在現(xiàn)代教育中，綜合與實踐領(lǐng)域的學(xué)習(xí)越來越受到重視。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，初中階段應(yīng)主要采用項目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，讓學(xué)生在真實、多樣且具有挑戰(zhàn)性的情境中，綜合應(yīng)用多學(xué)科知識，解決實際問題。然而，當(dāng)前一些學(xué)校在實施STEM教育的過程中，對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域的融合還不夠深入。在此背景下，費馬點問題作為一個經(jīng)典的平面幾何優(yōu)化問題，是一個理想的教學(xué)主題。它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要地位，也與日常生活中的選址問題緊密相關(guān)。教師以STEM理念采用項目式學(xué)習(xí)的模式教學(xué)，可以融合物理、數(shù)學(xué)等知識，引導(dǎo)學(xué)生探索解決集散點位置規(guī)劃的實際方法。學(xué)生將經(jīng)歷完整的5E學(xué)習(xí)環(huán)教學(xué)過程，即認識問題、設(shè)計實驗并動手操作、原理解釋、模型精致和評價反思，能夠深入研究費馬點問題，構(gòu)建起完整的知識體系。

學(xué)生參與這種跨學(xué)科的學(xué)習(xí)，不僅能夠提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能激發(fā)對科學(xué)和技術(shù)的興趣。下面，將結(jié)合案例闡述如何將這一理念應(yīng)用于教學(xué)中。

一、5E學(xué)習(xí)環(huán)教學(xué)模式

5E學(xué)習(xí)環(huán)是美國生物學(xué)課程研究會（BSCS）開發(fā)的一種建構(gòu)主義教學(xué)模式，包括5個教學(xué)環(huán)節(jié)，即參與、探究、解釋、精致和評價。表1對這5個教學(xué)環(huán)節(jié)進行了說明，并闡述了每個環(huán)節(jié)教師和學(xué)生的主要任務(wù)[1]。

5E學(xué)習(xí)環(huán)是一種有效的具有實踐性、思維性、探究性的科學(xué)教育方法，其應(yīng)用有助于增進學(xué)生對知識的理解。這一特征與STEM理念相契合?；?E學(xué)習(xí)環(huán)設(shè)計STEM項目式學(xué)習(xí)，可以有效幫助學(xué)生構(gòu)建概念，培養(yǎng)探究能力。

二、“規(guī)劃集散點位置”項目式學(xué)習(xí)活動的設(shè)計

費馬點問題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中平面幾何優(yōu)化的經(jīng)典議題。它與我們經(jīng)常遇到的選擇最佳位置的優(yōu)化問題息息相關(guān)。華羅庚先生曾將這一問題形象地比喻為“集散點問題”，其中所求的最優(yōu)點即被稱為費馬點。在生活中，我們將集散點問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的非線性規(guī)劃問題，采用微積分中求偏導(dǎo)數(shù)的方法，可以發(fā)現(xiàn)這一問題與力學(xué)中的力平衡有著緊密的聯(lián)系[2]。

教學(xué)對象為九年級學(xué)生。他們已經(jīng)在八年級掌握了二力平衡的基本概念，且能夠?qū)ふ覕?shù)學(xué)中基礎(chǔ)的最短路徑。此外，他們還學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，學(xué)有余力者可以在“將軍飲馬”問題的基礎(chǔ)上研究三條線段和最小的問題，增加學(xué)習(xí)的趣味性和挑戰(zhàn)性。為此，筆者設(shè)計一系列探究實驗，讓學(xué)生通過物理實驗和數(shù)學(xué)論證的雙重途徑，自行探索并找到最優(yōu)點，從而更深刻地理解費馬點問題。如此實驗不僅能夠加深學(xué)生對費馬點的理解，還能激發(fā)他們對數(shù)學(xué)和物理的興趣，培養(yǎng)他們的實踐能力和創(chuàng)新思維。

