“分?jǐn)?shù)乘法（三）”是北師大版教材五年級下冊的內(nèi)容，是在分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，這是“分?jǐn)?shù)乘法”單元的重點和難點內(nèi)容。學(xué)生雖然已經(jīng)具備豐富的分?jǐn)?shù)加減法及分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的經(jīng)驗，但考慮到分?jǐn)?shù)乘法的抽象性和學(xué)生偏重于形象思維這一特點，本課需要借助大概念統(tǒng)整單元教學(xué)框架，利用面積模型探索算理，歸納算法，從而促進(jìn)學(xué)生思考，體會運算的一致性，發(fā)展運算能力。

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，理解意義

師：同學(xué)們，你們知道莊子嗎？他是我國古代著名的哲學(xué)家。這有一則與莊子有關(guān)的資料，同學(xué)們自己讀一讀吧。

出示資料，（如圖1）學(xué)生自由閱讀。

師：想一想，你同意“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這個觀點嗎？誰來說一說自己的想法？

生1：我不同意，每天截一半，兩天就截完了呀！

生2：我同意，因為第一天截去一半，還剩下一半；第二天還是截去一半，還剩下一半；可以一直截下去啊。

生1：我明白了，第二天截下去的是一半的一半，還剩下一半的一半，的確截不完。

師：同學(xué)們獨立思考，交流討論，弄清了這段話的道理，真好！原來，每次截“一半”會剩下“一半”，再繼續(xù)截，仍會剩下“一半”，只不過這些“一半”不都是一樣長的。我們用一張紙條表示這根木棍，那么每次取一半之后，剩下的部分占這張紙條的幾分之幾呢？

學(xué)生再次閱讀資料，對應(yīng)直觀圖，（如圖2）理解每個算式的意思，完成填空，并解決上述問題。然后，請一名學(xué)生到黑板前分享。

生3：（手勢配合）這是一張紙條，用1表示；第一天截去一半，剩下一半，是1的[12]，也就是1×[12]=[12]；第二天又截去剩下這一半的一半，結(jié)果剩下這張紙條一半的一半，是[12]的[12]，也就是[12]×[12]=[14]；第三天再截去剩下這[14]的一半，結(jié)果剩下這張紙條[14]的一半，是[14]的[12]，也就是[14]×[12]=[18]；依次類推……

師：在前兩節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，這節(jié)繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法（三）——分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。［板書課題：分?jǐn)?shù)乘法（三）——分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)］

師：同學(xué)們都知道，學(xué)習(xí)有關(guān)運算的內(nèi)容時，主要應(yīng)弄清兩點：一是運算的意義，二是運算方法。誰能結(jié)合圖示再來說一說，這里的 [12]×[12]=[14]、[14]×[12]=[18]各表示什么意思？

生4：[12]×[12]=[14]表示[12]的[12]是[14]，[14]×[12]=[18]表示[14]的[12]是[18]。

生5：和上節(jié)課學(xué)過的3×[34]表示3的[34]是多少的意義一致，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)也是求一個數(shù)的幾分之幾是多少。

師：借助這個問題，我們知道了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)運算的意義。但是計算方法呢？

生：分母相乘，分子不變。

生：不對吧？應(yīng)該是“分子相乘作分子，分母相乘作分母”。

生：這幾個分?jǐn)?shù)都是分?jǐn)?shù)單位，你倆說得都對。

師：（順勢板書“分子相乘作分子，分母相乘作分母”）這種方法是否正確？背后又有什么道理呢？特殊的分?jǐn)?shù)不具有一般性，并且這個結(jié)果我們是可以從圖中看出來的。接下來，我們以[34]×[14]為例，重點研究分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運算方法。

【設(shè)計意圖】首先，通過在情境中閱讀以及學(xué)生的辨析，理解“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意思，達(dá)成共識，體會其中精深而有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。接著再次閱讀教材，在閱讀中思考和理解直觀圖所蘊含的意義及算式所表達(dá)的意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力。最后，引出課題，初步理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義。

二、探索分享，明晰算理，總結(jié)算法

1.獨立思考，想一想，說一說。

師：[34]×[14]表示什么？你想怎么計算呢？

學(xué)生獨立思考，然后交流想法。

生1：[34]×[14]表示[34]的[14]是多少，可以先把一張紙平均分成4份，涂出其中的3份，就表示出了[34]?？墒墙酉聛恚也恢涝趺醋隽?。

師：先給你點個贊！能從解決上一個問題的方法中得到啟示，想到用紙折一折、涂一涂，很好。而且，你們對分?jǐn)?shù)的意義理解得很好，能輕松地找到[34]。那怎樣表示[34]的[14]呢？

2.動手操作，折一折，涂一涂。

師：請同學(xué)們拿出一張長方形紙，先想一想怎樣折，想清楚的同學(xué)動手做一做，然后在小組內(nèi)說說你的操作過程。

學(xué)生思考后，動手操作。教師巡視，了解整體探索情況。

3.交流分享，看一看，說一說。

學(xué)生在小組內(nèi)分享，初步了解不同的方法，教師巡視，同時幫助學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生。

