【摘要】本文首先闡述多種解題策略，包括以靜制動、特殊值法、分類討論等．通過具體例題的分析，幫助學(xué)生更好地掌握動態(tài)幾何問題的解題方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；動態(tài)幾何；解題策略

在初中數(shù)學(xué)中，動態(tài)幾何問題是一類具有較高難度和綜合性的題型．這類問題通常涉及圖形的運(yùn)動、變化，要求學(xué)生在變化的過程中分析圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等．掌握動態(tài)幾何問題的解題策略對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和綜合素質(zhì)具有重要意義．

1 動態(tài)幾何問題的解題策略

1.1 以靜制動

在動態(tài)幾何問題中，雖然圖形在運(yùn)動，但通常存在一些不變的元素或關(guān)系．學(xué)生可以通過分析這些不變的元素，找到問題的突破口．例如，在圖形的運(yùn)動過程中，某些線段的長度、角度的大小、圖形的形狀等可能保持不變．利用不變的元素和已知條件，建立方程或函數(shù)關(guān)系，從而求解問題．

例如 對于涉及線段長度的問題，可以通過勾股定理、相似三角形等知識建立方程；對于涉及圖形面積的問題，可以通過函數(shù)表達(dá)式來表示面積與某個變量之間的關(guān)系．

1.2 特殊值法

當(dāng)動態(tài)幾何問題中的圖形運(yùn)動情況不確定時，可以選取一些特殊的位置進(jìn)行分析．

例如 當(dāng)點在某條直線上運(yùn)動時，可以選取點在特殊的位置，如中點、端點等，此時圖形的形狀和性質(zhì)可能會比較特殊，便于分析和求解．通過對特殊位置的分析，得出一些一般性的結(jié)論，然后再推廣到一般情況．特殊值法可以幫助學(xué)生快速找到問題的思路，降低解題的難度．

1.3 分類討論

在動態(tài)幾何問題中，由于圖形的運(yùn)動情況可能存在多種情況，需要進(jìn)行分類討論．分類的標(biāo)準(zhǔn)通常是根據(jù)圖形的位置關(guān)系、運(yùn)動狀態(tài)等因素來確定．

例如 當(dāng)點在不同的區(qū)間內(nèi)運(yùn)動時，圖形的性質(zhì)可能會發(fā)生變化，此時需要對不同的區(qū)間進(jìn)行分類討論．對每一種情況進(jìn)行逐一分析求解，確保不遺漏任何一種情況．在分類討論的過程中，要注意思維的嚴(yán)密性和邏輯性，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的情況．

2 求解動態(tài)幾何問題的典例分析

例題 如圖1，在正方形ABCD中，動點P從點A出發(fā)，沿A-B－C運(yùn)動到點C停止．過點C作DP的垂線，垂足為點G，延長CG到點E，使EG=CG，連接DE，AE，直線EA與DP交于點F．設(shè)∠ADP為α，且0°＜α＜90°．

（1）當(dāng)α=10°時，求∠ADE和∠DAE的度數(shù).

（2）當(dāng)點P在AB上時，

①求sinF的值；

②當(dāng)△DEF為軸對稱圖形時，求α的大小.

（3）若正方形ABCD的面積為4，直接寫出△DAF面積的最大值．

解析 （1）因為ABCD是正方形，

所以AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ADC=90°，

因為∠ADP=α=10°，

所以∠CDG=80°；

因為CE⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC，∠CDG=∠EDG=80°，

所以∠ADE=∠EDG－∠ADP=70°，

DE=DA，

所以∠DAE=180°－∠ADE2=55°．

（2）①因為ABCD是正方形，

所以AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ADC=90°，

因為∠ADP=α，

所以∠CDG=∠APD=90°－α，

所以∠APF=180°－∠APD=90°+α

因為CE⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC，

∠CDG=∠EDG=90°－α，

所以∠ADE=∠EDG－∠ADP=90°－2α，

DE=DA；

所以∠DAE=180°－90°－2α2=45°+α，

所以∠PAF=180°－∠EAD－∠DAB=45°－α，

所以∠F=180°－∠PAF－∠APF=45°，

所以sinF=sin45°=22.

②因為△DEF為軸對稱圖形，

所以△DEF為等腰角形，

因為0°<α<90°，

所以DF≠DE

所以有兩種情況，DE=EF，或PF=EF，

若DE=EF，

則∠EDF=∠F，

即90°－α=45°，

解得α=45°，

若PF=EF，

則∠EDF=∠DEF

又因為∠EDF+∠DEF=180°－45°=135°

所以∠EDF=∠DEF=67.5°

所以90°－α=67.5°，

所以α=22.5°，

所以α的大小為45°或22.5°

（3）當(dāng)點P在BC上時，

因為∠ADP=α，

所以∠CDG=90°－α，

因為CE⊥DG，EG=CG，

所以直線DG是線段CE的垂直平分線，

所以DE=DC=DA，

∠CDG=∠EDG=90°－α，

∠DCG=∠DEG=90°－∠CDG=α，

所以∠ADE=∠ADP－∠EDG=2α－90°，

所以∠DAE=∠AED=180°－∠ADE2=135°－α，

所以∠GBE=180°－∠AED－∠DEG=45°－α，

所以∠F=180°－∠PAF－∠APF=45°.

又因為當(dāng)點P在AB上時，∠F=45°，

所以整個運(yùn)動過程中∠F=45°，

所以A，D，F(xiàn)三點在圓上，弧AD所對的圓周角是45°，所對的圓心角是90°.

又因為正方形對角線互相垂直平分，

所以圓心為正方形ABCD對角線交點O，半徑為OA的長度.

因為SABCD=4，

所以AB=AD=BC=DC=2，

所以AC=22，AO=2.

當(dāng)點P在AB上時，P移動到B時，P，B，F(xiàn)點重合，

△DAF面積最大為12×2×2=2，

當(dāng)點P在BC上時，P到AD的距離最大時△DAF面積最大，

△DAF面積最大為12×2×1+2=1+2，

所以△DAF面積最大為1+2．

點評 本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、軸對稱圖形的特點和圓的判定，需要分類討論，判斷出F的移動軌跡是解題關(guān)鍵．

3 結(jié)語

初中數(shù)學(xué)中的動態(tài)幾何問題具有一定的難度和挑戰(zhàn)性，但通過掌握以靜制動、特殊值法、分類討論等解題策略，可以有效地提高解題能力．在解決動態(tài)幾何問題時，學(xué)生要認(rèn)真分析問題的特點，找出不變的元素和關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識，選擇合適的解題方法．同時，要注重培養(yǎng)自己的空間想象能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，不斷提高數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)．

參考文獻(xiàn)：

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