2022年版課標強調數(shù)學教育的整體性和發(fā)展性，倡導重視單元整體教學設計，促進學生對數(shù)學教學內容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。在HPM（History and Pedagogy of Mathematics）領域，數(shù)學史與數(shù)學教育的融合被認為是提升數(shù)學教學質量、增強學生數(shù)學素養(yǎng)和學習興趣的重要途徑。

19世紀以來，歐美學者不斷探討數(shù)學史在數(shù)學教育中的價值，如“給予數(shù)學一個人文面向”“歷史發(fā)展有助于安排課程內容順序”“向學生展示概念的發(fā)展過程，有助于他們對概念的理解”“歷史發(fā)展中出現(xiàn)的障礙有助于解釋今天學生的學習困難”等［1］。近年，國內學者將相關研究成果引入數(shù)學教育實踐中，并將國外若干種數(shù)學史融入數(shù)學教學的方式整合為附加式、復制式、順應式和重構式四類［2］。

從單元整體教學的角度看，數(shù)學史的價值在于以下幾個方面：一是數(shù)學史揭示了數(shù)學概念發(fā)生、發(fā)展的過程。在這個過程中，我們看到數(shù)學概念發(fā)展的關鍵點或者核心問題，這些關鍵問題的解決往往蘊含重要的數(shù)學思想或方法，也就是大概念。二是由于學生的理解具有歷史相似性，因此數(shù)學的歷史也是數(shù)學的教學指南。學生在數(shù)學學習中所遇到的困難往往是歷史上的先驅經(jīng)過長期思索和探討后所克服的實際困難，因此，數(shù)學史能揭示學生自然的學習路徑。三是數(shù)學史融入教學能夠促進學生的深刻理解。在數(shù)學教學中直接呈現(xiàn)歷史上的數(shù)學問題，提供“做數(shù)學”的學習素材，能夠加深學生對數(shù)學的理解；對原始文獻進行改編，讓數(shù)學史材料古為今用、推陳出新，能夠幫助教師創(chuàng)設真實性學習情境；重構歷史進程，呈現(xiàn)知識的自然發(fā)生過程jzvo+VTgMPb60Tv5pWjHIQ==，激發(fā)學生的學習需求，是恰當?shù)奶骄啃詫W習活動資源。

基于數(shù)學史在單元整體教學中的價值，結合“大概念統(tǒng)領，結構化關聯(lián)”的單元整體教學研究思路，我們確立了HPM視角下的單元整體設計思路，即“厘清歷史脈絡，提取核心概念，明晰素養(yǎng)目標—基于歷史相似性，厘清單元結構及學習路徑—提煉關鍵問題，設計融入數(shù)學史的序列任務”。下面以人教版教材四年級上冊“大數(shù)的認識”單元為例，闡述研究與實踐的路徑。

一、提取核心概念，明晰素養(yǎng)目標

（一）厘清歷史脈絡。

1.計數(shù)制的發(fā)展：進位制。

在人類文明的發(fā)展歷程中，世界各地的古老民族創(chuàng)造了五花八門的記數(shù)方法。除記數(shù)符號的差異外，大多數(shù)古老民族采用的都是“滿十進一”的十進制。

例如，大約形成于公元前3400年的古埃及象形數(shù)字采用的就是簡單累數(shù)制，即1、10、100、1000等（10的乘冪）都有專門的符號表示，記數(shù)時，重復這些符號并組合起來（用加法累加）。中國的甲骨文數(shù)字、羅馬數(shù)字都只是在簡單累數(shù)制的基礎上略有改進。

雖然這樣的記數(shù)方式形象、直觀，但是當人們需要表示更大的數(shù)時，就要不斷創(chuàng)造新的記數(shù)符號表示更大的單位，并且記數(shù)過程也愈加煩瑣。

2.計數(shù)制的完善：位值制。

位值制也蘊含了進位的思想，它是進位制的高級版本。世界上較早應用位值制計數(shù)的地區(qū)有古巴比倫、瑪雅、中國和古印度。

古巴比倫的楔形數(shù)字最早采用位值制的計數(shù)方法，產(chǎn)生于公元前2400年左右。它只有兩個記數(shù)符號，“T”形的楔形數(shù)字表示1，“〈”形的楔形文字表示10。60以內用十進的簡單累數(shù)制，60以上用六十進的位值制。中美洲的瑪雅文明采用的計數(shù)法與古巴比倫的類似，20以下用五進的簡單累數(shù)制，20以上用二十進位制。

