[摘 要] 促使學(xué)生積極主動地參與課堂教學(xué)，是提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的一種有效措施. 在日常教學(xué)中，教師要認(rèn)真研究學(xué)生，把準(zhǔn)實(shí)際學(xué)情，明確教學(xué)目標(biāo)，合理優(yōu)化教學(xué)過程，確保每個學(xué)生都能參與其中，通過自主探究和合作交流，更深入地理解知識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)過程;數(shù)學(xué)能力;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在課堂上，不少學(xué)生主要通過教師講授獲取知識，往往不敢提問或不知如何提問，導(dǎo)致教學(xué)效率不高. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視優(yōu)化教學(xué)過程，通過創(chuàng)造有效的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生主動參與課堂，引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)全面提升[1]. 筆者以“余弦定理”教學(xué)為例，談?wù)勅绾蝺?yōu)化課堂教學(xué)，提升教學(xué)實(shí)效.

教學(xué)任務(wù)分析

1. 內(nèi)容分析

余弦定理是解決斜三角形問題的重要定理之一，它既是初中所學(xué)的勾股定理的拓展，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體應(yīng)用. 余弦定理在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用.

2. 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前已經(jīng)掌握了三角函數(shù)、向量和正弦定理等知識，具備研究三角形邊角關(guān)系的基礎(chǔ). 但總體上，他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力和自主探究意識較弱，這可能導(dǎo)致在推導(dǎo)過程中遇到困難. 因此，教師在鼓勵學(xué)生進(jìn)行探究的同時，需要適時提供啟發(fā)和指導(dǎo)，幫助學(xué)生通過解決問題來理解知識，認(rèn)識問題本質(zhì)，并掌握數(shù)學(xué)研究方法，從而提高學(xué)生的自主探究能力.

3. 教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握余弦定理的兩種表示，結(jié)合平面向量知識證明余弦定理;

（2）知曉余弦定理和勾股定理之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用余弦定理及推論解三角形;

（3）通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，體會數(shù)形結(jié)合、一般與特殊等數(shù)學(xué)思想方法的價值，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

4. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

（1）余弦定理及其推導(dǎo)過程;

（2）余弦定理的應(yīng)用.

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

問題1 為了更好地促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某地區(qū)欲開鑿一條穿山隧道. 開鑿前，某施工隊(duì)需要制定測量方案和開鑿路徑，以確定隧道的長度. 結(jié)合所學(xué)的三角形知識，你能設(shè)計一個測量方案，以便測量出隧道的長度嗎？（假設(shè)山腳兩端標(biāo)記為B，C，山腳所在平面為α.）

師生活動：問題給出后，學(xué)生積極思考，提出可以在平面α上構(gòu)造一個直角三角形，即在平面α上選定一點(diǎn)A，使得AC⊥AB，這樣分別測量出AB，AC的長，再借用勾股定理，求出BC的長. 教師肯定了學(xué)生的方案，并提出問題：若∠BAC=60°，能否求出BC的長？若∠BAC=β呢？這樣通過有效追問，自然引發(fā)學(xué)生思考：已知一個三角形的兩邊及其夾角，能否求出第三邊的長？

設(shè)計意圖 以生活情境為背景，激發(fā)學(xué)生探索問題的興趣，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力. 此環(huán)節(jié)，教師預(yù)留時間讓學(xué)生設(shè)計測量方案，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看待現(xiàn)實(shí)問題，用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

2. 合作探究，探索新知

問題2 在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若已知b，c和A，如何求a？（用b，c和A表示a）

師生活動：問題給出后，教師讓學(xué)生以小組為單位共同探究，然后展示結(jié)果. 教學(xué)片段如下：

生1：可以嘗試構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求其邊長，但是這里需要對角A進(jìn)行分類討論.

①若A是直角，則a2=b2+c2.

②如圖1所示，若A是銳角，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA，AD=bcosA，BD=c-bcosA，所以a2=（bsinA）2+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA.

③如圖2所示，若A是鈍角，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA，AD=bcos（180°-A）=-bcosA，BD=c-bcosA，a2=（bsinA）2+（c-bcosA）2=b2+c2-2bccosA.

綜上所述，a2=b2+c2-2bccosA.

師：非常好，思路清晰，論證嚴(yán)謹(jǐn)，利用三角函數(shù)和勾股定理構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型.

設(shè)計意圖 學(xué)生從已有的知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用勾股定理，以及分類討論和化曲為直等數(shù)學(xué)策略，成功解決了問題. 這既能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能提高學(xué)生的參與度.

