摘要：社?；鹱鳛榻鉀Q我國老齡化問題的重要保障基金，近五年投資收益波動較大，如何準確度量社?；鹜顿Y尾部風險是提高社?；鹜顿Y安全性的重要問題。在考慮到收益率序列波動特征的基礎(chǔ)上，本文提出以GARCH族模型刻畫收益率序列波動性特征，POT模型處理極端尾部數(shù)據(jù)，構(gòu)建三種金融市場尾部風險度量模型：ARMA-GARCH-POT、ARMA-EGARCH-POT和ARMA-GJRGARCH-POT，將其應(yīng)用于風險價值VaR的動態(tài)測度。在極值POT模型構(gòu)建時采用AU2統(tǒng)計量確定閾值，W2和A2統(tǒng)計量進行尾部擬合優(yōu)度檢驗，避免了主觀性。最后對VaR進行測度及回測，結(jié)果表明：傳統(tǒng)GARCH-VaR模型會低估極端尾部風險，結(jié)合POT模型的GARCH類模型對動態(tài)VaR的測度效果更為準確，且各模型在990%置信水平下能夠更加準確地量化股市收益率尾部風險。

關(guān)鍵詞：社保基金；尾部風險測度；ARMA-GARCH族模型；極值理論；VaR

一、引言與文獻綜述

隨著我國老齡化程度逐漸加深，全國社會保障基金（以下簡稱“社?；稹保┰诮鉀Q老齡化問題中的作用將越來越重要。社?；饛?000年8月設(shè)立之初的資產(chǎn)總額80509億元到2022年年末的基金資產(chǎn)總額2883521億元，同比增長約35倍①。在合理風險范圍內(nèi)實現(xiàn)龐大資金規(guī)模的保值、增值顯得十分重要，一旦投資不慎，則會造成大面積的經(jīng)濟危害。此外，由全國社?；鹄硎聲迥昱兜臄?shù)據(jù)來看，2018—2022年投資收益率分別為-228%、1406%、1584%、427%、-507%②，收益率波動較大，且有兩年出現(xiàn)負收益率的情況，社?；鹜顿Y面臨的風險較大。因此，要對社保基金投資風險進行有效的管控，其投資風險測度的研究刻不容緩。

社?；鹜顿Y收益的異常波動往往會使投資者遭受重大損失，因而對資產(chǎn)收益率的尾部風險進行準確刻畫與預(yù)測，將有助于金融管理者規(guī)避市場風險。當前，風險價值（VaR）是常用的金融風險度量工具，VaR的傳統(tǒng)估計方法（蒙特卡洛模擬法、方差-協(xié)方差法、歷史模擬法）通常假定資產(chǎn)收益率序列為正態(tài)分布。然而，金融資產(chǎn)收益率序列數(shù)據(jù)通常具有尖峰厚尾特性，這意味著傳統(tǒng)方法估計的VaR會低估尾部風險，即會忽略由極值事件引發(fā)的極端風險，使風險估計結(jié)果不精準。極值理論是研究隨機過程產(chǎn)生極大值或極小值分布及其特征的方法，其著重對隨機過程的尾部進行建模，且極值理論可以在總體分布未知的情況下，依靠樣本數(shù)據(jù)外推得到總體極值的變化性質(zhì)，克服了傳統(tǒng)統(tǒng)計方法不能超越歷史樣本數(shù)據(jù)進行風險預(yù)測的問題。將極值理論引入金融風險度量，可利用其對厚尾估計的優(yōu)勢修正VaR因正態(tài)分布假設(shè)不足所導致的尾部風險低估問題，及其不能越過樣本數(shù)據(jù)進行分析的局限性。此外，資產(chǎn)收益率序列除具有尖峰厚尾特征外，往往還會伴隨著一定的自相關(guān)性和波動聚集現(xiàn)象，GARCH族波動率模型可以很好地過濾收益率序列中的自相關(guān)性和條件異方差性。因此，波動率模型與極值理論相結(jié)合可以更好地模擬金融時間序列，進行尾部風險的度量，在此理論框架下構(gòu)建模型并求出相應(yīng)的VaR將更具現(xiàn)實意義。

