一、現(xiàn)象背后：對(duì)練習(xí)錯(cuò)誤的追問(wèn)

在“長(zhǎng)方形和正方形的面積”單元練習(xí)中有這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題（如圖1）：

很簡(jiǎn)單的一個(gè)問(wèn)題，第二問(wèn)的錯(cuò)誤率卻很高，很多學(xué)生在第一問(wèn)求出小路長(zhǎng)度也就是水稻田周長(zhǎng)后，直接用周長(zhǎng)乘3千克求出施肥多少千克。筆者針對(duì)這一錯(cuò)誤訪談學(xué)生：

師：你為什么用周長(zhǎng)直接乘3？

生1：我沒(méi)有看清題目，以為第一問(wèn)求的就是面積。

師：你不是才用了公式求周長(zhǎng)嗎，怎么會(huì)認(rèn)為求的是面積？

（生1答不出來(lái)）

師：這道題用第一問(wèn)的結(jié)果直接乘3有道理嗎？

生2：我其實(shí)不應(yīng)該犯這個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)榈谝粏?wèn)求出的單位是米，而3千克對(duì)應(yīng)的是每平方米，不一樣。

訪談中學(xué)生的回答基本都?xì)w結(jié)為自己沒(méi)有認(rèn)真審題，受到連續(xù)兩問(wèn)解決問(wèn)題的慣性思維影響。但對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行深度剖析后，筆者認(rèn)為在“沒(méi)有認(rèn)真審題”和“慣性思維”背后更多暴露出的是學(xué)生對(duì)面積和周長(zhǎng)還沒(méi)有清晰的邊界感、敏銳的識(shí)別力，這兩個(gè)同質(zhì)（度量的結(jié)果）異構(gòu)（度量對(duì)象及度量方式）的概念沒(méi)有真正建立，因而在非良構(gòu)的情境中還存在“套單位”這樣機(jī)械應(yīng)用的現(xiàn)象，甚至頻頻混淆兩者。

二、反思分析：對(duì)現(xiàn)有教學(xué)的審視

周長(zhǎng)和面積是第二學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域中重要的教學(xué)內(nèi)容，兩者都是與圖形相關(guān)的概念，圖形一周邊線的長(zhǎng)是周長(zhǎng)，內(nèi)部大小是面積。兩者聯(lián)系密切，但又有本質(zhì)區(qū)別，一直以來(lái)都是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，再加上教學(xué)過(guò)程中的一些缺失，導(dǎo)致學(xué)生容易出現(xiàn)概念混淆，不能準(zhǔn)確應(yīng)用的現(xiàn)象，具體分析如下：

（一）單元跨學(xué)期分設(shè)，讓兩者之間的關(guān)聯(lián)顯得滯后。

已有各版本教材考慮到難點(diǎn)分散、分段進(jìn)階，將周長(zhǎng)和面積的教學(xué)單元分設(shè)在三年級(jí)上、下兩學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)這兩個(gè)概念相距近半年時(shí)間，加之長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)和面積都要根據(jù)邊的長(zhǎng)度計(jì)算，面積單位在長(zhǎng)度單位基礎(chǔ)上建立，相似之處較多，這對(duì)學(xué)生的認(rèn)知是一個(gè)挑戰(zhàn)。單元分設(shè)的初衷是希望避免概念混淆，但兩者關(guān)聯(lián)不及時(shí)，反而不利于兩個(gè)相近概念的系統(tǒng)建構(gòu)，造成學(xué)生在綜合應(yīng)用它們解決問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生混沌的現(xiàn)象。

（二）“可測(cè)量屬性”的弱化，讓概念建立缺乏完整表象支撐。

認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)和面積，給學(xué)生留下深刻印象的往往是“描邊線”“涂顏色”，這些具身性操作給學(xué)生留下了清晰的圖形表象，然而我們必須認(rèn)識(shí)到學(xué)生描的是邊線而不是周長(zhǎng)，涂的是面而不是面積。周長(zhǎng)和面積是度量的結(jié)果，是可計(jì)量的，周長(zhǎng)本質(zhì)上是一條線段的長(zhǎng)度，面積是面的大小。周長(zhǎng)和面積概念教學(xué)時(shí)如果缺乏測(cè)量活動(dòng)，學(xué)生難以準(zhǔn)確建立關(guān)于周長(zhǎng)和面積的認(rèn)知，也不利于后續(xù)提煉周長(zhǎng)和面積的計(jì)算公式及準(zhǔn)確應(yīng)用。

三、教學(xué)實(shí)踐：基于概念關(guān)聯(lián)的整體學(xué)習(xí)