（一）設(shè)計思路

筆者根據(jù)5E學(xué)習(xí)環(huán)的各環(huán)節(jié)內(nèi)涵，基于“規(guī)劃集散點位置”項目式學(xué)習(xí)活動設(shè)計了“五環(huán)節(jié)九步驟”教學(xué)流程（如圖1）。

在參與環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計了與學(xué)生日常生活密切相關(guān)的問題，引導(dǎo)他們將這些問題與物理力學(xué)中的力平衡概念相聯(lián)系，從而在學(xué)生已有的二力平衡知識基礎(chǔ)上搭建橋梁。同時，利用微課幫助學(xué)生掌握力的合成法則，為后續(xù)實驗探究明確目標(biāo)。在探究環(huán)節(jié)，學(xué)生設(shè)計并操作實驗，觀察實驗現(xiàn)象，記錄關(guān)鍵數(shù)據(jù)。在解釋環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生運用物理和數(shù)學(xué)知識解釋實驗結(jié)果，嘗試構(gòu)建費馬點問題的初步模型。進入精致環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計一系列變式實驗，以幫助學(xué)生深化對費馬點問題的理解，完善他們對模型的認識，并應(yīng)用新知識解決新問題。在評價環(huán)節(jié)，學(xué)生需要對自己的實驗操作和知識掌握情況進行自評和互評。同時，筆者對整個學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出色的小組或?qū)W生給予積極評價，并針對存在的問題提出改進建議。

（二）設(shè)計環(huán)節(jié)

1.參與環(huán)節(jié)

【創(chuàng)設(shè)情境】如圖2所示，李阿姨經(jīng)營便利店，為了提升營業(yè)額，推出了“送貨上門”服務(wù)。經(jīng)過觀察，她發(fā)現(xiàn)客源集中在A、B、C三個小區(qū)，且業(yè)務(wù)量大致相等。李阿姨計劃效仿物流公司的運營模式，設(shè)立一個“外送業(yè)務(wù)”的集散點，先將部分貨物存放于此，再分發(fā)到A、B、C三個小區(qū)。為降低運輸成本，她希望找到一個點，使得從該點到這三個小區(qū)的總距離最短。然而，如何找到這個集散點的最佳位置讓李阿姨感到困惑，于是她向正在大學(xué)攻讀物理專業(yè)的兒子求助。

李阿姨的兒子指出，這個問題實際上涉及物理中的三力平衡原理。那么，為什么這個問題會與三力平衡有關(guān)呢？這是因為在物理學(xué)中，尋找一個點使得它到三個固定點的距離之和最小，類似于在力學(xué)中尋找三個力的平衡點，使得合力為0。應(yīng)用這一原理可以幫助李阿姨有效地解決集散點選址的問題。

【預(yù)備知識】關(guān)于力的平衡學(xué)生應(yīng)該不陌生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)過二力平衡，知曉作用在同一物體上的兩個力，如果大小相等、方向相反，并且在同一條直線上，這兩個力就彼此平衡。學(xué)生學(xué)習(xí)微課并思考：如果兩個力不在同一條直線上，那么對于物體的作用效果是怎樣的呢？如何理解上述問題中的“三力平衡”呢？為什么要尋找到三個小區(qū)的距離之和最短的集散點位置，這與物理學(xué)中力的平衡的知識有什么關(guān)系嗎？

原理解讀：根據(jù)物理彈性力學(xué)中的平衡態(tài)公理（又稱最小勢能原理）可知，當(dāng)一個質(zhì)點受到幾個始終分別指向某個定點的力時，若物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，即質(zhì)點所受合力為0，則該體系處于勢能最小狀態(tài)。進一步可以推出這樣的結(jié)論 ：質(zhì)點處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，該質(zhì)點到幾個定點的單程距離或多程距離之和最小[3]。

