[摘 要] 教材是教師貫徹落實國家課程理念、開展課堂教學活動的關鍵依據(jù).文章基于單元教學視角，從教材分析和新知構(gòu)建兩個維度，對蘇教版與人教B版教材中“直線與方程”單元的“點到直線的距離”一節(jié)內(nèi)容進行對比研究. 目的在于更好地將單元教學與課時教學相銜接，從而推動數(shù)學學科核心素養(yǎng)在課時教學中落地生根.

[關鍵詞] 單元教學;對比研究;蘇教版教材;人教B版教材

研究背景

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：普通高中的培養(yǎng)目標是進一步提升學生綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng). 新的目標呼喚新的理念，單元教學隨即成為教學研究熱點. 這是因為單元教學有利于從整體上規(guī)劃學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，有利于借助大背景、大問題、大思路和大框架進行高觀點統(tǒng)領、思想性引導和結(jié)構(gòu)化關聯(lián)，能有效規(guī)避傳統(tǒng)課時教學的碎片化. 然而，單元教學的理念和目標必須通過具體的課時教學來落實. 教師在進行課時教學時，其主要依據(jù)是教材中明確的課時內(nèi)容. 因此，有必要基于單元教學視角對教材課時內(nèi)容進行對比研究，以便更好地將單元教學與課時教學相銜接，從而推動數(shù)學學科核心素養(yǎng)在課時教學中落地生根.

教材又稱課本，是按照課程標準編制的、系統(tǒng)反映學科內(nèi)容的教學用書，是教師貫徹落實國家課程理念、開展課堂教學活動的關鍵依據(jù). 目前，按照新課標編纂的新教材已開始在全國各地逐步推廣使用，對課程改革的推進起到了關鍵作用. 一線教師如何從整體上閱讀新教材、分析新教材、理解新教材，并在單元教學框架下把握好課時教學的內(nèi)容和目標，是當前“三新”背景下使用新教材的主要問題. 本文基于單元教學視角，從教材分析和新知構(gòu)建兩個維度，對蘇教版與人教B版教材中“直線與方程”單元的“點到直線的距離”一節(jié)內(nèi)容進行對比研究，探究教材使用過程中所面臨問題的解決策略.

研究內(nèi)容

1. 教材分析

為了順利實施單元教學，教師必須明確單元教學核心概念，厘清單元教學主線，把握單元教學與課時教學的邏輯關系，將單元教學目標分解到課時教學目標中，將課時教學置于單元教學的邏輯框架中，推動核心素養(yǎng)在課時教學中落地生根. 為此，本文從單元間的聯(lián)系、單元的整體結(jié)構(gòu)、單元與課時的邏輯關系三個方面分析教材的課時內(nèi)容.

（1）單元間的聯(lián)系

兩版教材在單元編排的順序上有所不同，蘇教版教材將“直線與方程”單元安排在選擇性必修第一冊第1章，距離必修第二冊的“平面向量”單元較遠，后續(xù)單元是“圓與方程”“圓錐曲線與方程”. 人教B版教材將“直線與方程”單元安排在選擇性必修第一冊第2章，編排在選擇性必修第一冊“空間向量與立體幾何”單元之后，后續(xù)單元是“圓及其方程”“曲線與方程”. 由于兩版教材在單元的編排順序上有所不同，因此學生建構(gòu)知識體系的路徑就有差異，探究新知的思想方法各有特色.

（2）單元的整體結(jié)構(gòu)

“直線與方程”是高中平面解析幾何的開篇之章，學生在本單元中將學會建立坐標系，用坐標、方程等知識來刻畫點、直線，研究點、直線的性質(zhì)和位置關系，將幾何問題代數(shù)化，再通過處理代數(shù)問題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，最終解決幾何問題. 在本單元的學習過程中，學生將感受“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的理念，初步體會數(shù)形結(jié)合是研究解析幾何的一般思路和基本思想，形成研究解析幾何的一般觀念，為后續(xù)學習圓與方程、圓錐曲線等章節(jié)做鋪墊.

