[摘 要] 文章以2023年高考試題為例，深入剖析其對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的具體要求，從“明確運(yùn)算對(duì)象”“掌握運(yùn)算法則和公式定理”“探究運(yùn)算思路”以及“選擇運(yùn)算方法”四個(gè)方面，探討它們?nèi)绾喂餐饔糜谶\(yùn)算效率的提升，并揭示其潛在的制約因素;探討教師如何從上述四個(gè)方面深入理解高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，并在此基礎(chǔ)上，針對(duì)新高考背景，提出切實(shí)可行的發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的策略與建議.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;運(yùn)算對(duì)象;運(yùn)算法則;公式定理;運(yùn)算思路;運(yùn)算方法

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力作為高中生必須掌握和運(yùn)用的基本能力，不僅對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)問題的解決和成績的提高有積極作用，還對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的形成和其他學(xué)科的學(xué)習(xí)起著關(guān)鍵作用[1].

什么是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力？《中國中學(xué)教學(xué)百科全書·數(shù)學(xué)卷》對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的界定為：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是一種非單一的數(shù)學(xué)能力，是運(yùn)算技能與邏輯思維能力等的一種獨(dú)特的結(jié)合[2]. 學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力主要是通過數(shù)學(xué)解題活動(dòng)逐步發(fā)展的，因此，研究學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)解題活動(dòng)入手. 在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生常常提到“這道題我會(huì)做，但計(jì)算時(shí)出了差錯(cuò)”，這說明學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力普遍有待提高.

本文以2023年高考試題為例，站在學(xué)生的角度探究影響運(yùn)算效率的因素，整理得到運(yùn)算的四個(gè)方面在學(xué)生解決問題過程中發(fā)揮的重要作用.

運(yùn)算的前提——明確運(yùn)算對(duì)象

明確運(yùn)算對(duì)象就是要確定運(yùn)算對(duì)象是誰，理解運(yùn)算對(duì)象的含義、作用、本質(zhì)等. 明確運(yùn)算對(duì)象是正確運(yùn)算的前提. 我們知道數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容都涉及運(yùn)算，正是因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，才使得數(shù)學(xué)概念“插上了翅膀”，得以升華[3]. 換句話說，明確運(yùn)算對(duì)象是解決問題的第一步，只有理解運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)，才能夠順著題目條件繼續(xù)前進(jìn).

例1 （2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第20題）設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，且d>1. 令b=，記S，T分別為數(shù)列{a}，的前n項(xiàng)和.

（1）若3a=3a+a，S+T=21，求{a}的通項(xiàng)公式;

（2）若為等差數(shù)列，且S-T=99，求d.

運(yùn)算對(duì)象1 等差數(shù)列{a}和.

設(shè)本題的運(yùn)算對(duì)象為等差數(shù)列{a}和，根據(jù)其通項(xiàng)公式a=a+（n-1）d和b=b+（n-1）d的結(jié)構(gòu)可知，運(yùn)算對(duì)象又是a與d，b與d之間的關(guān)系. 對(duì)于等差數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，可運(yùn)用待定系數(shù)法求得.值得注意的是，由于本題涉及的未知量較多，采用待定系數(shù)法相較于其他解法復(fù)雜煩瑣，因此容易出錯(cuò).

詳細(xì)解答 根據(jù)S-T=99以及等差數(shù)列的性質(zhì)可知，99a-99b=99，即a-b=1.

令b=b+（n-1）d，a=a+（n-1）d，代入b=，整理可得ddn2+（bd+ad-2dd）n+（a-d）（b-d）=n2+n，則

dd=1，

b

d+a

d

-2dd=1，

（

a-d）（

b

-d）=0.

若a=d，則b=，d=，由a-b=a+49d-b-49d=50d-=1，得（d+1）（50d-51）=0. 因?yàn)閐>1，所以d=.

若b=d，則b=d=，a=2d，a-b=a+49d-b-49d=51d-=1. 因?yàn)閐>1，所以51d->1，無解.

所以，d=.

運(yùn)算對(duì)象2 等差數(shù)列{a}.

設(shè)本題的運(yùn)算對(duì)象為等差數(shù)列{a}，即基本量a與d之間的關(guān)系. 因?yàn)閎==，所以要尋找a與d之間的關(guān)系，可構(gòu)造關(guān)于a，d的方程，借助為等差數(shù)列的條件，得到a=d或a=2d. 該方法涉及的未知量較少，計(jì)算更簡潔，但需要先明確{a}為運(yùn)算對(duì)象.

