摘 要：本文聚焦于電源最大輸出功率的探討，旨在啟迪學(xué)生思維，深化學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解，并提升學(xué)生運(yùn)用該知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：最大輸出功率；等效電阻；等效電源

在2019年人教版普通高中教科書物理必修第三冊(cè)“電能 能量守恒定律”的章節(jié)中，存在一類聚焦于求解電源最大輸出功率及外電路用電器最大功率的題目。這類問題存在多種解決方法，解題時(shí)學(xué)生需根據(jù)具體問題靈活選擇。本文就如何求解電源的最大輸出功率這一問題進(jìn)行簡(jiǎn)要探討。

1 電源最大輸出功率的推導(dǎo)

1.1 第一種情況

當(dāng)外電路為純電阻電路時(shí)，設(shè)電源的電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，外電阻為R，則電源的輸出功率為

P＝I²R＝ER＋r²R＝E²（R＋r）²R＝E²（R－r）²＋4RrR＝E²（R－r）²R＋4r。

由上式可知，當(dāng)R＝r時(shí)，P有最大值，且為Pmax＝E²4r，此時(shí)干路電流為I＝E2r。

1.2 第二種情況

當(dāng)外電路為非純電阻電路時(shí)，設(shè)電源的電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，外電壓為U，則電源的輸出功率為

P＝UI＝（E－Ir）I＝－rI²＋EI。

由上式可知，E、r為定值，I為變量，這是一個(gè)一元二次方程。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)I＝E2r時(shí)，P有最大值，且為Pmax＝E²4r。

綜上可知，無(wú)論是純電阻電路還是非純電阻電路，當(dāng)I＝E2r時(shí)，電源的輸出功率最大，最大值均為Pmax＝E²4r。由推導(dǎo)過程不難發(fā)現(xiàn)，第二種情況更具有普遍性，適用于任何電路，第一種情況是第二種情況的特例。由公式Pmax＝E²4r可知，電源的最大輸出功率只與E和r有關(guān)，與外電路無(wú)關(guān)。無(wú)論外電路是純電阻電路，還是非純電阻電路，只要電源給定，其最大輸出功率便已確定。需要說明的是，此導(dǎo)出的結(jié)論

只

在電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻一定、外電阻發(fā)生變化的情況下才成立。

根據(jù)上述結(jié)論，在求解電源的最大輸出功率問題時(shí)，無(wú)論是純電阻電路，還是非純電阻電路，都滿足相同的規(guī)律，這樣就可以把問題統(tǒng)一起來，用同一種方法解決同一類問題。下面，本文將通過實(shí)例，分析在不同類型電路中如何運(yùn)用導(dǎo)出結(jié)論求解

電源輸出功率的極值問題。

2 純電阻電路中電源最大輸出功率的應(yīng)用

2.1 定值電阻與滑動(dòng)變阻器串聯(lián)

例1 如圖1所示，R₂為滑動(dòng)變阻器，其最大阻值為10Ω；R₁為定值電阻，其阻值為1Ω；電源的電動(dòng)勢(shì)為E＝3 V，內(nèi)阻為r＝3Ω。

（1）若要求電源的輸出功率最大，則R₂的阻值應(yīng)為多大？電源的最大輸出功率是多少？

（2）若要求滑動(dòng)變阻器消耗的功率最大，則R₂的阻值應(yīng)為多大？滑動(dòng)變阻器R₂消耗的最大功率是多少？

（3）若要求定值電阻R₁消耗的功率最大，則R₂的阻值應(yīng)為多大？電阻R₁消耗的最大功率是多少？

【對(duì)第（1）問進(jìn)行解析】

由導(dǎo)出結(jié)論可知，在外電路為純電阻電路時(shí)，當(dāng)外電阻等于內(nèi)阻時(shí)，電源的輸出功率最大，即R₁＋R₂＝r，解得R₂＝2Ω，此時(shí)電源有最大的輸出功率Pmax＝E²4r＝34W。

【對(duì)第（2）問進(jìn)行解析】

由電路分析可知，當(dāng)R₂變化時(shí)，電流I隨之改變，兩者變化成負(fù)相關(guān)，根據(jù)公式P＝I²R₂無(wú)法直接判斷最大功率。本題求解可借用等效電源法，把R₁當(dāng)作電源內(nèi)阻的一部分，這樣R₂就是外電路電阻了，此時(shí)R₂消耗的最大功率即為等效電源輸出的最大功率。已知等效電源的電動(dòng)勢(shì)為E′＝E，內(nèi)阻為r′＝r＋R₁。根據(jù)導(dǎo)出結(jié)論，當(dāng)R₂＝r′時(shí)，即R₂＝4Ω時(shí)，滑動(dòng)變阻器消耗的功率最大，最大值為P′max＝E²4r′＝916W。

