異面直線是指空間中既不平行也不相交的兩條直線.在空間中，我們很難快速確定異面直線所成角的位置，求得其大小.這類問題對于同學們的空間想象、抽象思維、直觀想象等能力均有較高的要求.下面結合實例，談一談求異面直線所成角的兩種方法.

一、定義法

異面直線所成角的定義為：設a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點 O 作直線a′∥a，b′∥b，把 a′與 b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角. 這就是說，我們只需根據(jù)幾何圖形的性質、中位線的性質等尋找平行關系，找到分別與兩條異面直線平行的兩條相交直線，即可確定異面直線所成的角.最后利用正余弦定理或勾股定理即可求得該角的大小.

例1

解

我們添加合適的輔助線，構造出平行四邊形 D1FOM，即可根據(jù)平行四邊形的性質得出 MO ∥ D1F ，那么根據(jù)異面直線所成角的定義可知異面直線 OE和FD1 所成的角即為∠MOE .再根據(jù)勾股定理與余弦定理求得角∠MOE 的余弦值，即可解題.

例2

解

我們很難快速確定直線 SA 與 BC 所成的角，于是構造出長方體，即可根據(jù)長方體的性質快速找到 BC 的平行線 AD，并確定異面直線 SA 與 BC 所成的角∠SAD ，再根據(jù)圓錐與長方體的性質、余弦定理求得∠SAD 的大小.

二、向量法

對于某些較為規(guī)則的空間幾何體，我們可以根據(jù)其特征構造出空間直角坐標系，分別求得各個點的坐標、兩條異面直線的方向向量，就可以直接根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得兩條異面直線所成角的大小.值得注意的是，異面直線所成角的范圍為 é ? ù ? 0，π 2 ，而由數(shù)量積公式求得的夾角的范圍為 [0，π] .

例3

解

我們需先根據(jù)正方體的特征，以點 D 為坐標原點，DA 為 x 軸、DC 為 y 軸、DD1 為 z 軸來建立空間直角坐標系；然后根據(jù)向量的加法運算法則求得 AD1 、 A1P ；最后根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得 AD1 和 A1P 所成角的余弦值.

相比較而言，定義法比較常用；向量法的適用范圍較窄，但較為簡單.同學們可根據(jù)題目中幾何圖形的特征、邊角關系來尋找合適的方法進行求解.

（作者單位：江蘇省如皋市第二中學）