[摘 要] 高三一輪復(fù)習(xí)是夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，提升解題能力的關(guān)鍵時(shí)期. 如何發(fā)揮“一題一課”在復(fù)習(xí)課中的鞏固、整理與溝通作用呢？研究者以“數(shù)列”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，從“例題導(dǎo)入，夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)”“捕捉資源，促進(jìn)動(dòng)態(tài)生成”“互動(dòng)探索，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通”“驗(yàn)證猜想，發(fā)展核心素養(yǎng)”四個(gè)方面展開(kāi)分析.

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí);數(shù)列;思維

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)并非是舊知的簡(jiǎn)單再現(xiàn)過(guò)程，而是將有規(guī)律的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理與歸納的過(guò)程，旨在幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，提升學(xué)力. 實(shí)踐證明，高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)承載著鞏固知識(shí)、整理知識(shí)、溝通知識(shí)等作用. 然而，部分一輪復(fù)習(xí)課還存在“教師賣(mài)力講，學(xué)生卻啟而不發(fā)”的現(xiàn)象. 究竟該如何改變這一現(xiàn)象呢？筆者以“數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例，運(yùn)用“一題一課”教學(xué)策略進(jìn)行了深入探索與分析.

教學(xué)過(guò)程

1. 例題導(dǎo)入，夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)

師：大家還記得等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法嗎？

生1：我記得推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)采用的是倒序相加法，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)運(yùn)用的是錯(cuò)位相減法.

師：不錯(cuò)，現(xiàn)在我們一起來(lái)分析下列問(wèn)題.

（原題）假設(shè){a}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和是S，若數(shù)列滿(mǎn)足b=，且a，a的值分別為1和2+1.

（1）證明：是等差數(shù)列;

（2）證明：數(shù)列{a}中的任意連續(xù)三項(xiàng)都不可能為等比數(shù)列.

生2：（證明第（1）問(wèn)）若d為等差數(shù)列{a}的公差，根據(jù)題意可知d=，所以S=+n. 所以b=（n-1）+1. 因?yàn)閎-b=，所以是等差數(shù)列.

生3：（證明第（2）問(wèn)）借助反證法求證. 設(shè)數(shù)列{a}中有連續(xù)三項(xiàng)可形成等比數(shù)列，這三項(xiàng)分別為a，a，a（m<n<k），則a=amak，即[（n-1）+1]2=[（m-1）+1][（k-1）+1]. 經(jīng)化簡(jiǎn)，得（m-2n+k）+2（m-1）（k-1）-2（n-1）2=0. 因?yàn)闉闊o(wú)理數(shù)，所以m-2n+k=0，

2（m-1）（k-1）-2（n-1）2=0.據(jù)此易得m=n=k，顯然與m<n<k矛盾，因此假設(shè)不成立.

師：兩位同學(xué)的解答過(guò)程很完美，其思維的縝密與邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，值得我們深入學(xué)習(xí).

設(shè)計(jì)意圖 此題是一道經(jīng)典例題，蘊(yùn)含豐富的知識(shí)內(nèi)容. 設(shè)置此題，意在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，梳理推理論證法和反證法，并考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

2. 捕捉資源，促進(jìn)動(dòng)態(tài)生成

生4：前面證明了{(lán)b}是等差數(shù)列，那么這是否適用于一般情況呢？

師：這是一個(gè)非常好的問(wèn)題，現(xiàn)在請(qǐng)大家寫(xiě)出生4提出的疑問(wèn)，并嘗試自主證明.

生5：如果等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)為a，公差為d，前n項(xiàng)和為S，那么數(shù)列

必然是等差數(shù)列. 因?yàn)閧a}為等差數(shù)列，所以S=na+d. 所以=a+d. 因?yàn)?=a+d-a-d=（常數(shù)），所以

是等差數(shù)列.

生6：因?yàn)镾=，所以=. 所以-=-==（常數(shù)）. 所以

是等差數(shù)列.

