[摘 要] 數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)科中最為基礎(chǔ)的能力，也是培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，又要加大學(xué)生思維投入力度，引導(dǎo)學(xué)生思維深度參與，以此提高學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思維;思維品質(zhì);數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

隨著現(xiàn)代教學(xué)理論的開展，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo). 在實(shí)際教學(xué)中，教師要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)、研究教學(xué)、研究學(xué)生，在“四個理解”的基礎(chǔ)上巧妙地設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識，增加學(xué)生的思維容量，以發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 筆者以復(fù)習(xí)課為載體，以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，就如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升進(jìn)行了研究. 現(xiàn)將研究心得呈現(xiàn)出來，與大家分享.

開放式設(shè)問，讓思維積極

問題是思維的心臟，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維自然少不了問題. 開放式問題能給學(xué)生提供更為廣闊的思考空間，能使不同思維層次的學(xué)生參與課堂教學(xué). 通過開放式問題的思考和解答，激發(fā)學(xué)生思維的積極性，促進(jìn)各層次學(xué)生有所發(fā)展、有所提升. 同時(shí)，這種方式能調(diào)動學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的解題能力和自主學(xué)習(xí)能力，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn). 另外，開放式問題為生生和師生交流提供了素材，增強(qiáng)學(xué)習(xí)樂趣與信心，促進(jìn)思維深入.

例1 對于矩陣M=1 3

2 2，請結(jié)合已有知識，提出與矩陣M相關(guān)的問題.

例1是在復(fù)習(xí)“矩陣與變換”時(shí)，教師給出的一道開放式問題，旨在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的矩陣特征和性質(zhì)，提出相關(guān)問題. 通過這種方式，學(xué)生在鞏固基礎(chǔ)知識和技能的同時(shí)，能夠加深思維的參與度，從而提升學(xué)習(xí)的主動性和積極性.

問題給出后，教師提供充足的時(shí)間讓學(xué)生表達(dá)自己的所思、所想. 學(xué)生積極思考，主動交流，提出了以下精彩的問題.

（1）求矩陣M的特征值和特征向量;

（2）計(jì)算M50;

（3）點(diǎn)A（1，2），B（-3，2）經(jīng)矩陣M對應(yīng)變換后的坐標(biāo)是什么？

（4）已知△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（3，7），C（-1，0），它們經(jīng)矩陣M對應(yīng)變換后的圖形的面積是多少？

（5）求矩陣M的逆矩陣.

學(xué)生提問基于章節(jié)知識整體思考，回顧知識;解答問題檢測基礎(chǔ)知識、方法掌握情況，鞏固強(qiáng)化基礎(chǔ)知識和技能. 通過問題的提出與解答，既能幫助學(xué)生完成知識梳理，又能強(qiáng)化學(xué)生的解題技能，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深化、數(shù)學(xué)能力的提升.

傳統(tǒng)復(fù)習(xí)教學(xué)常羅列基本知識和技能，增加了數(shù)學(xué)乏味感，從而影響了學(xué)習(xí)效果. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)一些開放式問題，為學(xué)生提供獨(dú)立思考和合作交流的空間，引導(dǎo)學(xué)生主動提出自己的所思、所想，以此豐富課堂內(nèi)容，增加學(xué)生思維投入，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展與提升.

多途徑求解，讓思維靈動

在新時(shí)代背景下，培養(yǎng)具備創(chuàng)新精神的人才已成為數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要任務(wù). 由于發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)，因此教師應(yīng)鼓勵學(xué)生從不同角度思考和解決問題. 通過一題多解的方式開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)造性. 要知道，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)旨在讓學(xué)生掌握知識和方法，更關(guān)鍵的是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和終身學(xué)習(xí)能力. 為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師必須創(chuàng)造條件，激發(fā)學(xué)生深入思考和深刻感悟. 在解決問題的過程中，教師應(yīng)充分利用學(xué)生的個體差異，引導(dǎo)他們從多角度對問題及其解決方法進(jìn)行探索，從而充分激發(fā)學(xué)生的主體性. 這樣不僅能促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，還能全面增強(qiáng)他們的綜合素養(yǎng).

例2 如圖1所示，在△ABC中，∠CAB=60°，AB=4，AC=6，點(diǎn)D在邊AB上，且=2，點(diǎn)E在邊AC上，且=2，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，則·的值為______.