詳細(xì)解答 因?yàn)?為等差數(shù)列，所以2b=b+b，即=+. 所以6

-

==，即a-3ad+2d2=0，解得a=d或a=2d.

因?yàn)閐>1，所以a>0. 又S-T=99，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，99a-99b=99，即a-b=1. 所以a-=1，即a-a-2550=0，解得a=51或a=-50（舍去）.

當(dāng)a=2d時(shí)，a=a+49d=51d=51，解得d=1，與d>1矛盾，無解;當(dāng)a=d時(shí)，a=a+49d=50d=51，解得d=.

綜上可知，d=.

運(yùn)算對(duì)象3 一次函數(shù).

由于{a}，為等差數(shù)列，因此{(lán)a}，的通項(xiàng)公式一定可以表示為一次函數(shù)的形式. 又b==，則a=dn或a=d（n+1）. 該方法的計(jì)算更簡便，但要求學(xué)生理解等差數(shù)列的本質(zhì)，明確等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)之間的關(guān)系.

詳細(xì)解答 因?yàn)閎==，{a}，為等差數(shù)列，所以a=dn或a=d（n+1）.

若a=dn，則b=. 由S-T=99，得a-b=a+49d-b-49d=50d-=1，所以d=或d=-1（舍去）.

若a=d（n+1），則b=.由S-T=99，得a-b=a+49d-b-49d=51d-=1，所以d=-（舍去）或d=1（舍去）.

從上述三個(gè)運(yùn)算對(duì)象的研究中可以看出，不同的運(yùn)算對(duì)象會(huì)產(chǎn)生不同的運(yùn)算量和復(fù)雜程度. 確保運(yùn)算的精確性，要求學(xué)生深入理解運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)、相關(guān)概念以及數(shù)學(xué)思想方法等. 根據(jù)題目的關(guān)鍵信息和條件，去偽存真，由表及里，能夠自然順暢地進(jìn)行運(yùn)算.

運(yùn)算的速度——掌握運(yùn)算法則和公式定理

掌握運(yùn)算法則和公式定理，并不是簡單的認(rèn)知和套用，而是要達(dá)到熟練運(yùn)用的程度. 學(xué)生不僅應(yīng)擅長運(yùn)算，還應(yīng)追求運(yùn)算的簡潔性. 數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的運(yùn)用涉及學(xué)生復(fù)雜的心理過程. 在解決具體問題時(shí)，學(xué)生需要依靠主觀判斷來識(shí)別數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象，并進(jìn)一步尋找、判斷和選擇適合這些對(duì)象的法則和定理[4]. 在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)面臨各種公式和定理的多樣性問題，這要求他們在日常訓(xùn)練中不斷積累經(jīng)驗(yàn)、不斷嘗試和糾正錯(cuò)誤，并根據(jù)具體情況準(zhǔn)確選擇最簡捷有效的方法.

1. 選擇運(yùn)算法則

例2 （2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第7題）已知α為銳角，cosα=，則sin=（ ）

A. B.

C. D.

題目已知cosα，求sin，所以聯(lián)想到倍角公式，得cosα=1-2sin2=，sin=. 對(duì)于開雙重根號(hào)的問題，在選擇題中，代入驗(yàn)證是一種有效的策略，但仍要熟悉開雙重根的方法.

詳細(xì)解答 由cosα=1-2sin2=，且α為銳角，解得sin====. 選D.

2. 選擇公式定理

例3 （2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第17題）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A-C）=sinB.

（1）求sinA;

（2）設(shè)AB=5，求AB邊上的高.

對(duì)于本題第（2）問，求AB邊上的高h(yuǎn)，既可以利用h=AC·sinA或h=BC·sinB來求解，也可以應(yīng)用三角形面積公式建立關(guān)于h的方程來求解，如AB·AC·sinA=AB·h或AB·BC·sinB=AB·h或BC·AC·sinC=AB·h. 本題已知△ABC的兩角和邊AB，若選用正弦定理，則解唯一且計(jì)算效率高;若選用余弦定理，則計(jì)算量大且有兩解，雖然可以根據(jù)已知條件保留一解，求得正確答案，但計(jì)算效率較低.

詳細(xì)解答 由（1）知，cosA==. 由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

+

=，以及正弦定理=，可得b==2. 又AB·h=AB·AC·sinA，所以h=b·sinA=2×=6.

從上述解答過程可以清晰地看到，運(yùn)算法則、運(yùn)算公式和定理的應(yīng)用并非生搬硬套. 對(duì)于適用條件的理解以及正逆運(yùn)算的靈活處理，都直接影響著運(yùn)算的復(fù)雜性和解題的效率.

