【摘要】分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中占據(jù)著重要位置，特別是在二次函數(shù)問題的求解過程中，其應(yīng)用顯得尤為關(guān)鍵.本文通過具體實例演示分類討論在解決二次函數(shù)問題時的步驟和方法，展示這一思想幫助學(xué)生系統(tǒng)理解二次函數(shù)概念、提高解題效率和能力的過程，闡明分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用.

【關(guān)鍵詞】分類討論；二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)

1 引言

二次函數(shù)問題因其形式多樣、情境復(fù)雜，往往需要借助于分類討論的思想來細(xì)致分析，從而尋求精確解答.這一思想不僅能幫助學(xué)生深入理解二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，還能夠提高學(xué)生解決實際問題的能力.通過對二次函數(shù)問題進(jìn)行分類討論，學(xué)生可以學(xué)會如何根據(jù)不同的函數(shù)表達(dá)式、頂點位置或?qū)ΨQ軸等特征，采取不同的解題策略，進(jìn)而更加靈活地掌握和應(yīng)用二次函數(shù)知識.本文以兩道習(xí)題為例，分別討論分類討論思想在定義問題和發(fā)現(xiàn)規(guī)律方面的應(yīng)用價值.

2 試題呈現(xiàn)

例1 已知函數(shù)fx=x2－a+1x+1.

（1）解關(guān)于x的不等式fx>－a+1；

（2）當(dāng)a=0時，對x1，x2∈t，t+1，都有fx1－fx2<4恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

例2 已知函數(shù)fx=x2+1－kx+2－k.

（1）解關(guān)于x的不等式fx<2；

（2）若函數(shù)fx在區(qū)間－1，1上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍.

3 思路分析

例1思路 在第（1）問中，通過討論二次函數(shù)的“零點”關(guān)系，對二次函數(shù)的解集情況進(jìn)行多類別劃分，該小問的本質(zhì)是“零點”的分類討論.此外，在解題過程中，學(xué)生還可能碰到“開口方向”的分類討論以及“有無實數(shù)解”的分類討論，討論結(jié)果取決于含參方程中參數(shù)的位置.在第（2）問中，圍繞二次函數(shù)對稱軸進(jìn)行討論，分別討論了“條件區(qū)間”在對稱軸左側(cè)、右側(cè)以及跨對稱軸的幾種情況.而在“條件區(qū)間”跨對稱軸的分類中，又涉及fx1和fx2的大小分類，劃分之精準(zhǔn)已經(jīng)到達(dá)了較難的水平.

例2思路 在第（1）問中，與例1類似，同樣涉及二次函數(shù)零點的分類討論，可見分類討論思想在二次函數(shù)相關(guān)問題中應(yīng)用的重要性，而經(jīng)過這兩個問題的總結(jié).不難發(fā)現(xiàn)，涉及“零點”問題的討論，其規(guī)律和特點基本相同，都是將函數(shù)整理成x+1x－k=0的形式，然后對參數(shù)進(jìn)行討論.在第（2）問中，雖然未涉及分類討論，但其實已經(jīng)在解題過程中，運(yùn)用了“隱含分類討論”的思路，例如，當(dāng)我們看到“兩個不同的零點”，首先應(yīng)該想到“零點分類”，將該條件轉(zhuǎn)化為Δ>0，當(dāng)我們看到兩個根的范圍后，應(yīng)該聯(lián)想到f1和f－1的“正負(fù)值”分類，同時還要保證對稱軸在“條件區(qū)間”－1，1內(nèi).因此解決該問題過程中雖未分類討論，但是已經(jīng)在我們掌握的“分類思維”中，得到了已知條件運(yùn)用的規(guī)律和特點，即分類討論思想在二次函數(shù)問題中的重要性之一.

4 解法探究

例1解析

（1）由fx>－a+1，

可得x2－a+1x+1>－a+1，

即x－1x－a>0.

