e1+e2）（e1+e2）（e1+e2）]。

當(dāng)[r=3時(shí)r-k=2，]取[S=e1e2（e1+e2）（e1+e3）（e2+e3）（e1+e2+e3）]。

當(dāng)[r=4]時(shí)[r-k=3，]取

[S=（e1e2e3）（e1+e2+e3）（e1+e4）（e2+e4）（e3+e4）]。

當(dāng)[r=5]時(shí)[r-k=3，]取

[S=（e1e2e3）（e1+e2+e3）（e1+e4）（e2+e4）（e2+e5）（e3+e4+e5）]。

當(dāng)[r=8]時(shí)[r-k=5，]取

[S=e1e2e3e4e5e1+e2+…+e5e1+e6e2+e7][e3+e6+e7（e4+e8）（e5+e6+e7+e8）]。

當(dāng)[r=11]時(shí)[r-k=7]，取

[S=e1e2e3e4e5e6e7e1+e2+…+e7e1+e8e2+e8+e9]

[（e3+e9+e10）（e4+e10）（e5+e11）（e6+e8+e9+e10+e11）]。

由上可得結(jié)論。

（ii） 先證明[s≤r-kG≥r+3]，即[G]上存在長(zhǎng)度為[r+2]的序列[S]，其任一零和子列的長(zhǎng)度都大于[r-k]。

[T=e1e2…er-k（e1+e2+…+er-k）]，

[S1=e1+er-k+1e2+er-k+2e3+er-k+3…] [（ek+er）（ek+1+er-k+1+…+er）]，

則有

[φS1=er-k+1er-k+2…er（er-k+1+er-k+2+…+er）]，" "[φS1=k+1=D（H）]。

顯然，[φS1]是極小零和序列，所以[S1]本身是[S1]的唯一的非空子列，且[σS1=e1+e2+…+ek+1∈kerφ。]

令[S=TS1]，它的零和子列有

其中[T'2=S1+k+1=2k+2，T'3=S1+r-2k=r-k+1]。易見這三個(gè)序列的長(zhǎng)度都大于[r-k]。

再證明[s≤r-k（G）≤r+3。]假設(shè)[G]上存在長(zhǎng)度為[r+3]的序列[S]，其任一零和子列的長(zhǎng)度都大于[r-k]。

由引理1知

[s≤r-k+1G=r+2lt;S=r+3]，

故[S]中存在長(zhǎng)度不大于[r-k+1]的零和子列，進(jìn)而[S]必有長(zhǎng)度為[r-k+1]的極小零和子列[T]。不失一般性，設(shè)[S=TS1]，其中

[T=e1e2…er-ke1+e2+…+er-k，]

[S1=g1g2…gk+2，gi∈G]，

則

都是[S]的零和子列。

由假設(shè)有

引理2證畢。

定理3 若 [r]和[k]滿足下列條件之一，則[s≤r-k（G）=r+3]，

由假設(shè)有

顯然，在[r≡0， 1， 2， 3， 5mod 7]時(shí)所得到的[r-k]的取值都與上述[k≡0， 1， 2（mod 3）]下所得的[r-k]的取值矛盾。

3" " 結(jié)束語

有限交換群G的不變量[s≤r-k（G）]是一個(gè)重要的零和不變量，吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注，相關(guān)的研究成果頗為豐富，但迄今為止，關(guān)于該不變量的計(jì)算和刻畫仍是一個(gè)遠(yuǎn)未解決的問題。本文在前人研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，運(yùn)用組合的方法，對(duì)初等交換2-群的不變量[s≤r-k（?r2）]進(jìn)行研究，給出了使得[s≤r-k（?r2）=r+3]的條件。接下來可以考慮如下問題：

設(shè)整數(shù)t ≥ 4。

1） 能否給出使得[s≤r-k（?r2）=r+t]的條件？

2） 能否刻畫不含有長(zhǎng)度不大于[r-k]的零和子列的[r+t-1]長(zhǎng)的序列的結(jié)構(gòu)？

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