【對(duì)第（3）問進(jìn)行解析】

因?yàn)镽₂是個(gè)可變電阻，若本小問也用等效電源法求解，把R₂當(dāng)作電源內(nèi)阻的一部分，那么等效電源內(nèi)阻會(huì)發(fā)生變化，故不能使用導(dǎo)出結(jié)論。

R₁為定值電阻，根據(jù)公式P＝I²R₁可知，當(dāng)通過R₁的電流最大時(shí)，它的功率也將達(dá)到最大值。由電路分析可知，當(dāng)R₂＝0時(shí)，R₁的電流和功率均為最大值，解得I＝ER₁＋r＝34A，

P″max＝I²R₁＝916W。

2.2 定值電阻與滑動(dòng)變阻器并聯(lián)

例2 如圖2所示，定值電阻為R₀＝2Ω，滑動(dòng)變阻器R的阻值范圍為0～10Ω，電源的電動(dòng)勢(shì)為E＝2V，內(nèi)阻為r＝1Ω。

（1）若要R₀消耗的功率最大，則R的阻值為多大？R₀消耗的最大功率是多少？

（2）若要求R消耗的功率最大，則R的阻值為多大？R消耗的最大功率是多少？

（3）若要求電源的輸出功率最大，則R的阻值為多大？電源的最大輸出功率是多少？

【對(duì)第（1）問進(jìn)行解析】

因?yàn)镽₀為定值電阻，根據(jù)公式P＝U²₀R₀可知，當(dāng)R₀兩端的電壓

（即路端電壓）最大時(shí)，R₀消耗的功率最大。由電路分析可知，當(dāng)R阻值最大時(shí)，R₀兩端電壓最大，即R＝10Ω時(shí)，R₀消耗的功率最大。求R₀消耗的最大功率具體計(jì)算過程如下。

R_總＝R_并＋r＝83Ω，I_總＝ER_總＝34A，U_路＝E－I_總r＝54 V，Pmax＝U²_路R₀＝2532 W。

【對(duì)第（2）問進(jìn)行解析】

本小問的求解可借用等效電源法，即把圖2中虛線所圍部分等效為一個(gè)電源。當(dāng)電源和一定值電阻并聯(lián)時(shí)，等效電源的電動(dòng)勢(shì)等于該定值電阻兩端的電壓，此時(shí)等效電源的電動(dòng)勢(shì)為E′＝R₀R₀＋rE＝43V，內(nèi)阻為r′＝R₀rR₀＋r＝23Ω。根據(jù)導(dǎo)出結(jié)論，當(dāng)R＝r′時(shí)，即R＝23Ω時(shí)，R上消耗的功率最大，最大值為P′max＝E′²4r′＝43²4×23＝23W。

【對(duì)第（3）問進(jìn)行解析】

根據(jù)導(dǎo)出結(jié)論，在純電阻電路中，當(dāng)外電阻等于內(nèi)阻時(shí)，即R_并＝R₀RR₀＋R＝r時(shí)，電源輸出功率最大，解得R＝2Ω，P″max＝E²4r＝1W。

2.3 小結(jié)

當(dāng)把定值電阻R₀等效為電源內(nèi)阻時(shí)，根據(jù)其與電源的串、并聯(lián)的不同，等效電源的處理方法不同，方法如下。

當(dāng)R₀與電源串聯(lián)時(shí)，等效內(nèi)阻是R₀與r的串聯(lián)電阻，即r′＝R₀＋r，等效電動(dòng)勢(shì)是當(dāng)外電路斷開時(shí)的路端電壓，即E′＝E。

當(dāng)R₀與電源并聯(lián)時(shí)，等效內(nèi)阻是R₀與r的并聯(lián)電阻，即r′＝R₀rR₀＋r，等效電動(dòng)勢(shì)是當(dāng)外電路斷開時(shí)的路端電壓，即E′＝R₀R₀＋rE。

3 非純電阻電路中

電源最大輸出功率的應(yīng)用

3.1 直流電動(dòng)機(jī)與滑動(dòng)變阻器并聯(lián)

例3 如圖3所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為E＝8V，內(nèi)阻為r＝2Ω，直流電動(dòng)機(jī)的內(nèi)阻為r₀＝2Ω，當(dāng)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器的阻值為R＝10Ω時(shí)，電源的輸出功率最大，求此時(shí)電動(dòng)機(jī)的機(jī)械功率。