基于教學(xué)現(xiàn)狀，對(duì)于周長(zhǎng)和面積，可以通過(guò)單元整合，立足概念關(guān)聯(lián)進(jìn)行整體教學(xué)。概念關(guān)聯(lián)有三種基本形式：一是新信息與已有理解之間的關(guān)聯(lián)，二是不同數(shù)學(xué)概念及其表征之間的關(guān)聯(lián)，三是數(shù)學(xué)概念與日常生活中的相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)[1]。根據(jù)以上概念關(guān)聯(lián)的三種形式，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)，組織學(xué)生同步認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)和面積、辨析概念異同，努力從多維視角實(shí)現(xiàn)相似概念的準(zhǔn)確建構(gòu)。

（一） 基于已有認(rèn)知，感知關(guān)聯(lián)。

概念學(xué)習(xí)是學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程。鄭毓信教授認(rèn)為，在教學(xué)中要能夠利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使得相應(yīng)的定義對(duì)于學(xué)生而言變得豐富和生動(dòng)起來(lái)，而不再是一種空洞的“詞匯游戲”，幫助學(xué)生從更高的抽象水平重新認(rèn)識(shí)原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，包括對(duì)此做出必要的改造或重構(gòu)[2]。因而，教學(xué)可以從創(chuàng)設(shè)生活情境出發(fā)，喚醒學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的前認(rèn)知，在情境中建立起兩者之間的關(guān)聯(lián)。

1.從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)整體感知。

學(xué)生在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積之前，相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)是非常豐富的，課堂上引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光精準(zhǔn)感知，厘清概念表象邊界，從“模模糊糊”走向“清清楚楚”。周長(zhǎng)和面積度量的對(duì)象分別是“一周邊線”和“面”，找準(zhǔn)度量對(duì)象是度量的第一步。

從學(xué)生熟悉的三個(gè)場(chǎng)景（視頻）引入：場(chǎng)景一，小朋友先給花朵涂色，再用黑色勾線筆勾邊；場(chǎng)景二，媽媽擦橢圓形的鏡子，先擦鏡面再擦鏡框一周；場(chǎng)景三，學(xué)校整修運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，先在一周畫(huà)紅色邊線，再在中間鋪草皮。情境創(chuàng)設(shè)后抽象出花朵、鏡子、操場(chǎng)的平面圖（如圖2，邊線用顏色標(biāo)注），請(qǐng)學(xué)生猜猜今天可能會(huì)研究什么數(shù)學(xué)知識(shí)，并說(shuō)說(shuō)理由。根據(jù)學(xué)生的回答抓住“周長(zhǎng)”的“周”和“面積”的“面”，凸顯出一周邊線和整個(gè)面。學(xué)生通過(guò)指一指、描一描、摸一摸、涂一涂，在活動(dòng)中感受一周邊線圍住了整個(gè)面，體會(huì)它們的位置關(guān)系，建立周長(zhǎng)和面積測(cè)量對(duì)象的表象。

2.從整體感知中提煉本質(zhì)。

一維與二維是周長(zhǎng)和面積的本質(zhì)區(qū)別，教學(xué)中可以進(jìn)一步以此作為整體認(rèn)知的突破口。學(xué)生觀察到圖形邊線有的是彎的，有的由幾條邊組成，無(wú)論哪一種都可以化曲為直看成一條線段，也就是說(shuō)周長(zhǎng)本質(zhì)上可以看作一條線段的長(zhǎng)。平面圖形一周邊線和面連在一起，都是圖形的一部分，學(xué)生很難一下子與已經(jīng)認(rèn)識(shí)的線段建立聯(lián)系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生試著把周長(zhǎng)和面積“分開(kāi)”觀察，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示讓花朵和鏡子的邊線從圖形中抽離出來(lái)，拉成一條線段，把操場(chǎng)的四條邊一段一段地展開(kāi)連成一條線段，讓圖形邊線排除“面”的干擾直觀呈現(xiàn)出來(lái)。“分開(kāi)”的過(guò)程讓周長(zhǎng)自然拉開(kāi)了與面積的“距離”，實(shí)現(xiàn)從整體感知中提煉出相似概念的本質(zhì)區(qū)別。

（二）基于測(cè)量活動(dòng)，對(duì)比關(guān)聯(lián)。

基于已有經(jīng)驗(yàn)感知關(guān)聯(lián)，學(xué)生明確了周長(zhǎng)和面積的測(cè)量對(duì)象，此時(shí)對(duì)一周邊線的長(zhǎng)度和面的大小還停留在視覺(jué)感知上。通過(guò)組織學(xué)生進(jìn)行測(cè)量活動(dòng)，經(jīng)歷測(cè)量過(guò)程，在測(cè)量對(duì)比中豐盈兩者之間的關(guān)聯(lián)，深度感悟周長(zhǎng)和面積的可測(cè)量屬性。