原理應(yīng)用：大家熟悉的最短路徑問題“將軍飲馬”就可以用物理學(xué)的知識來解釋。如圖3所示，A、B為直線l同側(cè)的兩個定點，點P為直線l上的一個動點，當(dāng)AP+BP最小時點P的位置在哪？此時，將動點P視為一個質(zhì)點，它分別受到指向A、B的兩個力F1和F2。由原理可知，當(dāng)點P處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，即點P所受三個力的合力為0時，AP+BP的值最小。此時，F(xiàn)1和F2在直線l方向的分力相等，因此當(dāng)AP、BP與直線l所成的夾角相等，即∠1=∠2時， AP+BP最小。這與我們解決“將軍飲馬”問題的幾何解法是一致的，作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，與直線l的交點P即為所求。易知∠1=∠3，∠2 =∠3，即∠1=∠2。

設(shè)計意圖：借助微課清晰講解力的合成遵循的“平行四邊形法則”和三力平衡相關(guān)知識?；诙ζ胶獾奈锢韺嶒?，探索“將軍飲馬”問題中的動點位置，以此作為預(yù)備知識傳授給學(xué)生。這樣不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生提取和應(yīng)用信息的能力，還能為后續(xù)的實驗設(shè)計和操作打下堅實的基礎(chǔ)。

【明確目標(biāo)】關(guān)鍵任務(wù)是從微課中獲取靈感，設(shè)計實驗，幫李阿姨找到集散點的位置，即滿足這個位置到三個小區(qū)的總距離最短這一條件。

2.探究環(huán)節(jié)

有了參與環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生已經(jīng)明確了探究問題，掌握了基礎(chǔ)知識。此時筆者以問題驅(qū)動的方式引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計實驗。

預(yù)設(shè)問題：三個小區(qū)的相對位置對集散點的選取是否有影響？如何體現(xiàn)三個小區(qū)的位置？如何體現(xiàn)“A、B、C三個小區(qū)業(yè)務(wù)量大致相等”？

學(xué)生首先思考問題，分組合作，討論設(shè)計物理實驗的操作步驟，然后闡述小組選擇的實驗方式及理由，預(yù)測實驗結(jié)果等，最后在全班范圍內(nèi)討論，選擇一個最優(yōu)化的實驗步驟。

實驗器材：木板、手動打孔器、小圓環(huán)、細線、50 g砝碼（三個）、量角器等。

實驗分五步進行。第一步：將地圖中的問題抽象出一個△ABC，從地圖中測量出AB、AC、BC的長度及內(nèi)角的角度，根據(jù)三條線段長度比例關(guān)系，確定三個小區(qū)的相對位置。第二步：選擇一塊木板，將△ABC畫在木板上，在三個頂點處鉆孔并打磨光滑。第三步：選擇長度適中的三根細繩，將一端穿過小洞，另一端系在木板上方的一個小圓環(huán)上。第四步：將三個質(zhì)量相等的砝碼分別掛在三根細繩上，先使細繩保持不受力狀態(tài)，再將三個砝碼同時松手，小圓環(huán)靜止時就是三力平衡的狀態(tài)。第五步：在三力平衡的情況下，采用測量線段長度、角的度數(shù)等方式觀察小圓環(huán)的位置有什么特點。

3.解釋環(huán)節(jié)

學(xué)生完成操作后發(fā)現(xiàn)，小圓環(huán)停在△ABC內(nèi)部，如將小圓環(huán)抽象成點P，會發(fā)現(xiàn)∠APB、∠APC和∠BPC的大小均約等于120°（如圖4）。筆者引導(dǎo)學(xué)生分組交流，思考為什么在三力平衡狀態(tài)下，這三個角都近似為120°，進而思考這個點P是否能滿足PA+PB+PC最小這一條件。

本環(huán)節(jié)筆者給學(xué)生充足的思考時間，適時予以點撥，幫助學(xué)生運用物理和數(shù)學(xué)知識，從角度和長度等視角分析點P。

從物理的角度看（如圖5），F(xiàn)1=F2，根據(jù)力的合成法則（平行四邊形法則），可知合力F方向必與菱形對角線重合。處于平衡狀態(tài)時，第三個力F3與合力F等值、反向。根據(jù)菱形的性質(zhì)，易證這三個力間形成的張角都是120°。

