【摘要】學(xué)生在未學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)已經(jīng)對(duì)折疊問題有研究，但是折疊問題放入坐標(biāo)系后，就不知道如何下手.本文先從復(fù)習(xí)矩形里相關(guān)折疊問題的四種情況入手，再加入一次函數(shù)進(jìn)行研究，這樣學(xué)生更容易理解，以后遇到類似問題，也有解決問題的方向.

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù);折疊問題；初中數(shù)學(xué)

1 研究背景

本課例是北師大版八上學(xué)習(xí)一次函數(shù)后與折疊問題的結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)折疊問題與一次函數(shù)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解運(yùn)用.

2 教學(xué)過程

2.1 將矩形的一個(gè)頂點(diǎn)折疊到對(duì)角線上

例1 如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E在BC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)F處，求AE的長(zhǎng).

評(píng)析 考查折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱圖形，借助設(shè)未知數(shù)利用勾股定理計(jì)算得出.

圖1

2.2 將矩形的頂點(diǎn)折疊到矩形的一邊上

例2 如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，將紙片折疊．若沿BF對(duì)折，使點(diǎn)C恰好落在AD上得到點(diǎn)E，求△BEF的周長(zhǎng).

評(píng)析 考查折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱圖形，借助設(shè)未知數(shù)利用勾股定理計(jì)算得出.要注意答案的正確性.

圖2

2.3 將矩形沿對(duì)角線折疊

例3 如圖3，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，將紙片折疊．若沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，BF與AD交于點(diǎn)E.

問題（1）：證明：BE=DE．

問題（2）：AE的長(zhǎng)是 ．

問題（3）：△DEF的面積是 ．

問題（4）：重疊部分△EBD的面積是 ．

問題（5）：△BEF中E點(diǎn)到BD邊上的距離是 ．

圖3

評(píng)析 問題（1）是一個(gè)基本的模型：角平分線+平行會(huì)出現(xiàn)等腰三角形（折痕相當(dāng)于角平分線的作用）.問題（2）借助設(shè)未知數(shù)利用勾股定理計(jì)算得出.問題（3）△DEF的面積轉(zhuǎn)化為求△ABE的面積.問題（4）會(huì)用到問題（2）.問題（5）在（4）問的基礎(chǔ)上利用等面積法即可求.

2.4 折疊后矩形對(duì)角重合

例4 如圖4，在矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，將紙片折疊．若沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，

問題（1）：折痕EF的長(zhǎng)是 ．

問題（2）：△AEF的周長(zhǎng)是 .

問題（3）：△AEF面積是 ．

問題（4）：CF的長(zhǎng)是 .

圖4

評(píng)析 問題（1）（2）（3）和前幾題類似，折疊的實(shí)質(zhì)和設(shè)未知數(shù)利用勾股定理計(jì)算.本題中隱含的條件AE=AF（基本模型：角平分線+平行會(huì)出現(xiàn)等腰三角形）也要看出來，然后可證△AED′全等于△AFB，則ED′=FB即可求第（4）問，求（1）問EF長(zhǎng)還需要過點(diǎn)F或點(diǎn)E做對(duì)邊的垂線，根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)，然后解決（2）（3）問.

2.5 如把圖1—圖4放入坐標(biāo)系中，可以提出怎樣的數(shù)學(xué)問題呢？

圖6

圖8

評(píng)析 把折疊問題放入坐標(biāo)系中，不管放在坐標(biāo)系哪里，本質(zhì)問題都是一樣的，就會(huì)出現(xiàn)一次函數(shù)的問題，或者由一次函數(shù)與折疊作為條件來解決其他幾何問題，舉例如下：

2.5.1 如圖7，把圖3放在直角坐標(biāo)系中，以C為坐標(biāo)原點(diǎn).矩形ABCD的對(duì)角線BD所在直線表達(dá)式為y=－35x+3把△BCD沿對(duì)角線BD折疊（使△BFD和△ABD落在同一平面內(nèi)），BF交AD于點(diǎn)E．

問題（1）：試判斷△BED的形狀，并說明理由；

問題（2）：求重疊部分△BED的面積；

問題（3）：求直線BF的表達(dá)式．

評(píng)析 學(xué)生在學(xué)習(xí)2.3將矩形沿對(duì)角線折疊問題后回答此題難度不大，大多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題（1）（2）還是圖3中的問題，與一次函數(shù)的關(guān)系不大，只在矩形折疊的情況下就可以解決問題，問題（3）求一次函數(shù)的問題，也只需要求點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)即可，點(diǎn)E的坐標(biāo)也可以對(duì)應(yīng)到要求AE的長(zhǎng)的問題即可解決.

2.5.2 如圖8，把圖4放入平面直角坐標(biāo)系中，使BC，BA分別落在x軸，y軸的正半軸上，連接AC，AC所在直線表達(dá)式為y=－12x+2．將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D′.問題：

（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo) ，點(diǎn)C的坐標(biāo)

（2）線段EF的長(zhǎng)度是

（3）求EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

（4）求AD′所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

評(píng)析 問題（1）是已知一次函數(shù)解析式，求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，問題（2）同2.4題，可以不要一次函數(shù)與坐標(biāo)系，只需要AB和BC的長(zhǎng).問題（3）在問題（2）的基礎(chǔ)上求出點(diǎn)E與F的坐標(biāo)，即可求出EF的解析式.

3 結(jié)語(yǔ)

折疊問題的本質(zhì)是軸對(duì)稱問題，折疊前后兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，大部分題目一般都是用勾股定理來計(jì)算的，要學(xué)會(huì)用勾股定理來構(gòu)造方程，學(xué)會(huì)用方程思想解決問題，還要注意一些模型和等面積法的應(yīng)用，再把折疊問題放入坐標(biāo)系后，不要覺得很難，分清楚要解決折疊問題還是一次函數(shù)的問題，這樣就不難了，對(duì)以后學(xué)習(xí)其他幾何圖形與函數(shù)的結(jié)合，也是一種啟示.