師：不錯(cuò)，這兩位同學(xué)的證明過(guò)程規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn). 生6所提出的證明方法含有S（等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式）的另一種形式. 你們覺(jué)得逆命題是否成立呢？

學(xué)生自主分析，借助等差數(shù)列的概念證得逆命題也是成立的. 學(xué)生在證明過(guò)程中，還歸納出了一個(gè)新的命題：如果數(shù)列{a}的首項(xiàng)為a，前n項(xiàng)和為S，數(shù)列滿(mǎn)足b=，那么是等差數(shù)列的充要條件為{a}是等差數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖 在課堂中，學(xué)生提出的問(wèn)題可能超出預(yù)設(shè)的范圍，但這恰恰是復(fù)習(xí)教學(xué)中不可或缺的寶貴資源，是課堂動(dòng)態(tài)生成的基石. 當(dāng)學(xué)生提出問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)敏銳地捕捉到學(xué)生的思維脈絡(luò)，并順著學(xué)生的思路，引領(lǐng)學(xué)生跨越疑惑.

3. 互動(dòng)探索，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通

師：若在原題條件不變的前提下，假設(shè)數(shù)列{p}滿(mǎn)足p=，則{p}是等差數(shù)列嗎？如果是等差數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出所有c值;若不是，闡明理由.

生7：觀(guān)察可見(jiàn)，若c值為0，則{p}為等差數(shù)列;若c值不為0，則{p}不是等差數(shù)列.

生8：這種說(shuō)法不完整，我們應(yīng)從一般情況出發(fā)，進(jìn)行更為詳盡的探討.

師：誰(shuí)來(lái)具體說(shuō)一說(shuō)？

生9：假設(shè)p=An+B，則S=p（n+c），將此式代入S=+n，得（An+B）（n+c）=n+. 經(jīng)化簡(jiǎn)，得

A-

n2+

Ac+B-1+

n+Bc=0①. 因?yàn)閷?duì)于正整數(shù)n，①式恒成立，所以

A-=0，

Ac+B-1+=0，

Bc=0，解得c=0或-1. 所以，當(dāng)c=0或-1時(shí)，{p}為等差數(shù)列.

生10：之前老師說(shuō)過(guò)不要直接用恒等式原理.

師：確實(shí)，恒等式原理通常適用于連續(xù)的實(shí)數(shù)中，但這里的n為離散型的正整數(shù)，故不可直接應(yīng)用該原理. 那么，究竟該怎么處理本題呢？

生11：通過(guò)分析可知①式對(duì)一切正整數(shù)n均成立，因此分別取n的值為1，2，3，解得c=-1，A=，B=0;或c=0，A=，B=1-. 接著分別驗(yàn)證由此得到的{p}為等差數(shù)列，且滿(mǎn)足p=.

師：這種解法不僅規(guī)范，還嚴(yán)謹(jǐn)，就是有點(diǎn)煩瑣. 有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？

生12：由已知可得S=n

（n-1）+1

=n（-1+n），若想讓{p}為等差數(shù)列，就要讓二次式S內(nèi)含有“n+c”這個(gè)因式，所以n+c=n或n+c=-1+n，解得c=0或c=-1. 接下來(lái)的做法跟生11一樣.

師：生12的解法不僅關(guān)注到了一般情況，還很簡(jiǎn)便. 從這種解法來(lái)看，可將問(wèn)題推廣到更為廣泛的一般情況嗎？

生13：已知等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)為a，公差為d（d≠0），前n項(xiàng)和為S，若等差數(shù)列{p}滿(mǎn)足p=，求c.

由題設(shè)條件可知S=

n+-1

.因?yàn)閧p}為等差數(shù)列，所以S（二次式）含有因式“n+c”. 所以n+c=n或n+c=n+-1，解得c=0或c=-1.

師：不錯(cuò)！“關(guān)于n的二次式被關(guān)于n的一次式整除”是本題的求解核心.