使用波動率模型和極值理論在金融領(lǐng)域做風險測度實證研究一直是熱點。McNeil和Frey（2000）首次使用極值理論（EVT）來估計條件異方差GARCH模型信息分布的尾部，研究表明將GARCH模型和POT模型相結(jié)合估計的VaR和預(yù)期損失（ES）效果更好。我國學者陳守東等（2007）以上證指數(shù)為研究對象，采用GARCH-EVT估計得到了相對于靜態(tài)指標更好的收益率序列的動態(tài)VaR和ES。蔣晶晶等（2015）使用GARCH-EVT-VaR和GARCH-VaR模型對歐盟碳市場風險進行計量，并對模型計量結(jié)果后檢驗，對比分析證明了GARCH-EVT-VaR模型可以更加精確地對碳市場中的風險進行計量，為未來可能發(fā)生的極端事件做好準備。胡根華（2019）構(gòu)建GJRGARCH-EVT模型，擬合中國與東盟主要國家股市收益率序列的邊緣分布，證明了“一帶一路”倡議的實施具有一定的風險規(guī)避功能。梁媛和高彩霞（2018）建立ARMA-EGARCH-EVT、ARMA-TGARCH-EVT兩個風險度量模型，以蘋果公司股票數(shù)據(jù)為分析對象，結(jié)果表明兩個模型都可以很好地捕捉尾部風險。極值理論常用模型為POT模型，該模型的核心是選取一個合理的閾值，閾值的選擇決定了模型形狀參數(shù)和風險價值估計的準確性，然而對于閾值的選取至今未形成一個統(tǒng)一的方法。當前閾值選取的常見方法主要有圖解法、Hill統(tǒng)計量法和基于Cramér-von統(tǒng)計量W2、Anderson-Darling統(tǒng)計量A2的GPD模型檢驗方法，但這些方法都具有一定的缺陷，國內(nèi)學者在閾值選取方法上進行創(chuàng)新的成果較少。楊青等（2010）嘗試使用平均超出量函數(shù)圖結(jié)合Hill圖法確定CVaR-EVT模型閾值，但圖解法和Hill統(tǒng)計量法在實際應(yīng)用中受主觀因素影響較大；顧云等（2022）將HillPlot圖形法與W2、A2統(tǒng)計量結(jié)合交叉驗證確定最優(yōu)閾值，并與傳統(tǒng)確定閾值方法相比較，在一定程度上避免了選取閾值時的主觀性。由混合權(quán)重函數(shù)構(gòu)建的W2、A2統(tǒng)計量會阻礙對分布函數(shù)一側(cè)尾部的單獨研究，因此在構(gòu)建尾部擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量時，需要對分布函數(shù)的上尾或下尾差異進行分配權(quán)重。為此，Hoffmann和Brner（2018）使用AU2統(tǒng)計量，并提出了一種不需要制定任何參數(shù)規(guī)范來分離所需子集的程序，以MSCI指數(shù)為分析對象，有效地確定了一個將未知底分布劃分為主體和尾部區(qū)域的閾值。

通過對以上文獻分析可以發(fā)現(xiàn)，將極值理論與GARCH族模型相結(jié)合的混合模型可以提高對資產(chǎn)收益率序列尾部風險的計量精度，但不同類型的GARCH模型與極值理論相結(jié)合對尾部風險的刻畫不盡相同，將不同類型的GARCH-EVT模型對資產(chǎn)收益率序列的尾部風險模擬情況進行比較的實證分析不多。此外，當前對極值模型閾值的選取大都還停留在傳統(tǒng)方法上，不可避免地會受到主觀性的影響，風險測度結(jié)果不夠準確。因此，本文考慮標準GARCH和非對稱GARCH模型與極值理論相結(jié)合，并采用基于AU2統(tǒng)計量的擬合優(yōu)度檢驗法確定極值模型閾值，對比分析不同模型得到的VaR值并進行回測檢驗，為我國社?；鹜顿Y風險測度提供方法借鑒，豐富現(xiàn)有文獻研究結(jié)果。

二、模型及風險計量指標介紹

（一）ARMA-GARCH族模型

通常情況下，資產(chǎn)收益率序列具有尖峰厚尾特性，并伴隨著一定的自相關(guān)性和條件異方差性，為消除這些特性，可采用ARMA模型修正自相關(guān)，GARCH模型修正條件異方差。下式給出了ARMA（p，q）-GARCH（m，n）的一般形式：

rt=c+∑pi=1αirt－i+∑qj=1βjet－j+et（1）

et=σtεt（2）

σ2t=ω+∑mi=1φie2t－i+∑nj=1θiσ2t－j（3）

式（1）為均值方程，刻畫ARMA（p，q）過程，t代表時間，r表示收益率，c代表均值方程的截距項，et代表隨機擾動項，αi為自回歸項系數(shù)，表示滯后i期的收益率對當前收益率的影響，βj為移動平均項系數(shù)，表示滯后j期的殘差對當前收益率的影響。式（2）描述了殘差項，σt為條件方差，εt是一個白噪聲過程。式（3）為方差方程，ω為常數(shù)項，φ、θ分別表示ARCH系數(shù)和GARCH系數(shù)。