兩版教材的單元整體結(jié)構(gòu)基本相同，都是圍繞“如何建立直線的方程”“如何利用直線的方程研究直線的性質(zhì)”這兩個基本問題建構(gòu)單元教學內(nèi)容的. 在具體課時內(nèi)容的劃分上有所區(qū)別，各有特色. 蘇教版教材通過“直線的斜率與傾斜角”“直線的方程”“兩條直線的平行與垂直”“兩條直線的交點”以及“平面上的距離”這五節(jié)內(nèi)容的編排，構(gòu)建了整個單元的結(jié)構(gòu). 該結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了在幾何問題代數(shù)化的過程中，引入坐標法的策略. 通過直線的方程來探究直線的性質(zhì)，學生將逐步體驗、感悟并掌握運用坐標法研究幾何問題的獨特之處. 人教B版教材依據(jù)“坐標法”和“直線及其方程”兩大主題來劃分章節(jié)內(nèi)容，再將“直線及其方程”細分為“直線的傾斜角與斜率”“直線的方程”“兩條直線的位置關系”以及“點到直線的距離”四個小節(jié). 通過建立平面直角坐標系，人教B版教材首先引導學生解決幾個平面幾何問題，以此來介紹坐標法的獨特之處. 隨后，運用坐標法來探究直線的方程及其性質(zhì).

（3）單元與課時的邏輯關系

單元教學與課時教學是整體與部分的關系，單元教學的目標需通過課時教學來達成，課時教學應具備單元整體視角，并融入單元教學的整體框架之中，從而構(gòu)建一個前后連貫、相互呼應的有機整體. “點到直線的距離”在“直線與方程”單元中起著承上啟下的作用，它不僅體現(xiàn)了前面章節(jié)關于直線方程知識和方法的實際應用，同時也為后續(xù)學習“圓與方程”“圓錐曲線與方程”等單元奠定了研究解析幾何所必需的基礎知識、核心技能和價值取向. 推導點到直線的距離公式，首先需借助兩條直線的垂直關系來確定直線的方程. 接著，通過聯(lián)立方程組來求解這兩條直線的交點. 最后，通過一系列的化簡、變形、轉(zhuǎn)化與化歸等步驟，得到點到直線的距離公式. 在解析幾何的后續(xù)單元學習中，化簡、變形、轉(zhuǎn)化與化歸等步驟的應用非常廣泛. 因此，教師在授課時應深刻理解這些步驟的重要性，并精心規(guī)劃教學活動，以確保教學目標得以有效實現(xiàn).

2. 新知構(gòu)建

（1）構(gòu)建新知的思維模式

兩版教材均遵循從特殊到一般的邏輯順序來探究點到直線的距離公式. 具體而言，它們首先針對特定問題進行研究，以發(fā)現(xiàn)解決問題的策略，隨后將這些策略擴展應用到更普遍的問題解決過程中. 這種從具體案例出發(fā)，進而歸納出一般性解決方案，是數(shù)學領域中探究問題時常用的一種思維模式.

蘇教版教材先給出一個具體的數(shù)學問題：已知點P（2，4）和直線l：5x+4y-7=0，探求點P到直線l的距離.如圖1所示，過點P作PE⊥l，垂足為E，則點P到直線l的距離就是線段PE的長. 通過對這一問題的優(yōu)化，得到解決此類問題的一般方法后，再研究一般性問題：如圖2所示，已知直線l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）和直線l外一點P（x，y），求點P到直線l的距離.

人教B版教材也是先給出一個具體的數(shù)學問題：已知點P（-1，2）和直線l：2x+y-5=0，探求點P到直線l的距離.同樣通過對這一問題的優(yōu)化，得到解決此類問題的一般方法后，再探究一般性問題的解法.

（2）構(gòu)建新知的數(shù)學思想方法

兩版教材在探究點到直線的距離公式的過程中使用的數(shù)學知識和思想方法各有側(cè)重、各具特色.

蘇教版教材側(cè)重于平面幾何知識，在轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想的指引下，作兩條與坐標軸平行的輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角形等面積法和勾股定理推導點到直線的距離公式. 具體過程如下：如圖2所示，過點P（x0，y0）作PQ⊥l，垂足為Q. 過點P作y軸、x軸的垂線，分別交l于點M（x，y），N（x，y）. 由Ax+By+C=0，Ax+By+C=0得x=，y=，則PM=

，PN=

. 利用三角形等面積法和勾股定理可得PQ==，即==. 將PM，PN代入上式得=，即PQ=.