中國古代與古印度采用的都是十進位值制計數(shù)，但中國古代用的是算籌，而古印度人大約在公元前600年創(chuàng)造了比象形符號更為抽象的9個字符，用來表示1～9這9個數(shù)字，隨后又創(chuàng)造了數(shù)字0的符號。經(jīng)過阿拉伯人的傳播以及不斷改進，印度-阿拉伯數(shù)字逐漸發(fā)展為現(xiàn)在的國際通用數(shù)字。

3.運用中的問題解決。

在我國，十進制計數(shù)法還發(fā)展出了四位一級的數(shù)級概念。它作為一種通行的計數(shù)習慣和大數(shù)表示方法，廣泛存在于涉及大量數(shù)字記錄的官方文書中，諸如《元和郡縣圖志》《通典》等反映唐代社會經(jīng)濟情況的歷史地理文獻，在記錄土地面積、人口、物資數(shù)量等方面，會采用四位分級的方式進行表述，體現(xiàn)了這種計數(shù)法則的應用。顯然，數(shù)級是追求方便與效率的歷史產(chǎn)物。有了數(shù)級，可以按照四位一組的規(guī)律給數(shù)位命名，讀數(shù)、寫數(shù)可以一級一級地讀寫。

對數(shù)的簡化和估算的需求產(chǎn)生了“四舍五入”法。在中國，“四舍五入”的概念可以追溯到非常早的時期，《淮南子》《九章算術》中均有運用“四舍五入”法的體現(xiàn)。三國時期的《景初歷》中明確記載了“半法以上排成一，不滿半法廢棄之”的原則。在世界其他地區(qū)和文化中，也有類似的方法。隨著時間演變和發(fā)展，“四舍五入”法因其簡單易行和誤差較小的特點，成為全球通用的數(shù)值修約標準之一，并在現(xiàn)代數(shù)學和科學領域廣泛應用。

（二）提取核心概念。

十進制計數(shù)法產(chǎn)生的歷程中，首先是對數(shù)量的抽象產(chǎn)生了數(shù)，十進制的確立則明確了數(shù)的表示就是計數(shù)單位的累加，而位值制的產(chǎn)生則將記數(shù)法推向了新的高度。有了位值制，多大的數(shù)都可以用0～9這10個數(shù)字表示；基于位值制，我們才需要按照現(xiàn)有的規(guī)則計算整數(shù)四則運算。位值制這一偉大的成就，正是數(shù)學得以抽象化、邏輯化持續(xù)發(fā)展的基礎。

四位一級的“數(shù)級”概念、“四舍五入”求近似數(shù)的方法，說明數(shù)學的許多規(guī)定是人們根據(jù)解決問題的需要逐漸發(fā)展和一致認可的合理方案。

綜上所述，我們提取了與本單元相關的4條核心概念：

1.數(shù)是對數(shù)量的抽象，是計數(shù)單位的累加。

2.用0～9這10個數(shù)字就能表示所有自然數(shù)，每次滿十進一會產(chǎn)生新的計數(shù)單位，每個數(shù)字表示的大小取決于它絕對的值和所在的位置。

3.為了方便表達更大的數(shù)，創(chuàng)造了“數(shù)級”，使十進制計數(shù)法得到完善。

4.大數(shù)的讀寫方法、“四舍五入”法等規(guī)則是人們根據(jù)解決問題的需要，通過協(xié)商、約定得來的。

（三）明晰素養(yǎng)目標。

本單元需要發(fā)展的核心素養(yǎng)是數(shù)感，主要體現(xiàn)在通過推理、抽象理解萬以上數(shù)的意義，能在具體情境中把握萬以上數(shù)的大小關系，能用多種方法表示萬以上的數(shù)等。根據(jù)我們提取的核心概念以及數(shù)感的內涵表現(xiàn)，確定本單元的核心素養(yǎng)目標如下：

1.能借助計數(shù)器、數(shù)位順序表，通過推理認識更多、更大的計數(shù)單位，抽象出更大的數(shù)表示數(shù)量。

2.能運用歸納、類比等方法發(fā)現(xiàn)和概括大數(shù)的讀寫規(guī)則、十進制計數(shù)法的計數(shù)規(guī)則，進而理解十進制計數(shù)法，建構整數(shù)數(shù)位順序表。

