【摘要】本文從初中數(shù)學(xué)知識(shí)“勾股定理”入手，提出基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的初中課堂教學(xué)新思考與新實(shí)踐，為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升提供力所能及的幫助.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

1 引言

勾股定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的概念與工具，也是學(xué)生初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，需要教師給予高度重視，促進(jìn)學(xué)生全面進(jìn)步發(fā)展.

2 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的初中課堂教學(xué)新思考與新實(shí)踐

傳統(tǒng)的勾股定理教學(xué)知識(shí)記憶化、探究形式化以及目標(biāo)應(yīng)試化現(xiàn)象相對(duì)嚴(yán)重，因此，教師應(yīng)該從打造動(dòng)態(tài)化課堂入手，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用實(shí)踐、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、證明多元化方式完成學(xué)習(xí)，提升自身綜合能力.

3 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的初中數(shù)學(xué)解題技巧及案例分析

3.1 勾股定理的應(yīng)用技巧

3.1.1 求解三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題

例1 已知△ABC中，AB=17cm，AC=10cm，BC邊上的高AD=8cm，則邊BC的長(zhǎng)為.

解析 本題既考查學(xué)生的繪圖能力，也考查學(xué)生解題中的分類討論能力.因此，需要教師在課堂教學(xué)中針對(duì)這兩個(gè)方面給予高度的重視與引導(dǎo).

解 已知△ABC中，AB=17cm，AC=10cm，AD=8cm，

由勾股定理可得，

BD=AB2－AD2=172－82=15cm，

CD=AC2－AD2=102－82=6cm，

如圖1所示，假設(shè)點(diǎn)D位于邊BC上，

則BC=CD+BD=15+6=21cm，

如圖2所示，若點(diǎn)D位于BC的延長(zhǎng)線上，

則BC=BD－CD=15－6=9cm.

所以邊BC的長(zhǎng)為21cm或9cm.

例2 在△ABC中，AB=30，AC=25，BC邊上的高AD為24，則△ABC的面積為.

解析 這一題是例1的變式，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在充分掌握勾股定理的基礎(chǔ)上，對(duì)三角形的分類及分類條件等有較為清晰地掌握.

解 已知△ABC中，AB=25，AC=30，AD=24，

由勾股定理可得，

BD=AB2－AD2=302－242=18，

CD=AC2－AD2=252－242=7，

如圖3所示，假設(shè)點(diǎn)D位于邊BC上，且AD⊥BC，

則BC=CD+BD=7+18=25，

則S△ABC=12·BC·AD=12×25×24=300，

如圖4所示，若點(diǎn)D位于BC的延長(zhǎng)線上，

則S△ABC=S△ABD－S△ACD=12·BD·AD－12·CD·AD=12×18×24－12×7×24=132.

所以△ABC的面積為300或132.

3.1.2 判斷三角形類型

例3 已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a+b=10，ab=18，c=8，則該三角形是.

解析 此處考查學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理的掌握情況，教學(xué)中需要充分引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)借助已有條件對(duì)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo).

解 已知a+b=10，ab=18，c=8，

由勾股定理逆定理可得

a2+b2=a+b2－2ab=100－36=64，

又因?yàn)閏2=64，

所以a2+b2=c2，則由此可知該三角形為直角三角形.

例4 如圖5，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)D在底邊上從B向C以0.25cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，點(diǎn)P與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直.

解析 此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形基本知識(shí)的掌握情況，解題關(guān)鍵是學(xué)生需要扎實(shí)掌握勾股定理并化難為簡(jiǎn).

解 如圖5，作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，已知△ABC是等腰三角形，

則BD=CD=12BC=4cm，

在△ABD中，AD=AB2－BD2=3cm，

如圖6所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AC時(shí)，

由AP2=PD2+AD2=PC2－AC2，

可知PD2+32=PD+42－52，

因此PD=2.25cm，

則BP=4－2.25=1.75=0.25t，故而t=7s.

如圖7所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AB時(shí)，同理可證得PD=2.25，則BP=4+2.25=6.25=0.25t，即t=25s.

故而點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7秒或25秒.

例5 如圖8所示，等邊△ABC中有一點(diǎn)P，已知PA=4，PB=23，PC=2，則AB=.

解析 這道題目放在判斷三角形類型中進(jìn)行解析分析，學(xué)生預(yù)解此題，需先將三條線段不在同一個(gè)三角形中的三角形旋轉(zhuǎn)60°后構(gòu)造直角三角形，再以勾股定理進(jìn)行解題.

解 將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得△BDA，如圖9所示，故而∠DBP=60°，

又因?yàn)镻B=23，DB=PB，

則DB=23，△BDP是等邊三角形，

故而PD=23，

又因?yàn)镈A=PC=2，PA=4，

則可得DA2+PD2=PA2，因此證實(shí)△ADP是直角三角形，

作BF⊥AF，則∠FDB=90°－∠BDP=30°，

所以在直角△BFD中，BF=3，DF=3，

則AF=DF+AD=5，

又因?yàn)橹苯恰鰽FB中，AB2=AF2+BF2，

即AB2=25+3，所以AB=27.

3.1.3 解決幾何問(wèn)題

例6 如圖10，折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求折痕AE的長(zhǎng).

解析 這一題目重點(diǎn)考查學(xué)生的勾股定理掌握情況，也是在對(duì)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的翻折變換及矩形性質(zhì)等的鞏固.

解 由圖10可知，△AEF由△AED翻折而成，

則可知AF=AD=10cm，

又知∠AFE=∠D=90°，DE=EF，

故而△ABF中，

BF=AF2－AB2=102－82=6cm，

因此CF=BC－BF=10－6=4cm，

假設(shè)DE=x，則EF=x，EC=8－x，

在△ECF中，CE2+CF2=EF2，

也即8－x2+42=x2，

由此解得x=5cm，即DE=5cm，

同理可得△ADE中，

AE=AD2+DE2=102+52=55cm，

所以折痕AE的長(zhǎng)度，為55cm.

3.1.4 建筑設(shè)計(jì)應(yīng)用

例7 有一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，各級(jí)的長(zhǎng)寬高分別為50cm，30cm與10cm，如圖11所示，A與B是該臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)頂端，A點(diǎn)處出現(xiàn)一只壁虎，試計(jì)算如果壁虎想要前往B點(diǎn)獲取食物，沿著臺(tái)階爬行，壁虎最少需要爬行的距離是多少？

解析 此類題目重在考查學(xué)生對(duì)于借助于平面展開圖求最短路徑的相關(guān)知識(shí)的掌握情況.

解 將圖11所示臺(tái)階展開成如圖12所示的矩形，

則BC=30×3+10×3=120cm，

又因?yàn)锳C=50，所以AC2+BC2=16900，

則AB=130cm，

故而壁虎爬行的最短線路為130cm.

4 結(jié)語(yǔ)

總之，當(dāng)前想要促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，需要教師不斷轉(zhuǎn)變已有的教學(xué)理念與方法，重視學(xué)習(xí)和引入新的理念內(nèi)容與實(shí)踐形式，這樣才能夠大力發(fā)揮現(xiàn)代教育的作用，讓學(xué)生擁有更扎實(shí)的基礎(chǔ)與能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］馬美珍.勾股定理解題技巧及具體例子分析［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（03）：39-40.

［2］張雋.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用——以“勾股定理”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（33）：25-27.