[摘 要] 數(shù)學(xué)模型是解決生活實際問題的重要工具，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力既是順應(yīng)高考形勢的需要，又是順應(yīng)時代發(fā)展的需求. 研究者從生活、教材、試題等方面入手，基于學(xué)生已有認知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，感知數(shù)學(xué)建模思想，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;建模實踐;建模能力;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)兼顧知識掌握與實際問題解決，以此踐行“學(xué)以致用”教學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)將模型思想滲透于日常教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)模型思想的現(xiàn)實價值，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合學(xué)力. 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生的生活經(jīng)歷為原型，引導(dǎo)學(xué)生體驗由生活到模型，再由模型到生活的探究過程，讓學(xué)生充分感悟用數(shù)學(xué)模型解決生活問題的價值與意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)建模實踐案例談?wù)勛陨韺?shù)學(xué)建模的理解，若有不足，請指正！

以生活為背景，提升學(xué)生建模意識

眾所周知，生活中處處是數(shù)學(xué)，關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)模型是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要一步. 在解決生活中的一些比較復(fù)雜的問題時，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生運用模型思想探索問題，用數(shù)學(xué)知識去解釋生活實際問題，即會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，以此加強學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識.

例如，購房貸款是熱點話題，也是難點問題，部分學(xué)生因問題煩瑣而退縮. 基于此，教師引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，通過合理還款方案的制定來增強學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識. 教學(xué)片段如下：

師：隨著房價的上漲和銀行貸款利率的下調(diào)，更多的人選擇從銀行按揭貸款購房. 這不，小剛就準備按揭貸款買房，銀行給他提供了兩種還款方式：等額本息還款和等額本金還款. 小剛不知道該如何選擇，你能幫幫他嗎？

生齊聲答：能！

師：假設(shè)X為貸款本金，Y為每期還款本金，A為還款總額，B為貸款利息總額，α為月利率，β為年利率，n為還款期數(shù). 結(jié)合以上內(nèi)容，你能得到哪些等量關(guān)系呢？

教師預(yù)留時間讓學(xué)生思考并分享發(fā)現(xiàn).

生1：A-X=B，X=nY.

生2：β=12α.

師：很好. 根據(jù)以上信息，你能建立兩a00e29112b427cf0fbb3f01f321758bd18d5dfaa1be9024975d54c415c3b419a種還款方式的數(shù)學(xué)模型嗎？

教師鼓勵學(xué)生以小組為單位進行探究，發(fā)揮集體智慧.

師：對于等額本息還款，你是如何理解的呢？

生3：假設(shè)購房者在第i期還款前所欠的金額為a，在第i期還款后所欠的金額為b，月還款額為z，則a=X（1+α），b=a-z=X（1+α）-z;a=b（1+α）=X（1+α）2-z（1+α），b=a-z=X（1+α）2-z（1+α）-z;以此類推，a=b（1+α）=X（1+α）i-z（1+α）i-1-…-z（1+α），b=a-z=X（1+α）i-z（1+α）i-1-…-z（1+α）-z，依據(jù)模型可以推導(dǎo)出每月還款額、還款總額和貸款總利息.

師：對于等額本金還款，你又是如何理解的呢？

生4：假設(shè)購房者第i期應(yīng)還金額為z，則z=Y+（X-Y）α，z=Y+（X-2Y）α，以此類推，z=Y+（X-iY）α. 由此可以計算出還款總額和貸款總利息.

生3和生4給出結(jié)果后，教師預(yù)留時間讓學(xué)生互動交流，以此檢驗?zāi)Ｐ偷目茖W(xué)性、合理性，進一步深化學(xué)生對模型的理解.

師：假如小剛準備貸款40萬元，年利息為6%，還款期限為10年，他采用哪種方式還款更劃算呢？

教師預(yù)留時間讓學(xué)生利用已建立的數(shù)學(xué)模型解決實際問題，學(xué)生通過計算得到如下結(jié)果：若采用等額本息還款，則每月還款額為4440.82元，還款總額為532898.41元，貸款總利息為132898.41元;若采用等額本金還款，則每月還本金3333.33元，每月還款額分別為z=5316.66（元），z=5300（元），…，z=4450（元），z=4433.33（元），…，z=3333.33（元），還款總額為519000元，貸款總利息為119000元. 從省錢的角度考慮，采用等額本金還款更劃算. 不過等額本金前期還款金額多，故需要根據(jù)實際情況合理選擇.

上述建模過程，既揭示了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，又展現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的簡約美;既引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模魅力，又激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，從而提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).