從數(shù)學(xué)的角度看，學(xué)生已經(jīng)掌握驗證距離之和最短的基本方法，就是經(jīng)過一系列的圖形變化將幾條線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上。此時恰好是線段和最短的時候。如圖6所示，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，△PCP'為等邊三角形，可知∠PP'C=∠P'PC=60°，根據(jù)前面實驗得到∠BPC=120°，易證BP、PP'、A'P'共線。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，PA+PB+PC=A'P'+P'P+PB=A'B。為更加形象地說明共線時是線段之和最小的時候，筆者再任選一點P，根據(jù)兩點之間線段最短的原理加以說明。

學(xué)生從不同視角審視分析后對集散點的位置有了清晰的認識，有助于確定點P的位置。此時，學(xué)生很容易想到數(shù)學(xué)中的“定位神器”——點的坐標(biāo)。學(xué)生通過分組討論，班內(nèi)分享，明確了確定點的位置的基本方案，即借助兩次旋轉(zhuǎn)變換后形成的直線求出交點坐標(biāo)。

此時，筆者借助數(shù)學(xué)軟件GeoGebra快速求解，確定點P的位置，并引導(dǎo)學(xué)生利用方位角的知識準(zhǔn)確表達集散點位置。將實際問題中三個小區(qū)的相對位置按 1∶20000縮小后，以點B為原點建立坐標(biāo)系，構(gòu)建△ABC，利用軟件計算可得到點P的坐標(biāo)，也可以采用方位角進行表述：李阿姨大約應(yīng)在B小區(qū)北偏東69°，距離B小區(qū)0.76 km的位置設(shè)置集散點。

4.精致環(huán)節(jié)

通過前面幾個環(huán)節(jié)的探究與解釋，學(xué)生基本掌握尋找集散點的方法和原理。筆者提出一個新問題，讓學(xué)生思考。

情境拓展：李阿姨根據(jù)大家設(shè)計的解決方案設(shè)立了集散點P，取得了很好的銷售業(yè)績，準(zhǔn)備進一步拓展業(yè)務(wù)。如圖7所示，李阿姨這次打算針對X、Y、Z三個小區(qū)也開設(shè)一個集散點。能否按照前面的實驗操作幫助李阿姨解決問題？

設(shè)計意圖：在前面幾個環(huán)節(jié)中，師生共同探究出了三個內(nèi)角均小于120°的費馬點的情況。精致環(huán)節(jié)中，主要是讓學(xué)生對于費馬點問題進一步加深認識。為節(jié)省時間，筆者演示物理實驗。此時，小圓環(huán)停止在X小區(qū)的位置，與前面的探究結(jié)果產(chǎn)生矛盾。以此引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這一問題中出現(xiàn)的大于120°的內(nèi)角，讓學(xué)生嘗試從物理學(xué)和數(shù)學(xué)視角解釋問題。

解決問題：與前面的實驗一樣，由于F1= F2，且力的合成遵循平行四邊形法則，故合力F必然在菱形的對角線方向上。但由于兩個力的張角大于120°，可知合力F要小于第三個力F3。因此，小圓環(huán)會落在X小區(qū)的位置。從數(shù)學(xué)角度也可證明。如圖8所示，將△XPZ繞點X逆時針旋轉(zhuǎn)，使得XZ'與XY共線，由于∠YXZ＞120°，可知∠ZXZ' ＜60°，即旋轉(zhuǎn)角小于60 °，所以∠PXP' ＜60°，所以PX＞PP'，PX +PY+PZ＞PP'+PY+P'Z'＞YZ'= XY+XZ'，也就是說當(dāng)點P和點X重合時，距離之和最小。

此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將集散點設(shè)置在X小區(qū)內(nèi)，距離之和最短。在師生共同解決這一問題后，筆者給出費馬點的定義：費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最短的點。學(xué)生回顧整個實驗操作過程總結(jié)得出結(jié)論：若三角形三個內(nèi)角均小于120°，那么費馬點在三角形內(nèi)部 ；若三角形有一個內(nèi)角大于等于120°，則費馬點在鈍角頂點處。此時，學(xué)生對于三角形中的費馬點問題的認知結(jié)構(gòu)得到進一步完善。