人教B版教材側(cè)重于利用向量知識推導點到直線的距離公式. 具體過程如下：已知P（x，y），求P到直線l：Ax+By+C=0的距離d. 設P（x，y）是直線l上的點，且PP⊥l，由向量知識可得方程B（x-x）-A（y-y）=0①. 如果聯(lián)立Ax+By+C=0求出x，y，再代入d=求出d，將是運算非常煩瑣的過程. 注意到，要求出d=，只需求出x-x與y-y的平方和即可. 基于對求解目標的分析，在方程Ax+By+C=0的左右兩邊同時減去Ax，By，并整理得A（x-x）+B（y-y）=-（Ax+By+C）②. 將①與②的兩邊同時平方后相加可得（A2+B2）[（x-x）2+（y-y）2]=（Ax+By+C）2，因此點到直線的距離公式d=.

研究結(jié)論及啟示

1. 研究結(jié)論

（1）構(gòu)建知識體系的異同

在構(gòu)建知識體系的過程中，兩版教材均尊重學生的認知規(guī)律，從學生已有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，采用從特殊到一般的探究思路來研究點到直線的距離公式. 在推導點到直線的距離公式時，這兩版教材所借助的知識和方法各具特色.

蘇教版教材以點斜式直線方程為起點，通過聯(lián)立直線方程求解交點，進而運用兩點間的距離公式來計算點到直線的距離. 在此基礎上，教材改進了算法：先構(gòu)建直角三角形，將求解斜線段的長度轉(zhuǎn)化為計算水平線段和垂直線段的長度，然后利用等面積法和勾股定理，推導出點到直線的距離公式.

人教B版教材巧妙地運用向量知識來構(gòu)建直線方程組，并通過解方程組確定交點. 接著，利用兩點間的距離公式，計算出點到直線的距離. 在此基礎上，教材優(yōu)化了方程組的求解過程，即針對求解目標的代數(shù)形式，對方程進行適當?shù)淖冃危瑥亩鴱恼w結(jié)構(gòu)上有效地推導出點到直線的距離公式.

（2）培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的異同

蘇教版教材通過構(gòu)造直角三角形，將求解斜線段的長度轉(zhuǎn)化為計算水平線段和垂直線段的長度，為圓錐曲線中一般弦長公式和焦點弦長公式的推導奠定了思想方法基礎. 通過觀察PM，PN的代數(shù)式結(jié)構(gòu)，采取取倒數(shù)的方法將PQ=的計算轉(zhuǎn)化為=的計算. 經(jīng)過這樣的變形處理，不僅簡化了分式的直接通分運算過程，還減少了計算步驟，提高了運算效率. 這有助于加強學生的計算能力，豐富他們的解題經(jīng)驗，并強化他們的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

人教B版教材運用向量知識構(gòu)造出關于點P坐標的方程B（x-x）-A（y-y）=0，接著根據(jù)求解目標對方程Ax+By+C=0進行變形，然后對這兩個方程進行平方相加運算，最終推導出點到直線的距離公式.

兩版教材在構(gòu)建知識的過程中，都能夠依據(jù)解析幾何大單元的核心教學目標，注重解析幾何中數(shù)學思想方法的滲透，提升學生的關鍵能力，培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

2. 教學啟示

學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的提升并非一蹴而就，它有階段性、連續(xù)性和整合性等特征. 教師應理解不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的具體要求，不僅要關注主題、單元的教學目標，還要關注每一節(jié)課的教學目標，明確這些目標對于促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的重要性.基于此，在進行課時教學時，教師應基于單元教學目標，以單元核心概念和單元核心思想方法為主線，對教材進行加工、整合，提升課時教學效率，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

（1）以單元核心概念為主線整合教材，促進學生知識體系的結(jié)構(gòu)化

單元核心概念這條主線是單元各知識生成和發(fā)展的邏輯線，是單元知識體系構(gòu)建和發(fā)展的主動脈，是“四基”的主要載體，是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的孕育地、生成源和發(fā)展點. 目前，教材普遍以顯性知識為基礎，構(gòu)建了分層次的課程體系，這些課程具有固有的課時特性. 然而，不同課時內(nèi)容之間的邏輯聯(lián)系往往不夠緊密. 因此，教師應當以單元核心概念的生成為主線，貫穿并組織教材內(nèi)容，實施課時教學，以促進學生對知識和方法的結(jié)構(gòu)化理解.

“直線與方程”單元的核心概念是直線方程，整章內(nèi)容以“直線”為載體展開，在平面直角坐標系中，探索確定直線的幾何要素，建立直線的方程，運用方程研究它們的幾何性質(zhì)及其位置關系. 點到直線的距離既是由單元核心概念生成的新知，也是單元核心概念的具體運用. 另外，它為后續(xù)圓錐曲線的弦長公式的推導提供了一種更加上位的知識方法——“化斜為直”. 基于此，本課時的教學目標為：推導點到直線的距離公式，并揭示推導過程中蘊含的知識與方法，幫助學生構(gòu)建知識體系，促進學生知識體系的結(jié)構(gòu)化.