運(yùn)算的方向——探究運(yùn)算思路

運(yùn)算思路是運(yùn)算操作的路線圖，具有內(nèi)在的邏輯性，蘊(yùn)含著豐富的推理過程，不同的運(yùn)算思路反映著不同的運(yùn)算思維，運(yùn)算思路通過運(yùn)算方法和運(yùn)算過程來體現(xiàn)[5]. 通過理解運(yùn)算對(duì)象的內(nèi)容、運(yùn)算對(duì)象的背景、運(yùn)算對(duì)象所在的知識(shí)體系，多角度觀察，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算對(duì)象的不同形式的表示，將運(yùn)算對(duì)象表征的過程即探究運(yùn)算思路的過程[6]. 由于探究條件的角度不同，因此運(yùn)算思路不同.

例4 （2023年高考全國甲卷理科第20題）已知直線x-2y+1=0與拋物線C：y2=2px（p>0）相交于A，B兩點(diǎn)，且AB=4.

（1）求p;

（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，·=0，求△MNF面積的最小值.

解析幾何的一般運(yùn)算思路為：①將給定的幾何條件坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，通過方程的運(yùn)算來解決幾何問題;②由形啟數(shù)，尋找合適的運(yùn)算對(duì)象，表征題目給出的條件，并利用數(shù)對(duì)形進(jìn)行量化分析. 在解決問題前，需要考慮用單參還是雙參對(duì)點(diǎn)或線進(jìn)行表征;正設(shè)直線還是反設(shè)直線;先求什么，后求什么;是否需要“設(shè)而不求”[7].

思路1：設(shè)直線

已知C上的兩點(diǎn)M，N，就相當(dāng)于已知一條直線.由于這條直線的斜率不為零，因此可設(shè)為x=my+n. 根據(jù)條件·=0，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算以及韋達(dá)定理，得到關(guān)于m，n的代數(shù)方程. 此代數(shù)方程可將兩個(gè)參數(shù)m，n化為其中一個(gè)參數(shù)，然后將△MNF的面積表示為這個(gè)參數(shù)的函數(shù)，最終求出函數(shù)的最值即可.

該思路貼近學(xué)生常規(guī)的解題路徑，即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算以及韋達(dá)定理，得到關(guān)于m，n的代數(shù)方程. 然而，在計(jì)算三角形面積時(shí)，涉及弦長公式與距離公式的應(yīng)用，這一過程較為復(fù)雜，容易導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤. 這更能體現(xiàn)學(xué)生的運(yùn)算能力.

詳細(xì)解答 因?yàn)镕（1，0），所以直線MN的斜率不為零，故設(shè)直線MN：x=my+n，M（x，y），N（x，y）.

由y2=4x，

x=my+n可得y2-4my-4n=0，所以y+y=4m，yy=-4n，Δ=16m2+16n>0?m2+n>0.

因?yàn)椤?0，所以（x-1）（x-1）+yy=0，即（my+n-1）（my+n-1）+yy=0，即（m2+1）yy+m（n-1）（y+y）+（n-1）2=0.

將y+y=4m，yy=-4n代入上式，得4m2=n2-6n+1. 由于4（m2+n）=（n-1）2>0，故n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2.

設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，則d=，MN==

y

-y==2=2·n-1，故△MNF的面積S=·MN·d=··2n-1=（n-1）2. 又n≥3+2或n≤3-2，所以，當(dāng)n=3-2時(shí)，△MNF面積的最小值S=（2-2）2=12-8.

思路2：拋物線的焦半徑

由拋物線的定義，得到焦半徑MF=，NF=，然后根據(jù)MF⊥NF，將△MNF的面積表示為關(guān)于θ的函數(shù)，最后運(yùn)用換元法求得函數(shù)的最值.

此思路體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，即借助“形”得到兩個(gè)焦半徑（MF，NF）的表達(dá)式，根據(jù)垂直關(guān)系得到△MNF的面積表達(dá)式. 運(yùn)算過程更簡潔.

詳細(xì)解答 假設(shè)直線MF的傾斜角為θ，則可得MF=，NF==，△MNF的面積S=·MF·NF==.

設(shè)sinθ-cosθ=t，則t=sin

θ-

≤. 當(dāng)θ=時(shí)，t=. 因?yàn)閠2=1-2sinθcosθ，所以sinθcosθ=. 所以，S==

≥

=12-8.