以教材為依托，發(fā)展學(xué)生建模素養(yǎng)

教材在課堂教學(xué)中的價值不言而喻，是教學(xué)的重要媒介，可幫助學(xué)生開啟數(shù)學(xué)思維之門. 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘教材中的教學(xué)資源，通過合理整合和改編以更好地服務(wù)于學(xué)生、服務(wù)于教學(xué). 在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力時，教師應(yīng)以教材為依托，充分發(fā)揮教材的育人功能，讓學(xué)生在探究中深刻地理解知識，提升解決實際問題的能力.

例如，人教A版（2019）教材中有一道以考古真實事件為背景的題目. 教師結(jié)合教學(xué)實際改編題目如下：當生物死亡后，它機體內(nèi)的碳14含量會按確定的比率衰減. 已知碳14的半衰期為5730年，馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約為初始量的76.7%. 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷出馬王堆漢墓是什么年代建成的嗎？

問題給出后，教師沒有急于讓學(xué)生解決問題，而是鼓勵學(xué)生查閱相關(guān)資料，了解碳14的半衰期，明晰利用碳14的衰減率來推斷生物死亡年數(shù)的科學(xué)性，以此激發(fā)學(xué)生的探究熱情. 查閱資料可知，碳14的衰減率為p=1-. 資料查閱后，教師引導(dǎo)學(xué)生建立模型：設(shè)馬王堆漢墓從建成到被發(fā)現(xiàn)歷經(jīng)x年，馬王堆漢墓女尸體內(nèi)碳14的初始量為k，衰減率為p（0<p<1），殘余量為y，則y=k（1-p）x（k∈R，且k≠0;0<p<1;x≥0）. 這樣代入相應(yīng)數(shù)值，即可求得馬王堆漢墓的建成時間. 當然，該題對于高一學(xué)生來說難度較大，運算較為復(fù)雜，因此要在學(xué)生掌握了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上提出. 在解題前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識，建立函數(shù)意識，以此確保數(shù)學(xué)模型的順利構(gòu)建.

上述問題以考古真實案例為背景，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值，進一步深化學(xué)生對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的理解，幫助學(xué)生建立函數(shù)意識，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)探究樂趣. 在此過程中，教師以生為主，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模流程與操作步驟，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展與提升.

以試題為導(dǎo)向，培養(yǎng)學(xué)生建模能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》與《中國高考評價體系》要求教師在教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，這使得考查學(xué)生應(yīng)用能力的試題越來越多. 在教學(xué)中，教師可從生活實際出發(fā)，利用試題形式來引導(dǎo)學(xué)生建模.

例如，在高三復(fù)習(xí)階段，教師給出了這樣一道題目：為了優(yōu)化城市交通，緩解交通壓力，某市對十字路口車流量進行監(jiān)控. 根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一十字路口東西方向綠燈行駛時間為49秒，南北方向綠燈行駛時間為39秒，紅綠燈轉(zhuǎn)變的一個周期為88秒. 在紅綠燈轉(zhuǎn)變的一個周期內(nèi)，從東西方向到達該路口的車輛平均為30輛，從南北方向到達該路口的車輛平均為24輛. 請根據(jù)以上信息建立數(shù)學(xué)模型，并依據(jù)數(shù)學(xué)模型判斷這樣的設(shè)置是否合理.

題目給出后，通過師生和生生互動交流確認，判斷該設(shè)置是否科學(xué)、合理，就是判斷一個周期內(nèi)車輛滯留時間是否最少. 基于此，不妨設(shè)紅綠燈轉(zhuǎn)變的一個周期為T秒，一個周期內(nèi)從東西方向到達路口的車輛平均為A輛，從南北方向到達路口的車輛平均為B輛;東西方向綠燈行駛時間為t秒，則南北方向綠燈行駛時間為（T-t）秒. 設(shè)一個周期內(nèi)，從東西方向到達路口的車輛的滯留時間為y秒，等待綠燈的平均時間為秒;從南北方向達到路口的車輛的滯留時間為y秒，等待綠燈的平均時間為秒. 忽視轉(zhuǎn)彎和黃燈的情況，只考慮直行和紅綠燈的情況. 于是建立模型如下：y=B··=t2，y=A··=（T-t）2. 總滯留時間Y=t2+（T-t）2，最終求得當t=時，Y最小. 這樣得到該模型后，只要將相應(yīng)數(shù)值代入其中即可進行判斷. 經(jīng)驗證，以上設(shè)置是科學(xué)的，符合實際情況.

以紅綠燈這一現(xiàn)實生活情境為研究背景，可以有效調(diào)動學(xué)生的參與積極性. 在具體教學(xué)中，教師可以播放一段交通視頻，并提供相關(guān)資源讓學(xué)生閱讀、交流，分析構(gòu)建該模型需要確定哪些變量，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從生活實際出發(fā)，合理使用建模教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建立與數(shù)學(xué)模型應(yīng)用全過程，以此強化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，使數(shù)學(xué)教學(xué)更生活化、趣味化和社會化.