例如，圓錐曲線的一般弦長公式為AB=

x

-x=·

y

-y（直線AB的斜率存在且不為零）. 弦長公式的推導就是借助兩點間的距離公式，利用坐標代換、化斜為直等數(shù)學方法轉(zhuǎn)化實現(xiàn)的. 其推導過程為：設直線AB的方程為y=kx+m，A（x，y），B（x，y），則AB=. 因為y-y=k（x-x），所以AB=·

x

-x. 這是將斜線段長的計算轉(zhuǎn)化為水平線段長的計算. 同理可得AB=

y

-y. 再例如，求過圓錐曲線焦點的弦長，可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，先將弦長分解為焦半徑之和，然后將其轉(zhuǎn)化為點到準線的距離. 例如，焦點在x軸上的橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F，F(xiàn)，AB是過左焦點F的弦，則AB=2a+e（x+x）（e為橢圓C的離心率）. 通過這一螺旋式上升的探究過程，學生對這類弦長問題的理解將不斷深化和進階，從而構(gòu)建起結(jié)構(gòu)化的知識體系.

（2）以單元核心思想方法為主線整合教材，促進學生數(shù)學思想方法的體系化

數(shù)學思想方法的學習是數(shù)學學習的核心，是發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵. 掌握和體悟數(shù)學思想方法，有助于學生以更高層次的視角理解數(shù)學，進而促進數(shù)學素養(yǎng)的提升.教材通常以直接且簡潔的方式呈現(xiàn)數(shù)學知識，而其中所蘊含的數(shù)學思想方法往往潛藏于知識的生成過程中. 這就要求教師深入挖掘教材內(nèi)容，通過加工和整合，將相關課時有機地銜接起來，串珠成線，一以貫之地滲透單元核心思想方法，引導學生更深入地認識數(shù)學的本質(zhì)，促進學生數(shù)學思想方法的體系化.

解析幾何是17世紀數(shù)學領域的一項重大成就，其核心在于運用代數(shù)手段探究幾何圖形的屬性. 通過引入平面直角坐標系，它確立了點與坐標、曲線與方程之間的對應關系，使得幾何問題能夠借助代數(shù)方法進行研究. 這一過程深刻地展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想. 因此，教師應當有意識地在“直線與方程”單元的相關課時教學中向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，促進學生數(shù)學思想體系的建立，提升學生解決問題的能力. 例如，2022年全國高考數(shù)學Ⅰ卷第16題綜合考查了橢圓的離心率的幾何意義、焦點弦長公式、橢圓的第一定義、平面幾何中的等腰三角形、中垂線等知識，以及對稱轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.

試題 已知橢圓C：+=1（a>b>0），C的上頂點為A，兩個焦點為F，F(xiàn)，離心率為. 過F且垂直于AF的直線與C交于D，E兩點，DE=6，則△ADE的周長是______.

思路分析 由橢圓的離心率為可得=，根據(jù)直角三角形AFO中的基本量的關系易得焦點三角形AFF為等邊三角形. 由“過F且垂直于AF的直線與C交于D，E兩點”可知弦DE垂直平分線段AF，進而將求△ADE的周長轉(zhuǎn)化為求△DFE的周長. 又△DFE的周長為4a，所以只需根據(jù)DE=6計算出基本量a即可.

學生解決此問題的數(shù)學思想就是數(shù)形結(jié)合，將橢圓中的“e”的幾何意義揭示出來，以數(shù)定形，得到△AFF的幾何特征，再結(jié)合△DFE的特征和橢圓的定義，將求△ADE的周長轉(zhuǎn)化為求基本量a. 這一思維過程充分體現(xiàn)了解析幾何中“數(shù)”的嚴謹性和“形”的直觀性，考查學生的直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模和邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

結(jié)束語

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，“四基”是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效載體. 在教學中，教師應當依據(jù)教材內(nèi)容，深入思考單元的核心概念和思想方法，以及它們與課時教學內(nèi)容之間的邏輯關系. 通過精心設計，確保單元教學與課時教學之間的銜接緊密無間，從而有效推動數(shù)學學科核心素養(yǎng)在課時教學中落地生根.