【摘要】二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí)，很多問題的解答都會(huì)涉及二元一次方程組.本文在問題化學(xué)習(xí)的視角下，就二元一次方程組的解法進(jìn)行探究，具體將從單變量代入消元、整體代入消元、加減消單變量元和加減消整體元四個(gè)方面進(jìn)行討論，以對(duì)二元一次方程組的解法進(jìn)行突破.

【關(guān)鍵詞】二元一次方程組；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

問題化學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的一種形式，可以完全調(diào)動(dòng)學(xué)生的自覺性，是一種高效的學(xué)習(xí)模式.二元一次方程組是初中乃至高中都非常重要的知識(shí)，應(yīng)用非常的廣泛，而解二元一次方程組的關(guān)鍵是消元.基于此，本文在問題化學(xué)習(xí)視角下探究二元一次方程組的解法，下面將從代入消元和加減消元展開例談.根據(jù)實(shí)際情況，代入消元又分為單變量代入消元和整體代入消元，加減消元也分成單變量消元和整體消元，下面具體討論.

1 代入消元

解二元一次方程組的核心是消元，而消元的主要方法之一是代入消元.消元方法的選擇主要是看方程組的結(jié)構(gòu)形狀，根據(jù)結(jié)構(gòu)形狀，代入消元可以分為單變量代入消元和整體代入消元.

1.1 單變量代入消元

顧名思義，單變量代入消元就是根據(jù)方程組把一個(gè)變量用另外一個(gè)變量表示，代入另外一個(gè)方程，以達(dá)到消元的目的.主要是針對(duì)可以由方程組中的一個(gè)方程簡(jiǎn)單、快速將一個(gè)變量由另外一個(gè)變量表示出來.

例1 解方程組：x－2y=62x+5y=7.

解 由x－2y=6，

得x=6+2y.

將x=6+2y代入2x+5y=7，

得26+2y+5y=7，

整理得9y=－5，

解得y=－59.

再將y=－59代入x=6+2y，

解得x=6+2×－59=449.

所以方程組x－2y=62x+5y=7的解為x=－59y=449.

評(píng)注 根據(jù)方程組的特征，由x－2y=6可以簡(jiǎn)單地將變量x用y表示出來，所以采用了單變量代入消元法.整個(gè)解答步驟可以總結(jié)歸納為：一是觀察所要解的二元一次方程組，確定用單變量代入法簡(jiǎn)答；二是選擇一個(gè)方程，快速將一個(gè)變量由另一個(gè)變量表示；三是將表示出來的變量代入另外一個(gè)方程，求出一個(gè)變量的值；四是將前面求出的變量值代入第二步，求出另一個(gè)變量.

1.2 整體代入消元

這種方法針對(duì)的是二元一次方程組中，兩個(gè)方程中有一個(gè)變量的系數(shù)相等，或者成倍數(shù)關(guān)系.根據(jù)兩個(gè)方程的情況，以一個(gè)方程為準(zhǔn)，將另外一個(gè)變量的系數(shù)也配成一樣，然后整體代入，可以求出剩余一個(gè)變量的值.

例2 解方程組：x+y=75x+3y=31.

解 由x+y=7兩邊同時(shí)乘以3，

得3x+3y=21.

由5x+3y=31配方，

得2x+3x+3y=31，

將3x+3y=21整體代入，

得2x+21=31，整理解得x=5.

將x=5代入x+y=7，

得y=2.

所以方程組x+y=75x+3y=31的解為x=5y=2.

評(píng)注 題目雖然沒有一個(gè)變量對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，但是方程x+y=7的兩個(gè)變量的系數(shù)都是1，可以視為與5x+3y=31的對(duì)應(yīng)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，所以選擇采用整體代入消元法.這種方法的解題步驟為：一是觀察方程組是否存在對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，或成倍數(shù)關(guān)系；二是在有一個(gè)變量系數(shù)相等或成倍數(shù)的前提下，以另一個(gè)變量系數(shù)小的方程為基準(zhǔn)方程，把另外一個(gè)方程進(jìn)行分解（或配方），得出與基準(zhǔn)方程一致的項(xiàng)；三是將一致的項(xiàng)進(jìn)行整體代換，把剩下的變量求出；四是把求出的變量回代，求出另外一個(gè)變量.