經(jīng)ARMA-GARCH模型過濾后可得到條件均值μt和條件方差σt，進而得到標準化殘差序列{zt}，zt是近似服從均值為0、方差為1的獨立同分布的隨機變量：

（zt－q+1，…，zt）=rt－q+1－μt－q+1σt－q+1，…，rt－μtσt

=et－q+1σt－q+1，…，etσt（4）

對于GARCH族模型，其定階比較困難，不少研究表明m、n取值都為1的GARCH模型，一方面具有很好的擬合性；另一方面在金融上的應(yīng)用更為廣泛，而且符合計量模型簡約性的要求。因此，我們通常直接建立GARCH（1，1）模型。此外，由于GARCH模型不能刻畫收益率序列的杠桿效應(yīng)，下面再介紹兩種能描述收益率非對稱性的EGARCH和GJRGARCH模型。

為了克服GARCH模型的某些缺陷，Nelson于1991年提出了EGARCH模型，ARMA（p，q）-EGARCH（1，1）模型形式表示為

rt=c+∑pi=1αirt－i+∑qj=1βjet－j+et（5）

et=σtεt（6）

lnσ2t=ω+φet－1σt－1－Eet－1σt－1+λet－1σt－1+θlnσ2t－1（7）

其中，在εt近似服從標準正態(tài)分布下，E（εt）=2π，通過引入杠桿系數(shù)λ，波動率對正值和負值的et－1反應(yīng)不同，負的et－1對波動率的貢獻為（φ－λ）et－1/σt－1，正的et－1對波動率的貢獻為（φ+λ）et－1/σt－1。所以當λ小于0且顯著時，負收益對條件方差的影響要大于正收益，即刻畫了金融市場資產(chǎn)收益率對波動率影響的杠桿效應(yīng)，反之則存在反杠桿效應(yīng)。

另一個常用來處理非對稱效應(yīng)的波動率模型為門限GARCH（TGARCH）模型，又稱為GJRGARCH模型，由Glosten、Jagannathan和Runkle提出。ARMA（p，q）-GJR-GARCH（1，1）模型形式表示為

rt=c+∑pi=1αirt－i+∑qj=1βjet－j+et（8）

et=σtεt（9）

σ2t=ω+（φ+λdt－1）e2t－1+θσ2t－1（10）

其中，dt－1是虛擬變量；參數(shù)λ大于0時，若et－1<0，dt－1=1，若et－1＞0，dt－1=0。從模型可以看出，負的et－1對波動率的貢獻（φ+λ）e2t－1大于正的et－1對波動率的貢獻φe2t－1。同樣，參數(shù)λ的顯著性可以判斷非對稱效應(yīng)的存在。

（二）極值理論POT模型

極值模型包括BMM模型（區(qū)間極值模型）和POT模型（閾值模型），但是BMM模型可能會忽略掉一些包含豐富信息的數(shù)據(jù)，其有效性不充分。POT模型是一種對樣本中超過某一閾值的所有數(shù)據(jù)進行建模的方法，對樣本中所有超過閾值的數(shù)據(jù)利用廣義Pareto分布（GPD）進行擬合。不少研究表明，POT模型適用于刻畫極端風險，對擬合厚尾分布具有較好效果。因此，本文采用極值POT模型描述股市收益率尾部風險。經(jīng)由ARMA-GARCH模型過濾得到的標準化殘差序列{zt}近似為獨立同分布時，對某一足夠大的閾值u，可假設(shè)超出量（Xt=zt－u）近似服從GPD分布：

G（x；ξ，β）=1－1+ξxβ－1/ξ，ξ≠01－exp（－xβ），ξ=0（11）

其中，ξ、β分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，當ξ≥0時，x≥0，當ξ＜0時，0≤x≤-β/ξ。形狀參數(shù)ξ決定了分布尾部的厚度，ξ越大尾部越厚，相反尾部越薄。