5.評價環(huán)節(jié)

筆者引導(dǎo)學(xué)生回憶實驗操作過程，以及原理解釋過程，總結(jié)收獲，反思不足。引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)解決問題的思想方法的角度進行總結(jié)。例如：在三力平衡的學(xué)習(xí)上是類比遷移了二力平衡的知識；探尋費馬點的數(shù)學(xué)原理解釋的過程應(yīng)用到了數(shù)學(xué)抽象，運用旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化線段；模型精致階段大于120°問題的提出，體現(xiàn)了分類討論的思想等。更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力，即學(xué)會分析情境中的各種信息，并用科學(xué)合理的方式加以抽象，從而更好地解決問題。

三、教學(xué)實施建議

（一）整合信息技術(shù)，提高課堂教學(xué)效率

STEM課程以其跨學(xué)科的特性，強調(diào)學(xué)生、學(xué)科以及社會之間的緊密聯(lián)系。在現(xiàn)實生活中，許多實際問題并非理想化，若僅依靠人工處理，不僅耗時，還可能掩蓋問題研究的本質(zhì)。根據(jù)認知負荷理論，人在學(xué)習(xí)過程中能夠處理的信息量是有限的。因此，教師應(yīng)利用信息技術(shù)直觀展示知識，并輔助學(xué)生處理復(fù)雜的計算問題，可以提高課堂效率。例如，在項目式學(xué)習(xí)中，將力的合成和三力平衡的概念以微課形式呈現(xiàn)，既通俗易懂又便于學(xué)生應(yīng)用；在解釋環(huán)節(jié)確定點P的位置時，利用GeoGebra軟件可以直接獲得坐標(biāo)，有效減輕學(xué)生的認知負擔(dān)，提高效率。

（二）精心設(shè)計STEM課程，實現(xiàn)“手腦”協(xié)同發(fā)展

筆者開展STEM課程教學(xué)，將技術(shù)、工程學(xué)科與科學(xué)、數(shù)學(xué)教育置于同等重要的位置，強調(diào)了過程與實踐的重要性。在設(shè)計STEM課程時，教師應(yīng)重視學(xué)生的動手實踐環(huán)節(jié)，確?；顒蛹染哂兴伎夹杂志邆淇刹僮餍?，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)和科學(xué)的理論知識指導(dǎo)下，完成實驗操作和模型制作等活動。以三力平衡模擬實驗為例，教師需引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并在“實踐”與“思考”的互動中，實現(xiàn)“手腦”的協(xié)同發(fā)展。

（三）促進學(xué)科交叉融合，完善學(xué)生知識體系

STEM課程的豐富性不僅體現(xiàn)在多學(xué)科的交叉融合中，近年來“STEM”還向“STEAM”拓展，引入了人文藝術(shù)教育。這表明學(xué)科之間并非孤立存在，而是相互聯(lián)系。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，雖然具有理論性和抽象性，卻是許多學(xué)科研究的基礎(chǔ)。一種有效的方法是從現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教學(xué)資源出發(fā)，尋找與其他學(xué)科的聯(lián)系，設(shè)計項目式學(xué)習(xí)活動。教師將數(shù)學(xué)的理論性與物理的實踐性相結(jié)合，可以讓學(xué)生對知識有更深刻的理解，從而完善學(xué)生的知識體系，充分發(fā)揮STEM教育的價值。

參考文獻

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[2] 張蓮蓮，黃忠裕，俞勝濤.幾類特殊的費馬點問題及其初等解法[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011（22）：87.

[3] 鄧清.基于平衡態(tài)公理的一類最短路徑問題探究[J].中國數(shù)學(xué)教育，2022（8）：56-59.

（作者胡璽舜系天津師范大學(xué)濱海附屬學(xué)校教師；佘文娟系天津師范大學(xué)濱海附屬學(xué)校高級教師）

責(zé)任編輯：祝元志