3.能在生活中合理使用大數(shù)（包括用不同方式表征大數(shù)、大數(shù)的改寫、求近似數(shù)等）對數(shù)量進行表達，能在具體情境中把握萬以上數(shù)的大小關系，初步形成數(shù)感。

4.在具體情境中理解大數(shù)的讀寫方法、用“四舍五入”法求近似數(shù)等規(guī)則都是人們根據(jù)解決問題的需要，通過協(xié)商、約定得來的。

二、厘清單元結構及學習路徑

（一）歷史相似性分析。

從歷史相似性的角度分析，從十進累數(shù)制到十進位值制是整數(shù)發(fā)展的一次飛躍，這應該是學生學習的難點。從學生的實際情況看，他們在日常的生活、學習中早已習慣了十進位值制計數(shù)法的運用，因此掌握十進制計數(shù)法的計數(shù)規(guī)則不是難點，困難的是學生很難體會到十進制計數(shù)法的優(yōu)越性，以及對“數(shù)級”概念的理解和運用。

（二）教材單元結構。

人教版教材中本單元的學習內容分成4個小節(jié)編排，采取螺旋上升結構。先認識億以內數(shù)及其讀寫、大小比較、改寫、求近似數(shù)等；然后將數(shù)擴展到億以上，理解十進制計數(shù)法的計數(shù)規(guī)則，并將億以內數(shù)相關的知識自然運用到億以上數(shù)。具體編排情況見表1。

從大概念統(tǒng)領整個單元學習，以及建立完整“數(shù)級”概念的角度考量，可將“數(shù)的產(chǎn)生”這一小節(jié)前移，在學生對十進制計數(shù)法有較完整認知的情況下學習大數(shù)的讀寫、大小比較等內容。

（三）單元學習路徑。

基于單元學習目標、學生的學習困難，在對“大數(shù)的認識”學習內容序列做適當調整后確定如下學習路徑：

1.從數(shù)的產(chǎn)生歷程出發(fā)，感受和理解基于十進關系的計數(shù)單位擴展、十進制計數(shù)法的優(yōu)越性。

2.在讀數(shù)、寫數(shù)、數(shù)的大小比較過程中進一步理解數(shù)位、數(shù)級的作用。

3.在具體情境中理解大數(shù)的改寫、求近似數(shù)的必要性及其方法和原理。

4.了解計算工具的發(fā)展，用多種計算工具表達現(xiàn)實情境中的大數(shù)。

三、提煉關鍵問題，設計任務序列

核心素養(yǎng)的發(fā)展、具體概念的形成，都需要關鍵問題的引領。在關鍵問題的引領下，學生積極參與學習活動，交流探討，深入思考，發(fā)展能力。基于對本單元核心概念以及素養(yǎng)目標的分析，提出了本單元需要學生理解的兩個關鍵問題：

①生活中存在更大的數(shù)，我們如何利用數(shù)位方便地表示數(shù)？

②如何利用數(shù)位（數(shù)級），遷移已有方法來讀數(shù)、寫數(shù)、比較大小、改寫大數(shù)？

根據(jù)教材的編排和學生的學習需求，將上述關鍵問題分解為5個子問題，設計能夠激發(fā)學生進一步探索和深入思考的學習任務，并將數(shù)學史融入教學，形成本單元的學習任務序列，具體情況見表2。

HPM視角下對小學數(shù)學單元整體教學設計的探討，不僅為我們打開了一扇理解數(shù)學知識內在聯(lián)系的窗，也讓教學活動更加鮮活且富有深度。通過整合數(shù)學史、數(shù)學文化于單元教學之中，不僅賦予了數(shù)學知識以生命歷程和人文色彩，而且更有力地促進了學生對數(shù)學本質的洞察。期待更多的教師能夠參與到HPM實踐中，一起實現(xiàn)數(shù)學教育的價值——啟迪智慧，塑造人格，傳承文明。

參考文獻：

[1]吳駿，汪曉勤.國外數(shù)學史融入數(shù)學教學研究述評[J].比較教育研究，2013，35（8）.

[2]吳駿，汪曉勤.數(shù)學史融入數(shù)學教學的實踐：他山之石[J].數(shù)學通報，2014，53（2）.

（作者單位：廣東東莞市東城第五小學） H