假設(shè)標準化殘差序列的總體分布函數(shù)是F（z），總體分布函數(shù)通常情況下未知，超出量Xt的分布函數(shù)記為Fu（x），由條件概率公式推導可得到總體分布函數(shù)表達式：

F（z）=（1－F（u））×Fu（x）+F（u）（12）

對于選取的閾值u，在樣本總量n中超過閾值u的個數(shù)記為Nu，則F（u）可以近似表示為

F～（u）=n－Nun（13）

再將G（x；ξ，β）代替Fu（x），即可得到總體分布F（z）表達式：

F（z）=1－Nun1+ξxβ－1/ξ，ξ≠01－Nunexp－xβ，ξ=0（14）

（三）POT模型閾值選取方法

POT模型建立的核心是選取合適的閾值，選取的閾值是否恰當會影響到風險指標估計結(jié)果的精準度。目前有學者嘗試使用由加權(quán)均方誤差構(gòu)建的Cramér-von統(tǒng)計量W2、Anderson-Darling統(tǒng)計量A2來確定閾值，但W2、A2統(tǒng)計量的權(quán)重函數(shù)對分布的上尾和下尾進行相同程度的加權(quán)，不利于對分布的一側(cè)尾部進行單獨研究。Brner和Hoffmann提出建議使用AU2上尾檢驗統(tǒng)計量或AL2下尾檢驗統(tǒng)計量來有效確定閾值，后續(xù)又通過對一攬子加密貨幣收益率尾部數(shù)據(jù)進行建模，能夠有效度量尾部風險。

考慮加權(quán)均方誤差Rn來衡量模擬分布G（x）與經(jīng)驗累積分布函數(shù)Fn（x）之間的差異，如式（15）所示，其中w（t）為非負權(quán)重函數(shù)，a、b代表應(yīng)力參數(shù)，分別影響下尾權(quán)重和上尾權(quán)重。當a=b=0時，Rn代表著W2統(tǒng)計量；當a=b=1時，Rn代表著A2統(tǒng)計量；當a=1，b=0時，為AL2下尾統(tǒng)計量；當a=0，b=1時，為AU2上尾統(tǒng)計量，見式（16）。由于需要對收益率的極端損失數(shù)據(jù)進行建模，對隨機變量z做坐標變換y=－z，隨機變量z分布的下尾分析可以在坐標變換后，通過使用隨機變量y的上尾統(tǒng)計量來執(zhí)行，因此本文只考慮AU2統(tǒng)計量。

Rn=n∫+∞－∞（Fn（x）－G（x））2w（G（x））dG（x）w（t）=1ta（1－t）bt∈［0，1］，a≥0，b≥0（15）

Rn，0，1=12n－∑ni=1［2G（xi）+2（n－i）+1nln（1－G（xi）］（16）

基于上尾檢驗統(tǒng)計量AU2的擬合優(yōu)度檢驗法來確定極值模型閾值的自動化建模過程步驟如下：

（1）對從未知分布中隨機抽取的數(shù)據(jù)樣本按照y（1）＞y（2）＞…＞y（n）降序排列；

（2）設(shè)k=2，…，n，并對每個k求出相應(yīng)的G（x；ξ，β）的參數(shù)估計值ξ^、β^；

（3）對于每個i=1，…，k，由式（11）計算相應(yīng)概率G（xi；ξ^，β^），并代入式（16）確定統(tǒng)計量AU2k；

（4）找到使AU2k取得最小值時對應(yīng)的索引值k*。

通過以上步驟可以找到最優(yōu)閾值u^=yk*，并且未知底分部的尾部模型G（x；ξ^k*，β^k*）由樣本子集y（1）＞y（2）＞…＞y（k*）估計確定。

（四）風險測度指標構(gòu)建

風險價值（VaR）的定義為資產(chǎn)在置信水平q下，其在未來一段時間內(nèi)的最大可能損失，其實質(zhì)是某一置信水平下的高分位數(shù)。下面給出ARMA-GARCH族模型下VaR的估計表達式，在假定收益率近似服從正態(tài)分布下，收益率序列{rt}的VaRtq與殘差序列{zt}的VaRq的關(guān)系為

