【摘要】初中數(shù)學(xué)方案設(shè)計(jì)與決策型問題是中考數(shù)學(xué)的常考題型之一.對方案設(shè)計(jì)與決策型問題的題型進(jìn)行研究，可以幫助學(xué)生在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題，培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.教師在教學(xué)中也應(yīng)該通過引導(dǎo)學(xué)生分析思考，培養(yǎng)他們的分析和判斷能力.本文對初中數(shù)學(xué)方案設(shè)計(jì)與決策型問題進(jìn)行研究，并列舉實(shí)例進(jìn)行講解，以期望有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，提高解決該類問題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；方案設(shè)計(jì)；解題

1 利用不等式（組）設(shè)計(jì)方案

利用不等式（組）解決實(shí)際問題時(shí)，一般通過題中的不等關(guān)系建立不等式（組），確定某些變量的取值范圍或極端可能值，從而確定出可行性方案，然后通過比較得出最優(yōu)方案.

例1 2024年3月12日是我國的第46個(gè)植樹節(jié)，實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了傳承和弘揚(yáng)這一環(huán)保理念，組織學(xué)校師生去市外一退耕還林示范基地參加植樹活動，為祖國添“綠”.現(xiàn)有A，B兩種型號的大客車可選，其載客量和租金如表1所示，要求每種型號大客車至少一輛，且每輛汽車上至少要有一名教師.

（1）已知學(xué)校共549名學(xué)生和11名教師參加這次活動，請問共需租多少輛大客車？

（2）在（1）的基礎(chǔ)下，列出所有租車方案，并選出最省錢的租車方案.

解 （1）本次活動總?cè)藬?shù)為560人，

560÷55=10…10，即需要10輛乙種客車還余10人，且共有11名教師，而每輛汽車上至少要有一名教師，故共需租1l輛大客車.

（2）設(shè)租用x輛A種型號的大客車，則租用（11-x）輛B種型號大客車，因?yàn)閤≤3且x為正整數(shù)，

所以x可取1或2或3，即有3種租車方案.

方案1：租用1輛A種型號大客車，10輛B種型號大客車，租車費(fèi)用為6500元；

方案2：租用2輛A種型號大客車，9輛B種型號大客車，租車費(fèi)用為6400元；

方案3：租用3輛A種型號大客車，8輛B種型號大客車，租車費(fèi)用為6300元；

6500>6400>6300，租車方案3最節(jié)省錢.

2 利用函數(shù)設(shè)計(jì)方案

利用函數(shù)進(jìn)行決策是指在提供的背景材料或圖表信息下，通過列函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的增減性，在自變量的取值范圍內(nèi)確定最佳方案.解決此類問題的難點(diǎn)是正確確定函數(shù)解析式和自變量的取值范圍.

例2 某一煤炭開采公司簽訂了A、B兩種貨車進(jìn)行煤炭運(yùn)輸，已知85噸煤炭一次性運(yùn)完需要安排2輛A型貨車與3輛B型貨車，155噸煤炭一次性運(yùn)完需要安排4輛A型貨車與5輛B型貨車.現(xiàn)在礦上有190噸煤炭需要運(yùn)輸，煤炭公司計(jì)劃安排兩輛貨車將所有煤炭一次運(yùn)走.

（1）分別求出A，B型貨車運(yùn)煤的載重量；

（2）若A，B貨車的運(yùn)費(fèi)分別為500元/次和400元/次.在滿載運(yùn)送的條件下，請列出所有的運(yùn)輸方案，并選出最省錢的運(yùn)輸方案.

解 （1）設(shè)1輛A貨車一次可以運(yùn)煤x噸，1輛B貨車一次可以運(yùn)煤y噸，

根據(jù)題意得2x+3y=854x+5y=155，

解得x=20y=15，

即1輛A貨車一次可以運(yùn)煤20噸，1輛B貨車一次可以運(yùn)煤15噸.

（2）設(shè)A貨車運(yùn)煤x噸，則B貨車運(yùn)煤190－x噸，運(yùn)輸總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意得：

w=500×x20+400×190－x15=25x+80（190－x）3=－5x3+152003，

因?yàn)椋?3<0，所以w隨x的增大而減小，即A貨車越多越省錢.

因?yàn)锳，B兩種貨車均滿載，所以x20和190－x15都是正整數(shù).

因此根據(jù)題意，x的取值有20，40，60，80，100，120，140，160，180.

代入計(jì)算，當(dāng)x取40，100，160時(shí)，190－x15是正整數(shù)，其余不是正整數(shù)，因此符合題意的運(yùn)輸方案有三種：

①2輛A型貨車，10輛B型貨車；②5輛A型貨車，6輛B型貨車；③8輛A型貨車，2輛B型貨車.

因?yàn)锳貨車越多越省錢，所以方案③最省錢.

3 圖形問題中的方案設(shè)計(jì)

此類問題以常見的幾何圖形為基礎(chǔ)，在給定的條件下結(jié)合圖形的性質(zhì)進(jìn)行證明、設(shè)計(jì)、計(jì)算等，再檢驗(yàn)所得結(jié)果是否滿足條件，從而做出決策.這就要求我們不僅要有一定的幾何能力基礎(chǔ)，還要能熟練地運(yùn)用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合圖形變換、方程或函數(shù)的知識解決問題，最后要注意檢驗(yàn)結(jié)果是否符合題目要求.

例3 為了改善農(nóng)村的用水環(huán)境，自來水公司準(zhǔn)備為A，B兩個(gè)村莊鋪設(shè)自來水輸送管道，現(xiàn)要在兩個(gè)村莊的交通主干道路邊選取一個(gè)位置建一個(gè)泵站，要求從泵站到兩個(gè)村莊鋪設(shè)的管道最短.已知A，B村莊以及交通干道l的相對位置如圖1所示.

如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，在線段A′B與直線l的交點(diǎn)C處建泵站，鋪設(shè)的管道最短.為了證明點(diǎn)C的位置是正確的，不妨在直線l上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，證明AC+BC<AC′+BC′.請完成這個(gè)證明.

解 證明：如圖3所示，連接A′C′

因?yàn)辄c(diǎn)A，A′關(guān)于l對稱，點(diǎn)C在l上，

所以CA=CA′，

AC+BC=AC′+BC=A′B，

同理可得AC′+C′B=A′C′+BC′.

因?yàn)锳′B<A′C′+C′B，

所以AC+BC<AC′+BC′.

4 結(jié)語

方案設(shè)計(jì)與決策型問題研究是初中數(shù)學(xué)的重要問題，它涉及學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中如何運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行實(shí)際問題的解決.在這部分內(nèi)容中，教師需要在引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，培養(yǎng)他們的解決問題的能力和思維方式.另外，決策型問題的研究可以幫助學(xué)生在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行決策，提高他們的問題解決能力和實(shí)際應(yīng)用能力.通過對初中數(shù)學(xué)方案設(shè)計(jì)與決策型問題的研究，可以更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展.