【摘要】函數(shù)幾何圖象變換是常見考點之一，為幫助學(xué)生快速掌握平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的相關(guān)習(xí)題解題方法，本文利用幾何畫板，結(jié)合解題過程，繪制函數(shù)圖象，便于學(xué)生直觀了解函數(shù)幾何圖象變換規(guī)律，實現(xiàn)快速解題.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；初中數(shù)學(xué)；函數(shù)圖象

在解答涉及二次函數(shù)幾何圖象變換的問題時，利用幾何畫板，可以直觀地展示函數(shù)圖象及其變換過程，幫助學(xué)生深入理解函數(shù)性質(zhì)與變換規(guī)律.以下是一個基于幾何畫板繪制函數(shù)圖象解題的示例，旨在展示如何通過創(chuàng)意解題和表達(dá)亮點來解答此類問題.

1 平移的解題方法

初中二次函數(shù)幾何變換常見的形式之一為平移變換，在利用幾何畫板繪制函數(shù)圖象時需遵循“上加下減，左加右減”，即函數(shù)上下平移時，y值遵循“上加下減”的規(guī)律，左右平移時，x值遵循“左加右減”的規(guī)律.

例1 如圖1，四邊形ABCD為平行四邊形，其中AB=4，D（0，8），點C為拋物線y=ax2+bx+ca≠0的頂點，A，B兩點為拋物線與x軸的交點.

（1）求A，B，C三點坐標(biāo)；

（2）現(xiàn)將拋物線向上平移，直至經(jīng)過D點，求此時拋物線的解析式.

圖1

解析 （1）根據(jù)題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形，

則有CD=AB=4，

又因為D（0，8），

所以可知點C為（4，8），

過頂點C作x軸的垂線，交點H為拋物線對稱軸與x軸的交點，則點H（4，0），

則有CD=AB=OH，

所以AH=BH=2，

則有A（2，0），B（6，0）.

（2）將點C（4，8），A（2，0）代入拋物線解析式，可得a=－2，

則函數(shù)解析式為y=－2（x－4）2+8，根據(jù)題意，拋物線向上平移一段距離后經(jīng)過點D.

設(shè)向上平移后的拋物線解析式為y=－2（x－4）2+h，將D（0，8）代入解析式，

解得y=－2（x－4）2+40.

即平移后的拋物線解析式為y=-2（x-4）2+40.

2 旋轉(zhuǎn)的解題方法

拋物線的旋轉(zhuǎn)變換與平移變換相似，旋轉(zhuǎn)操作并不改變拋物線的開口大小，而是重新定位其位置或調(diào)整了開口的朝向.因此，解決涉及拋物線旋轉(zhuǎn)問題的核心策略，依舊聚焦于精確捕捉旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點坐標(biāo)變化及其開口方向的調(diào)整.而后利用幾何畫板繪制圖象，直觀感受變化規(guī)律.

例2 拋物線y=x2－2mx+m2（m為常數(shù)，m＞0），點G為拋物線頂點，點P為其上一點.現(xiàn)將拋物線以G為圓心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，新函數(shù)圖象與y軸交于A，B兩點（點A在點B的上方），點P的對應(yīng)點為點Q.

（1）若m=2，P點橫坐標(biāo)為4，求此時點Q的坐標(biāo).

（2）設(shè)Q（a，b），用含m，b的代數(shù)式表示a.

圖2

解析 （1）當(dāng)m=2時，拋物線為y=（x－2）2，則點G的坐標(biāo)為（2，0），點P的坐標(biāo)為（4，4）.

如圖2所示，分別連接QG，PG，過點Q作x軸的垂線，垂足為點F，過點P作x軸的垂線，垂足為點E.

依題意，可得△GQF≌△PGE，

則FQ=EG=2，

FG=EP=4.

所以FO=2，點Q的坐標(biāo)為（－2，2）.

（2）如圖2所示，點Q的坐標(biāo)為（a，b），點Q為點P繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點，可得點P的坐標(biāo)為（m+b，m－a）.

將點P的坐標(biāo)代入y=（x－m）2，

得m－a=（m+b－m）2，

整理得a=m－b2.

3 翻折的解題方法

將拋物線的部分圖象沿x軸、y軸或平行于x軸、y軸的直線翻折，其余部分保持不變，得到一個新圖象，研究新圖象與一次函數(shù)圖象的公共點，是近年中考數(shù)學(xué)壓軸題的熱點之一.解答這類問題的策略是：（1）畫圖；（2）根據(jù)待定系數(shù)，明確圖象的變化趨勢；（3）找臨界點.

例3 一元二次方程2x2+4x+k－1=0，已知該方程具有實數(shù)根，且參數(shù)k為正整數(shù).

（1）確定k的取值；

（2）若上述函數(shù)有兩個非零整數(shù)根，將其下移8個單位長度，寫出此時的函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)（2）所得函數(shù)解析式，將y≤0部分函數(shù)圖象以x軸為對稱軸，進(jìn)行翻折.直線y=12x+b（b＜k）經(jīng)過翻折后的函數(shù)圖象，若有兩個交點，求此時b的取值范圍.

圖3

解析 （1）已知方程有實數(shù)根，根據(jù)判別式的性質(zhì)，有Δ≥0，

即Δ=16－8（k－1）≥0，解得k≤3.

根據(jù)題意參數(shù)k為正整數(shù)，則k=1，2，3.

（2）解得k=1，2，3，進(jìn)行分類討論，

將k=1代入解析式，有一個零根，不符合要求；

將k=2代入解析式，無整數(shù)根，不符合要求；

將k=3代入解析式，有兩個非零的整數(shù)根，符合要求；

根據(jù)題意，圖象下移8個單位長度后的解析式為y=2x2+4x－6.

（3）假設(shè)y=2x2+4x－6與x軸的交點為A（－3，0），B（1，0），則翻折變換后的函數(shù)圖象如圖3所示.

根據(jù)題意，直線y=12x+b（b＜k）與新圖象存在兩個交點，從圖中可以看出，直線與x軸的交點應(yīng)在A，B兩點之間，將A（－3，0），B（1，0）分別代入直線方程，解得－12＜b＜32，

即b的取值范圍為－12＜b＜32.

4 結(jié)語

總而言之，通過具體案例展示如何利用幾何畫板繪制變換函數(shù)圖象，以直觀的方式解答涉及平移、旋轉(zhuǎn)和翻折的二次函數(shù)問題，該方法不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)性質(zhì)，還能提高學(xué)生的解題能力和創(chuàng)新思維.