例2是學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算后，教師提供的一道典型練習(xí)題. 在課堂上，教師啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法來解決該問題，并展示他們的解題思IfO9GSuz+aiWLAeFKLlSeUN0LhyL8kHPKRiWQhnEbFA=路（如圖2所示），以此來提高學(xué)生的解題能力.

數(shù)量積的求解方法是豐富多彩的，其中基底法和坐標(biāo)法是常規(guī)方法. 基底法注重平面向量的幾何特征，對圖形的要求不是很高，但是對運(yùn)算能力要求較高;坐標(biāo)法注重平面向量的坐標(biāo)特征，雖然計(jì)算簡單，但是對圖形的依賴程度較高. 關(guān)于另外兩種方法，是對“∠CAB=60°”這一已知條件的深度挖掘，通過創(chuàng)造直角三角形和等邊三角形，巧妙地轉(zhuǎn)換問題，然后結(jié)合向量的加減以及向量的數(shù)量積的幾何意義來解決問題. 這樣引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)，充分挖掘題設(shè)條件，明確思考方向，形成有效的解題策略，使學(xué)生在分析和解決問題的過程中認(rèn)清了數(shù)量積問題的本質(zhì)，加深了對此類問題的理解. 同時(shí)，通過一題多解，有效發(fā)散了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的思維更加靈動.

多角度變式，讓思維歸一

變式教學(xué)是一種重要的教學(xué)方式，其在培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、深刻性等方面發(fā)揮著不可估量的作用. 在解題教學(xué)中，合理應(yīng)用變式方法可以加深學(xué)生對知識的理解，凸顯問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)思維歸一. 在實(shí)際教學(xué)中，圍繞一個問題的本質(zhì)進(jìn)行變式，可以讓學(xué)生充分體會“萬變不離其宗”的深刻內(nèi)涵，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，形成經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng).

例3 橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，其上頂點(diǎn)為P，若△PFF是等邊三角形，則橢圓的離心率是______.

變式題1：在原題的基礎(chǔ)上，將“等邊三角形”變?yōu)椤爸苯侨切巍保瑒t橢圓的離心率是______.

變式題2：在變式題1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)P改為橢圓上的任意一點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是______.

變式題3：若點(diǎn)M為橢圓+=1（a>b>0）上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A是右頂點(diǎn)，OM⊥MA，則橢圓的離心率的范圍是______.

變式題4：已知橢圓+=1（a>b>0）與直線y=-x+1相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB. 若橢圓的離心率e∈

，，則a的最大值是______.

通過上述變式使學(xué)生充分地認(rèn)識到，離心率就是關(guān)于基本量（a，b，c）的一個比值. 求解離心率，需要構(gòu)建一個與基本量相關(guān)的等式;而確定離心率的范圍，則需要建立一個與基本量相關(guān)的不等式. 對于原題和變式題1，都是從“形”的角度出發(fā)，如原題由△PFF是等邊三角形，推導(dǎo)出a=2c，繼而求出橢圓的離心率為;對于變式題1，根據(jù)橢圓的對稱性可得b=c，再由勾股定理推導(dǎo)出a=c，求得橢圓的離心率為. 以簡單的、易于理解的題目為切入點(diǎn)，通過有效對比可以凸顯離心率的本質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心. 在此基礎(chǔ)上，變式題2通過改變等式條件，將問題一般化，難度看似增大了. 然而，一旦學(xué)生掌握了問題的本質(zhì)，并能列出包含基本量的不等式，便能輕松應(yīng)對. 對于變式題3和變式題4，雖然在“形”上做出了很大的調(diào)整，但是其本質(zhì)不變. 解題時(shí)學(xué)生只要能抓住問題的本質(zhì)，就能以不變應(yīng)萬變，撥開云霧見月明.

數(shù)學(xué)題目雖然表面上千變?nèi)f化，但許多題目實(shí)際上考查的知識點(diǎn)或應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法是相同的. 因此，在教學(xué)中，尤其在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)合理地引入變式題，幫助學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

總之，數(shù)學(xué)思維的教學(xué)構(gòu)成了數(shù)學(xué)課堂的核心. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)巧妙地設(shè)計(jì)問題，促進(jìn)學(xué)生深刻理解所學(xué)知識，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考和解決問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，全面發(fā)展數(shù)學(xué)能力.