VaRt+1q=μt+1+σt+1VaRq（17）

其中，VaRq=F－1z（q）表示標準正態(tài)分布的q分位數(shù)。

同理，對于給定置信度q，由式（14）可得POT模型下的VaR估計表達式：

VaRq=F－1z（q）=u+（nNu（1－q）－ξ^－1）（18）

結(jié)合波動率模型，可得到基于ARMA-GARCH族模型和POT模型下構(gòu)建的動態(tài)VaR估計表達式：

VaRt+1q=μt+1+σt+1u+（nNu（1－q）－ξ^－1）（19）

（五）VaR回測分析

對于模型得到VaR估計值，使用Kupiec（1995）提出的似然比檢驗進行回測分析，其核心思想是當實際損失大于VaR估計值時，則該VaR值沒有有效衡量資產(chǎn)在持有期的預(yù)期最大損失，即估計失敗。記T為實際考察天數(shù)，失敗次數(shù)為N，p=N/T為實際失敗率。期望失敗率記為p*=1－q，期望失敗率與實際失敗率越接近，估計的VaR越準確。構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量LR如下：

LR=－2ln（（1－p*）T－Np*N）+2ln（（1－N/T）T－N（N/T）N）～χ2（1）（20）

假設(shè)在95%置信水平下，自由度為1的卡方分布臨界值為3841，若在95%置信水平下計算的LR統(tǒng)計量小于3841，即認為此時VaR值有效，模型適用。

三、實證分析

（一）數(shù)據(jù)樣本選取及分析

我國社?；鹜顿Y以往集中于銀行存款、國債等低風險、低收益產(chǎn)品，這也限制了社?；鸬谋Ｖ?、增值能力。因此，近些年社?；鹪谥饾u增加對股市的投資比例。社?；鹜顿Y股市可以提高收益率，但鑒于我國資本市場尚不成熟，基金入市也面臨較大風險。本文以上證指數(shù)為例，對社?；鹜顿Y風險進行刻畫，樣本數(shù)據(jù)來源于WIND數(shù)據(jù)庫，數(shù)據(jù)處理及分析借助SPSS260、MATLABR2021b完成。

選取上證指數(shù)2013年1月4日至2023年7月28日共2569個交易日收盤價為研究對象，由于樣本時間跨度較長，且該時期出現(xiàn)了影響股市的極端事件，這將有利于提取收益率序列的尾部風險信息。使用收益率公式rt+1=lnpt+1－lnpt，對原始收盤價做對數(shù)收益率處理，能夠剔除時間序列數(shù)據(jù)中的趨勢項成分，使處理后的數(shù)據(jù)更具平穩(wěn)性原始收盤價有2569個數(shù)據(jù)，進行對數(shù)處理后得到2568個數(shù)據(jù)。。其中pt表示股票在第t個交易日的收盤價，rt為對數(shù)收益率，圖1給出了樣本對數(shù)收益率的時間序列。

圖1樣本容量為2568的上證指數(shù)收益率序列

由圖1可以初步判斷該收益率序列圍繞0上下波動，大致為平穩(wěn)序列。收益率伴隨著明顯的波動聚集性，即大波動后緊跟著大波動，小波動后緊跟著小波動。此外，該收益率序列波動對正收益和負收益的反應(yīng)不一致，即可能存在非對稱效應(yīng)。一些觀測值區(qū)間波動較大，如第700個觀測值到第1000個觀測值，這可能是受一些極端事件的影響所致。綜上，初步判斷該收益率序列大致吻合GARCH族模型建模特征。

對該收益率序列的統(tǒng)計特性、相關(guān)檢驗進行進一步分析，結(jié)果如表1所示。從均值計算結(jié)果來看，上證指數(shù)收益率偏低，由標準差結(jié)果來看，該收益率序列波動較大，符合股票市場高風險、高收益的特征。偏度系數(shù)06411大于0，屬于右偏分布，說明收益率序列是非對稱的。峰度系數(shù)286101遠大于正態(tài)分布的峰值3，J-B檢驗結(jié)果在1%顯著性水平下能夠認為該序列不服從正態(tài)分布，再由對數(shù)收益率序列Q-Q圖（圖2）可知，尾部樣本點明顯偏離直線，說明該收益率分布函數(shù)尾部相較于正態(tài)分布尾部具有厚尾特性。由自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)圖（圖3）可知，對數(shù)收益率序列存在明顯自相關(guān)性。最后，對收益率序列做平穩(wěn)性檢驗可知，ADF檢驗t統(tǒng)計量在1%顯著性水平下接受原假設(shè)，即該序列平穩(wěn)，可做時間序列分析。