2 加減消元

加減消元也是解二元一次方程組常用方法，根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特征，依然可以分為加減單變量消元和加減整體消元.

2.1 加減單變量消元

這種方法主要針對(duì)的是方程組中，其中一個(gè)變量的系數(shù)相等或成倍數(shù)關(guān)系.如果系數(shù)相等，則兩式相加（減）就可以消掉一個(gè)變量；若系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則將系數(shù)小的乘以倍數(shù)變成一樣，再進(jìn)行加減消元.

例3 解方程組：0.5x+0.8y=－0.20.5x－0.8y=6.2.

解 因?yàn)閮蓚€(gè)方程中y前面的系數(shù)互為相反數(shù)，則兩式相加得x=6.

將x=6代入0.5x+0.8y=－0.2，

得3+0.8y=－0.2，

解得y=－4.

所以方程組0.5x+0.8y=－0.20.5x－0.8y=6.2的解為：x=6y=－4.

評(píng)注 方程組中，兩個(gè)方程的y前面的系數(shù)為－1倍的關(guān)系，所以選擇了加減消單變量元法.一般的解題步驟為：一是觀察方程組，看是否存在其中一個(gè)變量的系數(shù)相等或成倍數(shù)關(guān)系；二是存在方程組中一個(gè)變量的系數(shù)相等，則兩式相減.一個(gè)變量的系數(shù)互為相反數(shù)，則兩式相加.若系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，將系數(shù)小的方程兩邊同時(shí)乘以倍數(shù)，再進(jìn)行加減；三是進(jìn)行加減消元后，得到的方程只有一個(gè)變量，解方程求出這個(gè)變量；四是將求出的變量進(jìn)行回代，求出另外一個(gè)變量.

2.2 加減消整體元

這種方法依然主要針對(duì)的是方程組中，其中一個(gè)變量的系數(shù)相等或成倍數(shù)關(guān)系.在其中一個(gè)變量系數(shù)相同的情況下，以另一個(gè)變量系數(shù)小的為基準(zhǔn)，把系數(shù)大的進(jìn)行分解，分離出與基準(zhǔn)一致后進(jìn)行加減.

例4 解方程組：3x－6y=11x+3y=2.

解 由3x－6y=11，

得5x－2x+6y=11.

又由x+3y=2，

得2x+6y=4.

則由5x－2x+6y=11與2x+6y=4相加，

得5x=15，解得x=3.

將x=3代入x+3y=2，

解得y=－13.

所以方程組3x－6y=11x+3y=2的解為x=3y=－13.

評(píng)注 方程組中，兩個(gè)方程中的x和y前面的系數(shù)都對(duì)應(yīng)成倍數(shù)關(guān)系，所以選擇了加減整體消元法.解題的一般步驟與整體代入消元一樣，唯一不同的是前面是代入，這里是加減處理.

3 結(jié)語

本文討論了四種不同的解二元一次方程組的方法與技巧，可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行處理.還有兩種特殊情況需要說明：一是方程組無解，即消元后得到的方程與變量無關(guān)，并且等式不成立，如1=0；二是方程組有無數(shù)組解，即兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)各項(xiàng)的系數(shù)都成同一個(gè)倍數(shù).

參考文獻(xiàn)：

［1］黃小小.初中數(shù)學(xué)“問題化學(xué)習(xí)”教學(xué)實(shí)踐探究［D］.杭州：浙江師范大學(xué)，2018.

［2］王莉.基于問題化學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課研究［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2022（12）：43-45.

［3］劉振龍.問題鏈教學(xué)案例：代入消元法解二元一次方程組［J］.考試周刊，2018（60）：103.

［4］王丹.二元一次方程組代入消元法變形步驟解析［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2020（08）：19-20.

［5］肖家貴.淺談?dòng)眉訙p消元法解二元一次方程組的基本方法［J］.當(dāng)代教育，2014（02）：41.