【解析】

根據(jù)導(dǎo)出結(jié)論，無(wú)論外電路是純電阻電路還是非純電阻電路，當(dāng)電源的輸出功率最大時(shí)，滿足I_總＝E2r＝2A，此時(shí)電動(dòng)機(jī)兩端的電壓為U＝E－Ir＝4V，通過滑動(dòng)變阻器的電流為I_R＝UR＝0.4A，通過電動(dòng)機(jī)的電流為I＝I_總－I_R＝1.6A，則P_機(jī)＝UI－I²r₀＝1.28W。

3.2 直流電動(dòng)機(jī)與滑動(dòng)變阻器串聯(lián)

例4 如圖4所示，甲、乙兩電路具有相同的電源，電動(dòng)勢(shì)為E＝12V，內(nèi)阻為r＝3Ω。圖甲中定值電阻為R₀＝1Ω，若調(diào)節(jié)R₁可使電源的輸出功率最大。

圖乙中直流電動(dòng)機(jī)的內(nèi)阻也為R₀，同樣調(diào)節(jié)R₂可使電源的輸出功率最大，此時(shí)電動(dòng)機(jī)恰好正常工作。

已知電動(dòng)機(jī)的額定輸出功率為P₀＝2W，則R₁和R₂的值為（" ）。

A. 2Ω、2ΩB.nbsp; 2Ω、1.5Ω

C. 1.5Ω、1.5ΩD. 1.5Ω、2Ω

【解析】

由于甲、乙電路具有相同的電源，由導(dǎo)出結(jié)論P(yáng)max＝E²4r，I＝E2r可知，兩電路電源具有相同的最大輸出功率Pmax＝12W，輸出功率最大時(shí)的電流也相同，均為I＝2A。甲電路為純電阻電路，當(dāng)電源的輸出功率最大時(shí)，滿足R₁＋R₀＝r，解得R₁＝2Ω。乙電路為非純電阻電路，由能量守恒定律有12W＝2W＋I(xiàn)²（R₂＋R₀），解得R₂＝1.5Ω。故本題答案選B。

4 含變壓器的電路中

電源最大輸出功率的應(yīng)用在含變壓器的電路中，對(duì)于求解變壓器輸出端的最大功率問題，在滿足一定條件時(shí)，也可用導(dǎo)出結(jié)論求解，這里需對(duì)變壓器的電路做等效處理，具體推導(dǎo)如下。

如圖5所示，因?yàn)閁₁I₁＝U₂I₂，U₁∶U₂＝n₁∶n₂，I₁＝U₂I₂U₁＝U₂U₂RU₁＝n₂n₁²U²₁U₁R＝U₁n₁n₂²R，所以有等效電阻R′＝U₁I₁＝n₁n₂²R。

例5 如圖6所示，已知理想變壓器輸入交流電壓為U，原線圈接定值電阻r，副線圈接可變電阻R，原、副線圈匝數(shù)分別為n₁、n₂。求當(dāng)R上消耗的功率最大時(shí)，R的阻值多大？此時(shí)R消耗的最大功率是多少？

【解析】

本題可用等效電阻法處理，把虛線框內(nèi)部的電路作為一個(gè)整體，其等效電阻為R′＝n₁n₂²R，根據(jù)導(dǎo)出結(jié)論，當(dāng)R′＝r，即R＝n₂n₁²r時(shí)，R上消耗的功率最大，

最大功率為Pmax＝U²4r。^［1］

5 結(jié)語(yǔ)

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提到，引導(dǎo)教學(xué)更加關(guān)注育人目的，更加注重培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，更加強(qiáng)調(diào)提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。^［2］

因此，教師在教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和對(duì)知識(shí)的整理歸納能力，引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中尋找物理問題的共性，并通過這些共性提煉出解決物理問題的有效方法，實(shí)現(xiàn)高效且準(zhǔn)確的解題。

在求解電源的最大輸出功率問題時(shí)，無(wú)論是純電阻電路還是非純電阻電路，都遵循相同的規(guī)律；掌握這一規(guī)律能夠顯著加快學(xué)生的解題速度。然而，值得注意的是，這一規(guī)律的應(yīng)用是有前提條件的，即無(wú)論是題目中直接給出的電源還是通過等效變換得到的等效電源，只有在其電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻為定值時(shí)，才能應(yīng)用相關(guān)結(jié)論進(jìn)行求解。

參考文獻(xiàn)

［1］陳敏.用變壓器等效電阻解答遠(yuǎn)距離輸電問題［J］.物理教學(xué)，2018，40（7）：69-71．

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：前言5.