當(dāng)a<1時，由x－1x－a>0，可得x>1或x<a；

當(dāng)a=1時，由x－1x－a>0，可得x≠1；

當(dāng)a>1時，由x－1x－a>0，可得x>a或x<1，

綜上，當(dāng)a<1時，原不等式的解集為{x∣x>1或x<a}；

當(dāng)a=1時，原不等式的解集為x∣x≠1；

當(dāng)a>1時，原不等式的解集為{x∣x>a或x<1}.

（2）當(dāng)a=0時，fx=x2－x+1，

①當(dāng)t≥12時，fx=x2－x+1在t，t+1上單調(diào)遞增，fx在區(qū)間t，t+1上的值域為t2－t+1，t2+t+1，若對x1，x2∈t，1+1，都有fx1－fx2<4恒成立，則有2t<4t≥12，解得12≤t<2；

②當(dāng)0<t<12時，fx=x2－x+1在t，12上單調(diào)遞減，在12，t+1上單調(diào)遞增，fx在區(qū)間t，t+1上的值域為34，t2+t+1，

若對x1，x2∈t，t+1，都有|f（x1）－f（x2）|<4恒成立，

則有t2+t+14<40<t<12，解得0<t<12；

③當(dāng)-12<t≤0時，fx=x2－x+1在t，12上單調(diào)遞減，在12，t+1上單調(diào)遞增，fx在區(qū)間t，t+1上的值域為34，t2－t+1，若對x1，x2∈t，t+1，都有fx1－fx2<4恒成立，則有t2－t+1<4且-12<t≤0，解得-12<t≤0；

④當(dāng)t≤-12時，fx=x2－x+1在t，t+1上單調(diào)遞減，fx在區(qū)間t，t+1上的值域為t2+t+1，t2－t+1，若對x1，x2∈t，t+1，都有fx1－fx2<4恒成立，則有2t<4t≤-12，解得-2<t≤-12.

綜上，實數(shù)t的取值范圍為－2，2.

例2解析 （1）因為fx=x2+1－kx+2－k，

且fx<2，

即x2+1－kx－k<0，

即x+1x－k<0.

令x+1x－k=0，

解得x=－1或x=k.

當(dāng)k=－1時，此時（x+1）2<0，故原不等式的解集為；

當(dāng)k>－1時，不等式的解集為－1，k；

當(dāng)k<－1時，不等式的解集為k，－1.

（2）函數(shù)fx在區(qū)間－1，1上有兩個不同的零點，轉(zhuǎn)化為方程x2+1－kx+2－k=0在－1，1上有兩個不同的根，

所以Δ=（1－k）2－42－k>0－1<k－12<11+1－k+2－k>01－1－k+2－k>0，

解得22－1<k<2，

故實數(shù)k的取值范圍為22－1，2.

5 結(jié)語

由例1可見，分類討論思想可以幫助學(xué)生更加精確地定義和劃分問題.通過將問題按照不同的條件或情況進(jìn)行分類，可以更清晰地理解問題的本質(zhì)和要求，從而更好地解決問題.由例2可見，分類討論思想可以幫助我們發(fā)現(xiàn)問題中的規(guī)律和特點.通過將問題按照不同的情況進(jìn)行分類，可以發(fā)現(xiàn)不同情況下的共性和差異，從而找到問題的規(guī)律和特點，為問題的解決提供線索和思路.通過分類討論思想，學(xué)生可以有效地將復(fù)雜的問題分解成多個簡單的子問題，更加直觀地分析和解決.

參考文獻(xiàn)：

［1］辛海霞.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透［J］.陜西教育（教學(xué)版），2024（03）：41-43.

［2］袁健風(fēng).分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透［J］.數(shù)理化解題研究，2023（35）：83-85.

［3］謝文秀.用分類討論思想優(yōu)化初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)［J］.數(shù)理化解題研究，2023（35）：98-100.