（二）ARMA-GARCH類模型構(gòu)建及樣本過濾

首先構(gòu)建ARMA模型描述該時間序列的變化趨勢，模型階數(shù)由自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)及結(jié)合AIC、BIC信息準則確定，最終選擇構(gòu)建ARMA（3，6）模型作為均值方程，模型參數(shù)估計如表2所示，參數(shù)估計結(jié)果均在1%顯著性水平下顯著。

對ARMA（3，6）模型殘差項et分別做滯后5、10、15階的Ljung-Box相關(guān)性檢驗，檢驗結(jié)果如表3所示，可知ARMA（3，6）模型對該時間序列模擬較好，殘差序列不存在自相關(guān)性。ARMA模型通常假定殘差項服從白噪聲過程，即殘差項的方差是一個常數(shù)，所以ARMA模型只能消除收益率序列的自相關(guān)性，還需要建立GARCH模型消除收益率序列的異方差性。首先對殘差平方項e2t做拉格朗日乘數(shù)LM-ARCH檢驗，確保該序列適合使用GARCH模型進行刻畫，輔助線性回歸模型滯后階數(shù)為5，檢驗結(jié)果如表3所示，可知收益率序列存在ARCH效應(yīng)，可以構(gòu)建GARCH模型。

由于GARCH模型不能夠刻畫收益率序列的非對稱效應(yīng)，即收益的上漲或下跌會非對稱地影響隨后的波動。因此，本文繼續(xù)構(gòu)建ARMA（3，6）-EGARCH（1，1）、ARMA（3，6）-GJRGARCH（1，1）模型進一步來刻畫收益率的非對稱效應(yīng)。從表6參數(shù)估計結(jié)果可以看到，EGARCH模型杠桿系數(shù)λ大于0且顯著，正收益對波動性帶來087倍的影響要大于負收益對波動①在ARMA模型和GARCH模型之間存在相關(guān)性或者相互影響的情況下，即使某些ARMA模型參數(shù)不顯著，GARCH模型可能仍然需要這些參數(shù)來更好地捕捉數(shù)據(jù)的特征，不顯著的參數(shù)表4不再列出。

性帶來078倍的影響，表明收益率序列存在反杠桿效應(yīng)。GJRGARCH模型的杠桿系數(shù)λ大于0且顯著，正收益對波動性帶來016倍的影響要小于負收益對波動性帶來053倍的影響，說明收益率序列存在杠桿效應(yīng)。兩個模型均證明該收益率序列存在顯著的非對稱效應(yīng)，但得到非對稱結(jié)果相反。Ljung-Box檢驗、K-S檢驗結(jié)果證明在5%顯著性水平下兩模型均擬合效果良好且過濾后的標準化殘差為白噪聲。

為進一步對模型擬合效果進行評價，使用赤池信息準則（AIC）、貝葉斯信息準則（BIC）及對數(shù)似然函數(shù)值對三種模型進行評價。AIC、BIC越小，對數(shù)似然函數(shù)值越大，代表模型擬合效果越好，即模型所預(yù)測出的結(jié)果更符合實際數(shù)據(jù)。由表7可知，非對稱類模型各指標評價要優(yōu)于對稱GARCH模型，表明考慮到收益率序列非對稱特性的GARCH模型對數(shù)據(jù)擬合效果會更好。此外，EGARCH模型擬合效果要優(yōu)于GJRGARCH模型，因此我們更傾向于認為該收益率序列存在反杠桿效應(yīng)。

（三）POT模型及最優(yōu)閾值構(gòu)建

極值POT模型是對超過某一閾值的觀測值使用廣義Pareto分布進行擬合，因此在POT模型中，閾值的選取極為重要，其將直接影響到模型對收益率序列尾部數(shù)據(jù)的擬合程度。對于經(jīng)由ARMA-GARCH族模型過濾得到的標準化殘差序列{zt}，采用AU2統(tǒng)計量確定閾值u，同時使用W2、A2統(tǒng)計量檢驗極值POT模型擬合優(yōu)度。表8給出了三種模型在AU2取得最小值時的POT模型相關(guān)參數(shù)估計量，從形狀參數(shù)ξ來看，參數(shù)值均大于0，說明樣本數(shù)據(jù)表現(xiàn)出比正態(tài)分布尾部更厚的特征，與描述性分析結(jié)果一致。此外，三種模型的AU2、W2、A2統(tǒng)計量檢驗均在5%顯著性水平下通過擬合優(yōu)度檢驗。