師：若在原題條件不變的前提下，假設(shè){q}為等差數(shù)列，且q=，則常數(shù)p值是多少？

學(xué)生分別用待定系數(shù)法和直接觀(guān)察法獲得常數(shù)p=0的結(jié)論. 教師對(duì)學(xué)生的解題思路給予了充分肯定，并要求學(xué)生結(jié)合前面的探索經(jīng)驗(yàn)，嘗試自主推廣問(wèn)題. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生不僅推廣出了公式的一般形式，還深刻感知到了公式系列演變的脈絡(luò)，從而對(duì)本章節(jié)的內(nèi)容有了更加深入的理解.

設(shè)計(jì)意圖 師生、生生積極的互動(dòng)與交流，不僅順利地解決了問(wèn)題，還在原問(wèn)題的基礎(chǔ)上衍生出了新問(wèn)題. 隨著探索的不斷深入，學(xué)生的解題思路得到持續(xù)優(yōu)化. 如此探索，旨在幫助學(xué)生構(gòu)建更為穩(wěn)固和高效的解題思想，深化學(xué)生對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的理解，從真正意義上促進(jìn)學(xué)生邏輯思維與推理論證能力的發(fā)展.

4. 驗(yàn)證猜想，發(fā)展核心素養(yǎng)

生14：原題第（2）問(wèn)提到等差數(shù)列{a}中的任意連續(xù)三項(xiàng)都不可能為等比數(shù)列，但如果等差數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式是a=n，那么{a}中就存在等比數(shù)列，如1，2，4…. 因此，我在思考：在什么情況下，等差數(shù)列中存在三項(xiàng)可順次構(gòu)成等比數(shù)列？

師：這個(gè)想法不錯(cuò)，原題中的等差數(shù)列與生14提到的等差數(shù)列主要有什么區(qū)別？

生15：原題中的等差數(shù)列的公差為（無(wú)理數(shù)），生14提到的等差數(shù)列的公差為1（有理數(shù)）. 因此，若等差數(shù)列的公差是有理數(shù)，則它存在三項(xiàng)可順次構(gòu)成等比數(shù)列.

師：這種說(shuō)法是否準(zhǔn)確呢？

生16：若等差數(shù)列{a}中存在三項(xiàng)可順次構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)這三項(xiàng)分別為a，a，a，且k>n>m，則a=amak，即[a+（n-1）d]2=[a+（m-1）d][a+（k-1）d]. 經(jīng)化簡(jiǎn)并整理得2（m-2n+k）=（n2-mk+m+k-2n）d. 因?yàn)閙，n，k∈N*，所以d=是有理數(shù). 因此，該猜想正確.

生17：生16的證明過(guò)程不完整. 想要確定三項(xiàng)是否為等比數(shù)列，還要討論n2+m+k-mk-2n是否為0. 因此，結(jié)論應(yīng)為是有理數(shù). （過(guò)程略）

教師充分肯定了學(xué)生的質(zhì)疑與驗(yàn)證過(guò)程，并鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)道路上能夠保持勇于質(zhì)疑、勇于探索的良好習(xí)慣. 這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力與綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵.

師：以上命題的逆命題是否成立呢？請(qǐng)寫(xiě)出逆命題并進(jìn)行判斷.

生18：逆命題為：已知等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)為a，公差為d（d≠0），是有理數(shù)，則等差數(shù)列{a}中必定存在三項(xiàng)可順次構(gòu)成等比數(shù)列. 關(guān)于證明過(guò)程，我還要想一想.

師：逆命題寫(xiě)得不錯(cuò). 大家想一想：“是有理數(shù)”還可以如何表達(dá)？a能不能用d或有理數(shù)來(lái)表示呢？

生19：如果是有理數(shù)，設(shè)=，p，q∈N*，則a=d，a=d+（n-1）d=（qn+p-q），此時(shí)僅需求證{qn+p-q}中有三項(xiàng)可構(gòu)成等比數(shù)列即可，但這樣的三項(xiàng)很難發(fā)現(xiàn)，因此這個(gè)問(wèn)題比較棘手.