所以，當(dāng)θ=時(shí)，△MNF面積的最小值為12-8.

在解題過程中，學(xué)生關(guān)注差異化運(yùn)算思路，基于一個(gè)問題學(xué)到多種解法，然后通過對(duì)比，選擇運(yùn)算量小、變形更為簡單或者運(yùn)算步驟更為簡便、出錯(cuò)率相對(duì)小的解題思路，這樣既有利于全面了解運(yùn)算對(duì)象，構(gòu)建該對(duì)象的知識(shí)體系，還有利于大幅提升運(yùn)算效率.

成功得到答案的關(guān)鍵——選擇運(yùn)算方法

學(xué)生選擇運(yùn)算思路后，若未能進(jìn)一步深入計(jì)算，僅僅堆砌公式，則難以順利得出答案. 另外，在計(jì)算過程中，可能遭遇難以處理的函數(shù)或方程，導(dǎo)致無從下手. 此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用化繁為簡的策略，將其轉(zhuǎn)化為可解的函數(shù)或方程.

例5 （2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷第16題）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn). 點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，⊥，= -，則C的離心率為______.

本題的運(yùn)算思路有兩個(gè)：一是利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系求解的幾何方法;二是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算求解的代數(shù)方法.不同的運(yùn)算思路下有不同的運(yùn)算方法，因?yàn)樗罅繛殡x心率，所以兩種方法的落腳點(diǎn)都是關(guān)于a，c的齊次方程.

方法1：余弦定理

利用余弦定理或勾股定理以及雙曲線的對(duì)稱性（

BF=

BF）得到一個(gè)方程，由于該方程含有三個(gè)未知量a，c，m，因此采用消元法，將m用a，c表示出來，進(jìn)而整理為關(guān)于a，c的齊次方程.

詳細(xì)解答 依題意，設(shè)

AF=2m，則

BF=3m=

BF，

AF=2a+2m.

在Rt△ABF中，9m2+（2a+2m）2=25m2，即（a+3m）（a-m）=0，得a=m或a=-3m（舍去）.

所以，

AF=4a，

AF=2a，

BF=

BF=3a，AB=5a. 所以，cos∠FAF===.

在△AFF中，可知cos∠FAF==，整理得5c2=9a2，故e==.

方法2：整式方程

設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)=-·，⊥，將x，y，t變?yōu)榛玖浚賹點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，得到-=1.本題的運(yùn)算關(guān)鍵在于對(duì)方程-=1的整理：先將-=1變?yōu)?5c2b2-16c2a2=9a2b2，再代入b2=c2-a2，得到關(guān)于a，c的齊次方程.

詳細(xì)解答 依題意，得F（-c，0），F(xiàn)（c，0）. 令A(yù)（x，y），B（0，t）.

因?yàn)?-，所以（x-c，y）= -（-c，t），則x=c，y=-t.

又⊥，所以·=

c，-t

（c，t）=c2-t2=0，則t2=4c2.

因?yàn)辄c(diǎn)A在C上，所以-=1，整理得-=1，即-=1. 所以，25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2（c2-a2）-16a2c2=9a2（c2-a2）. 整理得25c4-50c2+9a4=0，即（5c2-9a2）（5c2-a2）=0，解得5c2=9a2或5c2=a2. 所以，e=或e=. 又e>1，故e=.

選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法深刻反映學(xué)生對(duì)運(yùn)算技巧的掌握程度與理解深度，進(jìn)而導(dǎo)致運(yùn)算量的差異與運(yùn)算復(fù)雜度的不同. 這直接關(guān)系到能否快速且正確地得到答案.

基于上述高考試題對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力所提出的具體要求，教師在教學(xué)實(shí)施過程中，不僅要關(guān)注數(shù)字運(yùn)算，還要關(guān)注代數(shù)式的處理、恒等變形的掌握以及解題技巧的應(yīng)用.學(xué)生借助日常解題實(shí)踐，能夠深化對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解，精準(zhǔn)把握其本質(zhì)特性，并有效降低運(yùn)算的復(fù)雜度;能夠掌握運(yùn)算法則，靈活處理正逆運(yùn)算;能夠明晰運(yùn)算思路，優(yōu)化運(yùn)算邏輯結(jié)構(gòu);能夠深入理解多樣化的算理算法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，系統(tǒng)整理并優(yōu)化運(yùn)算技巧. 在這些堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上，逐步提升學(xué)生的運(yùn)算效率，培養(yǎng)其精確運(yùn)算與嚴(yán)密推理的數(shù)學(xué)能力.

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