1.選擇標(biāo)準(zhǔn)量，在測(cè)量中對(duì)比感悟。

在測(cè)量活動(dòng)中，可以借助標(biāo)準(zhǔn)的同類量，通過(guò)選擇和運(yùn)用幫助學(xué)生建構(gòu)周長(zhǎng)和面積的概念。

例如，出示兩個(gè)長(zhǎng)方形菜地（如圖3：4 cm×6 cm，3 cm×7 cm），請(qǐng)學(xué)生判斷誰(shuí)的周長(zhǎng)長(zhǎng)、誰(shuí)的面積大。

生1：我覺(jué)得第一個(gè)長(zhǎng)方形的面積大，它的周長(zhǎng)肯定也長(zhǎng)。

一些學(xué)生露出了贊同的神情。

生2：我覺(jué)得第二個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)更長(zhǎng)一些，但是感覺(jué)面積比第一個(gè)長(zhǎng)方形小。

生3：我不同意，我感覺(jué)它們的周長(zhǎng)和面積都一樣。

師：看來(lái)大家意見(jiàn)不一致，我們?cè)撛趺崔k呢？

生4：算一算，用公式算。

生5：我也會(huì)算，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)就是用長(zhǎng)加寬然后乘2，面積就是長(zhǎng)乘寬。

很多學(xué)生頻頻點(diǎn)頭表示同意。

師：你們了解得真多，計(jì)算公式的確可以幫助我們計(jì)算周長(zhǎng)和面積，但是回到我們對(duì)周長(zhǎng)和面積的認(rèn)識(shí)——“長(zhǎng)度”“面的大小”，我們也可以量一量，想不想動(dòng)手試一試？

學(xué)生帶著好奇，異口同聲地回答“想”。

師：這里有一些工具（如圖4，同樣長(zhǎng)的小棒，面積相同的小正方形和面積相同的圓），請(qǐng)你選擇合適的工具量一量這兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積，然后比一比。

選擇工具是對(duì)概念的重新審視，學(xué)生在“沿線擺”和“沿面鋪”的過(guò)程中，體會(huì)周長(zhǎng)和面積可測(cè)量屬性的不同。操作中還發(fā)現(xiàn)用圓不能鋪滿長(zhǎng)方形的面，無(wú)法準(zhǔn)確知道長(zhǎng)方形面的大小，為學(xué)習(xí)面積單位做好了鋪墊。

2.根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，在畫(huà)圖中對(duì)比建構(gòu)。

方格圖在平面圖形的教學(xué)中有重要的價(jià)值，它為圖形的測(cè)量提供了標(biāo)準(zhǔn)，便于計(jì)數(shù)。借助方格圖中單位方格的邊長(zhǎng)和面積，學(xué)生可以根據(jù)給定的周長(zhǎng)和面積畫(huà)一畫(huà)、數(shù)一數(shù)構(gòu)造圖形，畫(huà)圖過(guò)程中學(xué)生的理解、糾錯(cuò)、內(nèi)化是實(shí)現(xiàn)概念建構(gòu)的一個(gè)躍遷。

出示方格圖（圖略），圖中每一個(gè)方格的邊長(zhǎng)和面積都用1表示，要求學(xué)生在圖中畫(huà)出以下兩個(gè)圖形：（1）周長(zhǎng)為10的圖形；（2）面積為10的圖形。

周長(zhǎng)為10和面積為10是完全不同的兩個(gè)量，學(xué)生首先明確邊長(zhǎng)為1和面積為1的含義，再獨(dú)立畫(huà)圖。有的學(xué)生畫(huà)長(zhǎng)方形，有的畫(huà)不規(guī)則圖形，無(wú)論哪種畫(huà)法畫(huà)出的周長(zhǎng)為10和面積為10的兩個(gè)圖形都不一樣。在作圖過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)到即使數(shù)據(jù)相同，表示的意義不同，畫(huà)出的圖形也不同。當(dāng)然，像這樣有一定思維挑戰(zhàn)性的畫(huà)圖，一定會(huì)有一些學(xué)生畫(huà)錯(cuò)，教師要及時(shí)收集錯(cuò)例，組織大家辨析，在轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤的過(guò)程中深化對(duì)概念的認(rèn)知。

（三）基于開(kāi)放問(wèn)題，辯證關(guān)聯(lián)。

感知關(guān)聯(lián)和對(duì)比關(guān)聯(lián)完成了對(duì)周長(zhǎng)和面積概念的完整建構(gòu)，對(duì)于概念的鞏固與深化，可以創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的問(wèn)題情境，通過(guò)思辨的方式深度關(guān)聯(lián)兩個(gè)概念，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從對(duì)周長(zhǎng)和面積的一般性認(rèn)識(shí)到面對(duì)具體問(wèn)題情境時(shí)靈活應(yīng)用的跨越。