以GARCH-POT模型為例，圖4左圖給出了AU2統(tǒng)計量隨尾部樣本量k的增加及其P值變化情況，右圖為在AU2統(tǒng)計量最小值附近，包括W2、A2統(tǒng)計量在內(nèi)及其相應(yīng)p值的擴大圖?？梢钥吹?，GARCH-POT、EGARCH-POT、GJRGARCH-POT模型分別在k=199、k=188、k=431處AU2達到了最小值，此時的閾值代表著最佳閾值，同時，在此區(qū)域附近AU2、W2、A2統(tǒng)計量幾乎都達到了最小，相應(yīng)P值均很高，表明構(gòu)建的POT模型對尾部數(shù)據(jù)擬合質(zhì)量足夠高。根據(jù)經(jīng)驗法則，超出閾值的樣本數(shù)量應(yīng)占據(jù)總樣本數(shù)量的10%～15%，本文由AU2統(tǒng)計量確定三種模型的尾部樣本數(shù)據(jù)占比分別為78%、73%、168%，如果使用AU2統(tǒng)計量確定閾值的方法是錯誤的，那么W2、A2統(tǒng)計檢驗應(yīng)該會拒絕閾值范圍內(nèi)的廣義Pareto分布，而檢驗結(jié)果顯示三種模型在各自選定閾值下的擬合優(yōu)度較好，這說明最優(yōu)尾部長度與數(shù)據(jù)總量之間并不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系，使用AU2統(tǒng)計量能夠避免主觀因素的影響且有效確定閾值。

圖5給出了數(shù)據(jù)的經(jīng)驗累積分布函數(shù)，以GARCH-POT模型為例，經(jīng)驗分布函數(shù)Fn（x）在u=y（199）=06961處分離出尾部區(qū)域，內(nèi)圖顯示了GPD分布作為

尾部模型和經(jīng)驗分布函數(shù)尾部區(qū)域的比較，以及給出了金融機構(gòu)風險評估中常用置信水平950%、99%、999%下的高分位數(shù)比較?？梢钥吹接葾RMA-GARCH、ARMA-EGARCHT和ARMA-GJRGARCH模型得到的標準化殘差尾部經(jīng)驗累積分布與GPD分布表現(xiàn)基本一致，因此可以使用POT模型進行VaR法的尾部風險測度。

（四）VaR測度及回測分析

首先利用GARCH類模型對收益率序列樣本觀測日期內(nèi)三種置信水平下的VaR進行風險測度，根據(jù)前文得到的GARCH類模型遞推得到每天的條件方差和條件均值，在標準化殘差近似服從標準正態(tài)分布下，計算相應(yīng)分位數(shù)，代入式（17）計算每一天的VaR值，回測分析結(jié)果如表9所示?？芍挥蠩GARCH-VaR

模型在99%置信水平下的VaR值通過了回測檢驗，其余模型在較高置信水平下（990%、999%）會低估風險，表明傳統(tǒng)GARCH-VaR模型對厚尾特征下的資產(chǎn)收益率序列尾部風險估計精度不高。

將POT模型估計參數(shù)代入式（18）得到置信水平分別為950%、990%、999%下的VaR估計值，三種模型估計的尾部風險計量結(jié)果如表10所示。初步可知，隨著置信水平的提高，模型對VaR的估計越來越高。由POT模型估計得到的VaR只是一個靜態(tài)測度值，靜態(tài)VaR沒有考慮波動率的時變特性，其在整個時間段內(nèi)都是靜止不變的，在測算上會存在較大的誤差。動態(tài)VaR結(jié)合了波動率的時變性，下一個時間點的波動性根據(jù)上一個時間點的波動性進行預(yù)測，整個時期中波動性并不是固定的，因此在預(yù)測精度、時效性等方面都是靜態(tài)風險值所無法比擬的。

結(jié)合上述結(jié)果，進一步利用式（19）測算2568個交易日上證指數(shù)的動態(tài)風險價值，三種模型及對應(yīng)不同置信水平下的動態(tài)VaR值如圖6所示，并對計量結(jié)果進行失敗率回測檢驗，結(jié)果見表11。從圖6來看，三種模型得出的VaR大體上都能刻畫收益率序列的波動聚集特性，結(jié)合表11中的數(shù)據(jù)進行分析，得到以下結(jié)論：