師：下面請想到不同方法的同學(xué)進(jìn)行分享，如果有補充或質(zhì)疑，請在匯報結(jié)束時提出來。

生1：我是這樣做的，先把這張紙“十”字對折，平均分成4份，涂出其中的3份，表示[34]。再繼續(xù)“十”字對折，把每1大份平均分成4小份，這樣就把整張紙平均分成了16小份，再涂出涂色部分每1大份的[14]，即1小份，這樣就涂出了3小份，占整張紙的[316]。（如圖3）

生2：我是這樣做的，先把這張紙對折兩次，平均分成4份，涂出其中的3份，表示[34]。再把涂色部分繼續(xù)對折兩次，把每1大份平均分成4小份，這樣就把涂色部分平均分成了12小份，再涂出涂色部分的[14]，這樣就涂出了3小份，占[316]。（如圖4）

生3：（質(zhì)疑）從你畫的圖上看，最后涂色的部分應(yīng)該是[312]呀?。粗_上、臺下同學(xué)都開始思考，他接著說）你把右邊空白部分也得平均分成4份，這樣總份數(shù)就是16份了，涂色部分就是整張紙的[316]。

生4：我和生2第一次的分法相同，都是先把這張紙豎著對折兩次，平均分成4份，涂出其中的3份，表示[34]。接下來，我換了一個方向，把這張紙橫著對折兩次，再次平均分成4份，涂出涂色部分的[14]，就是3小份。整張紙被平均分成了16小份，最后涂出的是整張紙的[316]。（如圖5）

師：觀摩了這幾位同學(xué)的分享，你們有什么想法？這幾種方法有什么聯(lián)系嗎？

生5：我發(fā)現(xiàn)他們都是分了兩次，先平均分成4份，再平均分成4份，最后都是平均分成了16份。

生6：我喜歡第三種折法，換個方向折，能更清楚地表示計算過程，也更容易看出計算結(jié)果。

師：好的，那咱們一起再來折一折，思考兩次折疊和兩次涂色的作用是什么。

全體學(xué)生動手折一折，教師再次組織學(xué)生交流分享，并板貼記錄折紙過程及計算過程。（如圖6）

生7：我知道了，兩次折疊得到的是新的分?jǐn)?shù)單位，即確定分母；兩次涂色得到的是新的分子。

生8：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法就是分子乘分子、分母乘分母。

4.總結(jié)方法，溝通聯(lián)系。

師：同學(xué)們得出的計算方法是否正確呢？需要驗證一下。結(jié)合下面的題目（如圖7）折一折、算一算、說一說吧。

學(xué)生可以先折再算，也可以先算再折，驗證得出的計算方法。交流中完善算法：能約分的可以先約分。

師：想一想，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計算方法（分母不變，分子與整數(shù)相乘）與分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法有什么關(guān)系？

生1：其實，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)計算的道理與分?jǐn)?shù)乘整數(shù)是一樣的，都是先確定分?jǐn)?shù)單位，然后乘個數(shù)，得出結(jié)果。

生2：整數(shù)就是分母是1的分?jǐn)?shù)，例如4×[29]可以看成[41]×[29]，分母相乘還是9，分子相乘是8，因此結(jié)果就是[89]。（如圖8）

生：我來總結(jié)。無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，在乘法運算時，都是先確定計數(shù)單位，然后乘個數(shù)，從而得出結(jié)果。

師：你真了不起！不但弄清楚了分?jǐn)?shù)乘法的意義與運算方法，還發(fā)現(xiàn)了整個乘法運算的共同之處，給你點贊！

【設(shè)計意圖】借助運算教學(xué)大概念，從乘法的意義與分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，整體思考，貫通運算教學(xué)結(jié)構(gòu)，明確了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義。通過折紙活動，借助面積模型的直觀，理解了“分子相乘、分母相乘”的運算方法，并與分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘法、整數(shù)乘法溝通聯(lián)系，體會運算的一致性。

算法什么時機總結(jié)更合適呢？第一次執(zhí)教時，我尊重教材的編排順序，帶領(lǐng)學(xué)生先借助折紙研究[34]×[14]，在大部分學(xué)生都有充分的體驗后，水到渠成地進(jìn)行運算方法的提煉和總結(jié)。學(xué)生很順利地提出了“分子相乘作分子，分母相乘作分母”，但當(dāng)問到“為什么要分子、分母分別相乘”時，幾乎沒有學(xué)生能答得出來。

本次執(zhí)教時，我沒有急著進(jìn)行折紙?zhí)骄?，而是結(jié)合一名學(xué)生“提早”提出的方法，順勢板書“分子相乘作分子，分母相乘作分母”的計算方法。接下來完全放手，學(xué)生研究的方向更明確，思考時也有一定的“階梯”，在分享交流時，學(xué)生也更易“數(shù)形結(jié)合”“指向本質(zhì)”。

是不是所有的運算教學(xué)都要先提出方法，再進(jìn)行算理的研究呢？事實上，方法提出的時機可以不同，只要是順應(yīng)學(xué)生的思維路徑，順勢而為，根據(jù)學(xué)生實際情況來決定就好。如果學(xué)生先提出了，不能置之不理，那么接下來的任務(wù)就應(yīng)該是弄清方法背后蘊含的算理；如果學(xué)生沒有提出，那就結(jié)合折一折、涂一涂、算一算等活動讓學(xué)生體會運算的道理，然后在此基礎(chǔ)上總結(jié)計算方法。

（作者單位：黑龍江大慶市第六十九中學(xué)二部） J