1.聚焦不同與相同，在思辨中鞏固深化。

出示問(wèn)題：判斷甲、乙兩塊菜地（如圖5），哪一塊周長(zhǎng)長(zhǎng)，哪一塊面積大。

教學(xué)中我們可以利用這個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，給學(xué)生提供挑戰(zhàn)性任務(wù)。（1）怎樣才能使甲、乙兩塊菜地的周長(zhǎng)不相等？（2）怎樣讓甲、乙兩塊菜地的面積相等？每一個(gè)問(wèn)題都對(duì)應(yīng)多種解決方案。在交流分享中學(xué)生逐漸形成共識(shí)：圖中兩部分的周長(zhǎng)和面積做比較時(shí)，共用邊尤為重要。共用邊端點(diǎn)動(dòng)一動(dòng)位置，就會(huì)讓兩部分的周長(zhǎng)不相等（如圖6）。同樣，共用邊無(wú)論是曲線還是線段，無(wú)論端點(diǎn)是否在長(zhǎng)方形頂點(diǎn)處，只要能平分長(zhǎng)方形就能讓甲、乙面積相等（如圖7）。

在上述學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的相同與不同進(jìn)行比較，鞏固并加深了對(duì)周長(zhǎng)和面積之間區(qū)別的認(rèn)識(shí)，明晰了兩者之間的“邊界”。

2.凸顯變與不變，在辨析中內(nèi)化提升。

圖形形狀的變化會(huì)帶來(lái)圖形屬性的變化，周長(zhǎng)和面積的變與不變是值得深度探討的問(wèn)題。在概念鞏固階段，可以讓學(xué)生研究圖形變化過(guò)程中的周長(zhǎng)和面積。概念在這一過(guò)程中越辯越明，思維也得到錘煉。

例如：小正方形邊長(zhǎng)和面積都用1表示。請(qǐng)學(xué)生用四個(gè)小正方形拼一個(gè)圖形（形狀可以自己命名）。

教師展示學(xué)生的作品（如圖8）。

師：你們拼出這么多圖形，起了有趣的名字，很棒！仔細(xì)觀察，你們覺(jué)得這些圖形的周長(zhǎng)一樣嗎？面積呢？

生：看起來(lái)，田字形周長(zhǎng)短，感覺(jué)都團(tuán)在一起了。

生：我覺(jué)得周長(zhǎng)和面積應(yīng)該一樣吧，因?yàn)槎际怯盟膫€(gè)小正方形拼成的。

師：大家各有各的想法，周長(zhǎng)和面積是多少，我們得用數(shù)據(jù)說(shuō)話。請(qǐng)你數(shù)一數(shù)、記一記，將數(shù)據(jù)填在表1中，看看結(jié)果如何。

反饋交流：觀察填后的表格（略），你有什么發(fā)現(xiàn)？什么變了，什么沒(méi)有變？

生：這三個(gè)圖形雖然“長(zhǎng)得不同”，但是面積一直沒(méi)有變，周長(zhǎng)變了。

師：這是為什么呢？

生：因?yàn)樗鼈兌际怯盟膫€(gè)小正方形拼成的，小正方形的面積不“重疊”，合在一起就是圖形的面積。

師：為什么面積相同，周長(zhǎng)卻變了呢？它們都是用四個(gè)小正方形拼成的啊。

生：周長(zhǎng)是要露在外面的，不同的拼法藏在里面的邊數(shù)不一樣，外面的周長(zhǎng)就不同。

師：為什么田字形周長(zhǎng)最短呢？我們還可以繼續(xù)以田字形做拓展延伸（如圖9），少了一個(gè)小正方形，繼續(xù)找找變與不變的秘密。

周長(zhǎng)和面積的整體教學(xué)建立在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上。找到關(guān)聯(lián)的契合點(diǎn)，采取有效的關(guān)聯(lián)策略是整體教學(xué)的關(guān)鍵，概念關(guān)聯(lián)指向的是學(xué)生的理解，培養(yǎng)的是學(xué)生的量感，促進(jìn)的是結(jié)構(gòu)化的思考方式，讓低階學(xué)習(xí)走向高階學(xué)習(xí)，為核心素養(yǎng)的培育賦能。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]鄭毓信.多元表征理論與概念教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

【本文系2023年度國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金教育學(xué)一般項(xiàng)目“指向創(chuàng)造性成長(zhǎng)的兒童研究素養(yǎng)培育理論與實(shí)踐研究”（編號(hào)：BHA230111）的階段性成果】

（作者單位：江蘇南京市力學(xué)小學(xué)） H