師：既然從正面確定三項(xiàng)為等比數(shù)列的方式比較難，那么能否換個(gè)思路，先確定滿(mǎn)足條件的三項(xiàng)，然后驗(yàn)證其是否為{qn+p-q}中的三項(xiàng)？

學(xué)生通過(guò)交流和探討，很快就確定“是有理數(shù)”是“等差數(shù)列中存在三項(xiàng)可順次構(gòu)成等比數(shù)列”的充要條件.

設(shè)計(jì)意圖 此為復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理的過(guò)程，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考與探索，不僅疏通了各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，還在深度學(xué)習(xí)中拓寬了視野，進(jìn)一步了解了知識(shí)的寬度與深度，形成了良好的數(shù)學(xué)推理能力與歸納思想，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu).

思考與感悟

1. 教材為本，知識(shí)再現(xiàn)

高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)需立足教材和新課標(biāo)，充分發(fā)揮教材和新課標(biāo)的導(dǎo)向作用，尤其是概念、公式、定理等內(nèi)容，一定要回歸教材，逐字逐句地咀嚼消化，引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷概念、公式、定理等內(nèi)容的形成過(guò)程，夯牢知識(shí)基礎(chǔ)，此為高三一輪復(fù)習(xí)的重中之重. 另外，還要關(guān)注概念、公式、定理等內(nèi)容的內(nèi)涵與外延，以及所涉及的數(shù)學(xué)思想方法. 只有從真正意義上理解了知識(shí)的來(lái)龍去脈，才能在應(yīng)用時(shí)融會(huì)貫通，此為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思維能力的重要舉措.

2. 揭露本質(zhì)，淡化形式

隨著教育改革的深入，“題海戰(zhàn)術(shù)”已經(jīng)跟不上高考試題的命制節(jié)奏. 新課改背景下的數(shù)學(xué)高考試題實(shí)用性強(qiáng)、靈活度高，對(duì)學(xué)生的能力和素養(yǎng)提出了更大的挑戰(zhàn). 想要提高復(fù)習(xí)效率，首先要在規(guī)范解題的基礎(chǔ)上掌握知識(shí)本質(zhì)，在“萬(wàn)變不離其宗”的思想下，以不變應(yīng)萬(wàn)變. 為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，必須摒棄“滿(mǎn)堂灌”的教學(xué)方法，并避免片面追求“難、怪、偏”等題型的授課方式.

從教材中擇取經(jīng)典例題進(jìn)行改編，既遵循了“以教材為本”的原則，又能靈活學(xué)生的思維，訓(xùn)練學(xué)生的論證推理能力. 引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考解題策略，不僅能發(fā)散學(xué)生的思維，還能降低學(xué)生的解題錯(cuò)誤率，以及提升學(xué)生的認(rèn)知能力. 事實(shí)證明，一題多變或一題多解的應(yīng)用，可揭露知識(shí)的本質(zhì)，促使學(xué)生自主歸納解題的通性通法，從而領(lǐng)悟知識(shí)的內(nèi)涵，獲得用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題的能力.

3. 關(guān)注思維，發(fā)展素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是思維的體操，復(fù)習(xí)教學(xué)同樣需要關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展情況，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要渠道. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生擇取最優(yōu)的解題策略與運(yùn)算方法來(lái)分析與解決問(wèn)題，這不僅能鍛煉學(xué)生的思維能力，還能幫助學(xué)生夯實(shí)知識(shí)與技能，提煉數(shù)學(xué)思想方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得“四能”與“三會(huì)”.

總之，高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生充足的思考與反思空間，通過(guò)精心挑選并改編教材中的例題，激發(fā)學(xué)生的思維活力，引導(dǎo)他們深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，挖掘自身潛能，從而從真正意義上培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).