（1）在風險測度方法上，GARCH-POT-VaR模型對收益率序列尾部風險的測度效果與傳統(tǒng)GARCH-VaR模型相比有較大提升。這表明將波動率GARCH類模型與極值理論相結(jié)合，不僅能夠?qū)κ找媛市蛄械牟▌有?、非對稱性等特征進行刻畫，還能夠?qū)ξ膊繑?shù)據(jù)特征較好的擬合，得到的VaR值更貼近實際損失。

（2）三種模型在三種置信水平下均通過了失敗率檢驗，三種模型測度效果并沒有太大差別，并且EGARCH-POT-VaR和GJRGARCH-POT-VaR模型測度結(jié)果幾乎一致。

（3）相較于950%和999%置信水平，990%置信水平下各模型的LR統(tǒng)計量更小，失敗率也更貼近期望失敗率，因此，各模型在990%置信水平下對尾部風險的估計效果最精準。

四、結(jié)語

本文利用GARCH族模型在刻畫收益率序列波動性方面的優(yōu)勢及極值POT模型對尾部極端數(shù)據(jù)的處理能力，構(gòu)建ARMA-GARCH-POT、ARMA-EGARCH-POT、ARMA-GJRGARCH-POT模型，結(jié)合VaR風險測度方法對社?；鹜顿Y風險進行測度，有以下幾點結(jié)果：第一，股市收益率序列描述性統(tǒng)計結(jié)果顯示，收益率不服從正態(tài)分布，而呈現(xiàn)尖峰厚尾特性，并伴隨著自相關(guān)、波動聚集、非對稱特征。第二，ARMA-EGARCH、ARMA-GJRGARCH模型相較于ARMA-GARCH只能刻畫自相關(guān)、波動聚集特性，還能較好地刻畫資產(chǎn)收益率的非對稱特性，且ARMA-EGARCH對收益率序列的波動性刻畫最為真實。第三，極值POT模型檢驗結(jié)果證明GPD分布能夠較好地模擬收益率序列的尾部分布，同時在選取閾值時，采用AU2統(tǒng)計量擬合優(yōu)度檢驗法可以有效避免主觀因素的影響。第四，由VaR回測結(jié)果來看，傳統(tǒng)GARCH-VaR模型會低估極端尾部風險，POT模型能夠較好彌補GARCH類模型對尾部風險估計不足的缺陷。三種GARCH-POT模型都能夠?qū)討B(tài)VaR進行較好的測度，且在990%置信水平下各模型測度效果最好。

當前我國資本市場尚不成熟，社?；鹜顿Y還面臨較大風險，GARCH-POT-VaR模型為全國社會保障基金理事會準確測度我國股市尾部風險提供了理想工具，有利于投資管理人對資產(chǎn)價格波動風險的量化和管控。

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ResearchonTailRiskMeasurementofSocialSecurityFundInvestmentBasedonGARCH-POT-VaRModel

CHENGuodongWANGJiaqi

（SchoolofManagementandEconomics，NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower，Zhengzhou450046，China）

Abstract：Socialsecurityfundisanimportantsecurityfundtosolvetheagingproblemofourcountry，theinvestmentincomefluctuatesgreatlyinthepastfiveyears，howtoaccuratelymeasuretheinvestmentriskofsocialsecurityfundisanimportantissuetoimprovetheinvestmentsecurityofsocialsecurityfundOnthebasisofconsideringthevolatilitycharacteristicsofthereturnseries，theGARCHfamilymodelisproposedtodepictthevolatilitycharacteristicsofthereturnseriesandthePOTmodeltoprocessextremetaildata，andthreetailriskmeasurementmodelsoffinancialmarketsareconstructed：ARMA-GARCH-POT，ARMA-EGARCH-POTandARMA-GJRGARCH-POTareappliedtothedynamicmeasurementofVaRIntheconstructionofextremePOTmodel，AU2statisticswereusedtodeterminethethreshold，andW2andA2statisticswereusedtotestthegoodnessoftailfitting，whichavoidedsubjectivityFinally，VaRismeasuredandback-testedTheresultsshowthatthetraditionalGARCH-VaRmodelwillunderestimatetheextremetailrisk，andtheGARch-typemodelcombinedwithPOTmodelhasamoreaccuratemeasurementeffectondynamicVaR，andeachmodelcanmoreaccuratelyquantifythetailriskofstockmarketreturnatthe990%confidencelevel

Keywords：SocialSecurityFund；TailRiskMeasurement；ARMA-GARCHFamilyModel；ExtremeValueTheory；VaR