【摘要】最值問題作為中考數(shù)學(xué)中的一個高頻考點(diǎn)，通常同函數(shù)、幾何等知識相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，覆蓋面較廣，類型多樣，對學(xué)生的解題能力有著較高要求，教師在平時的解題訓(xùn)練中需給予高度重視，通過技巧傳授幫助學(xué)生掌握解答最值問題的竅門.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；最值問題；解題技巧

最值問題，顧名思義就是一類涉及“最”字描述的試題，一般指的是最長和最短、最多和最少、最大和最小等問題，是普遍的應(yīng)用類問題.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，最值問題較為常見，教師可圍繞最值問題安排專題訓(xùn)練，根據(jù)不同題目指導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的解答方法，以便在解題時盡可能少走彎路，最終讓學(xué)生準(zhǔn)確、快速解答最值問題.

1 解答方程類最值問題的技巧

在初中數(shù)學(xué)方程類最值問題解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)耐心講解有關(guān)方程的根與判別式等基礎(chǔ)知識，以及常用的方程解法，著重介紹求最值時的一般思路與方法，使其通過整理與簡化表達(dá)式且結(jié)合函數(shù)知識展開解答，助推他們準(zhǔn)確得到最值.

例1 關(guān)于x的一元二次方程x2－4x+t－2=0，其中t為實(shí)數(shù)，已知該方程的兩個非負(fù)實(shí)數(shù)根為a和b，則a2－1b2－1的最小值為（ ）

（A）－20. （B）－15. （C）－10. （D）－5.

分析 在解答這道方程類最值問題時，教師應(yīng)提醒學(xué)生聯(lián)系方程根和系數(shù)之間存在的關(guān)系，以此作為解題的切入點(diǎn)，然后讓他們重新整理與變形所求的多項(xiàng)式，使其最終借助函數(shù)的性質(zhì)順利解答問題.

詳解 由于關(guān)于x的一元二次方程x2－4x+t－2=0的兩個非負(fù)實(shí)數(shù)根為a和b，那么Δ=16－4（t－2）>0，且a+b=4，ab=t－2≥0，則實(shí)數(shù)t的范圍是2≤t<6，對a2－1b2－1進(jìn)行展開與變形能夠得到a2b2－a2+b2+1=a2b2－a+b2+2ab+1，即（t－2）2－16+2（t－2）+1=t2－2t－15.通過對上述式子的觀察發(fā)現(xiàn)這是一個有關(guān)實(shí)數(shù)t的二次函數(shù)樣式，而且該函數(shù)圖象的對稱軸是t=1<2，由此說明當(dāng)t=2時，a2－1b2－1存在最小值，t2－2t－15=22－2×2－15=－15，所以a2－1b2－1的最小值是－15.（B）選項(xiàng)正確.

2 解答函數(shù)類最值問題的技巧

函數(shù)類最值問題形式多樣、變化多端，不僅涉及提供有自變量范圍，借助函數(shù)形式求函數(shù)最值類題目，還包括通過函數(shù)圖象求最值類題目.教師應(yīng)結(jié)合例題進(jìn)行示范，引導(dǎo)學(xué)生善于利用試題里面出現(xiàn)的平行、垂直等關(guān)系尋求解題的切入點(diǎn)，注重代數(shù)和幾何的有機(jī)整合，助推他們輕松解答.

例2 在圖1中，已知一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖象有兩個交點(diǎn)，即為A，B，點(diǎn)P位于以C（－2，0）為圓心、半徑為1的圓上，其中Q點(diǎn)是線段AP的中點(diǎn)，假如OQ有最大值為32，則k的值為（ ）

（A）98. （B）3225. （C）2518. （D）4932.

分析 雖然本題最終所求的并非是k的最值，但是在題干描述中涉及“OQ有最大值為32”的字樣，同樣屬于一道最值問題，而且是函數(shù)與平面圖形相結(jié)合的綜合型試題，解題時要用到函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角形的中位線相關(guān)知識，顯得較為復(fù)雜，不過可借助數(shù)形結(jié)合思想突破障礙，從而輕松完成解答.

詳解 根據(jù)題意可連接BP，結(jié)合反比例函數(shù)相關(guān)知識可以確定A，B兩點(diǎn)關(guān)于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O對稱，且O為AB的中點(diǎn).因?yàn)镼點(diǎn)是線段AP的中點(diǎn)，所以BP=2OQ，由于OQ有最大值為32，那么BP有最大值為3，結(jié)合圓相關(guān)知識可知當(dāng)BP有最大值時，P點(diǎn)為BC延長線和圓C的交點(diǎn)，根據(jù)圓C的半徑為1能夠得到BC=2，可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，2t），添加輔助線，畫BD垂直于X軸交于點(diǎn)D，則CD=t－（－2）=t+2，BD=－2t，結(jié)合勾股定理能夠得到（t+2）2+（－2t）2=4，據(jù)此求得t=－45或者t=0（舍去），由此確定B點(diǎn)坐標(biāo)為－45，－85，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)y=kx（k>0）中，能夠求出k=3225.所以（B）選項(xiàng)正確.

3 解答幾何類最值問題的技巧

幾何類的最值問題，從整體上來看可分為兩種，其一是借助幾何圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化原問題，實(shí)現(xiàn)由陌生向熟悉的轉(zhuǎn)變，其二是巧妙使用常見幾何圖形的原有性質(zhì)處理最值類試題.在指導(dǎo)學(xué)生解答幾何類最值問題時，應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生以仔細(xì)分析試題里面出現(xiàn)的幾何圖形特征為前提，準(zhǔn)確把握幾何圖形所具有的性質(zhì)，從而輕松求解最值答案.

例3 如圖2，菱形ABCD中的兩條對角線相交于點(diǎn)O，其中AC=12，BD=16，P點(diǎn)位于邊BC上，且不與B，C兩點(diǎn)重合，另外PF⊥BD，PE⊥AC，連接EF，則EF的最小值為（ ）

（A）8. （B）5.8 . （C）4.8. （D）4.

分析 解答這一題目時，如果直接利用已知數(shù)據(jù)和條件求EF的最小值的話難度較大，但是可借助菱形這一特殊幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，并結(jié)合三角形相關(guān)知識完成解答.

詳解 添加輔助線，連接OP，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知兩條對角線AC⊥BD，由于PF⊥BD，PE⊥AC，得到矩形PFOE，則EF=OP，當(dāng)OP⊥BC時OP有最小值，在Rt△BOC中，OC=12AC=6，OB=12BD=8，結(jié)合勾股定理能夠得到BC2=OC2+OB2，則BC=10，因?yàn)镾△BOC=12×OP×BC=12×BO×OC，所以O(shè)P=OB×OCBC=6×810=4810=4.8，則EF=OP=4.8，即EF的最小值為4.8.所以（C）選項(xiàng)正確.

4 結(jié)語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動中，最值問題是一類比較特殊的題目，考查的知識點(diǎn)范圍較廣、綜合性較強(qiáng)，教師應(yīng)把握好此類試題的特征，通過專題訓(xùn)練指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題練習(xí)，使其能夠根據(jù)具體題目靈活使用不同的解題方法，找到最優(yōu)解題方案，簡化解題流程，降低出現(xiàn)錯誤的概率，讓學(xué)生學(xué)會解答數(shù)學(xué)中的最值問題，為將來的中考做準(zhǔn)備.