問題3 根據(jù)以上探究，你能得到什么結(jié)論？

生（眾）：無論△ABC是何種形狀，總有a2=b2+c2-2bccosA.

問題4 在此基礎(chǔ)上，你還能得到什么結(jié)論？

師生活動：教師啟發(fā)學(xué)生求b，c，得到b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵學(xué)生用文字語言進(jìn)行表述，從而引出余弦定理.

設(shè)計意圖 利用初中平面幾何知識，通過幾何法證明余弦定理，有效連接初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，從而提升學(xué)生的自主探究能力.

問題5 觀察余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，能否利用其他方法進(jìn)行證明？

師生活動：教師啟發(fā)學(xué)生利用向量法證明余弦定理（證明過程略）.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生用向量法證明余弦定理，體會向量在解三角形中的應(yīng)用，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解決問題的能力.

問題6 利用余弦定理可以解決哪些三角形問題？

學(xué)生活動：學(xué)生通過觀察和思考，認(rèn)為能解決已知兩邊和夾角的三角形問題. 在此基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生變形余弦定理，推導(dǎo)出cosA=，由此發(fā)現(xiàn)余弦定理還可以解決已知三邊求各角的問題.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生理解余弦定理的作用，掌握解三角形的幾種情況. 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生變形和轉(zhuǎn)化余弦定理，幫助他們得到相關(guān)結(jié)論，為實(shí)際應(yīng)用余弦定理奠定基礎(chǔ).

問題7 在△ABC中，若C=90°，則c2=a2+b2. 若0°<C<90°，則a，b，c具有怎樣的關(guān)系？若90°<C<180°呢？

學(xué)生活動：深入剖析余弦定理，得到如下結(jié)論. 當(dāng)0°<C<90°時，a2+b2>c2;當(dāng)90°<C<180°時，a2+b2<c2;當(dāng)C=90°時，a2+b2=c2.

設(shè)計意圖 將勾股定理與余弦定理聯(lián)系起來，幫助學(xué)生深化理解特殊與一般的關(guān)系.

3. 運(yùn)用規(guī)律，深化新知

例題 在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知a=7，b=8，C是銳角，且sinC=，求B.（精確到1°）

師生活動：學(xué)生先獨(dú)立求解，隨后在教師的引導(dǎo)下共同完成例題. 求解過程如下：因?yàn)閟inC=，且C是銳角，所以cosC==. 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=49+64-2×7×8×=9，所以c=3. 又cosB==-，利用計算器，可得B≈98°.

設(shè)計意圖 幫助學(xué)生深入理解余弦定理，體驗(yàn)其應(yīng)用，規(guī)范解題步驟，提升解題技巧.

變式題1：已知條件不變，試判斷△ABC的形狀.

變式題2：若去除“C是銳角”這一條件，試求c的值.

變式題3：將“sinC=”改為“cosC=”，求cosB.

師生活動：學(xué)生先獨(dú)立解題，然后小組互動討論，最后進(jìn)行集中展示. 在此過程中，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生遇到難題時，教師應(yīng)適時指導(dǎo)，幫助其找到解題關(guān)鍵.

設(shè)計意圖 通過變式訓(xùn)練進(jìn)一步檢測和鞏固學(xué)生對余弦定理的認(rèn)識與應(yīng)用，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

問題8 回顧最初的問題情境，假設(shè)測得AB= km，AC=1 km，兩線的夾角為150°，試求BC的長.

學(xué)生活動：結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)，利用余弦定理順利地解決問題.

設(shè)計意圖 回顧課程開始時的情境，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用余弦定理解決實(shí)際問題，體驗(yàn)余弦定理的應(yīng)用價值.

4. 反思小結(jié)，升華認(rèn)知

問題9 回顧本節(jié)課所學(xué)，概括所獲得的知識、思想和方法.

設(shè)計意圖 通過反思回顧，加深知識理解，構(gòu)建思維體系和方法體系，培養(yǎng)反思?xì)w納的習(xí)慣.

教學(xué)思考

1. 合理鏈接，激發(fā)學(xué)生探究欲

數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)密的學(xué)科，已學(xué)知識通常是后續(xù)學(xué)習(xí)的基石. 教師作為課堂教學(xué)的組織者和啟發(fā)者，要從整體視角出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)問題，合理鏈接知識，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識分析和解決新問題，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)體系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力[2].

例如，在本節(jié)課教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合初中知識發(fā)現(xiàn)余弦定理，運(yùn)用幾何法證明余弦定理，深化學(xué)生對余弦定理的理解.

2. 學(xué)以致用，提高學(xué)習(xí)主動性

學(xué)以致用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，既是出發(fā)點(diǎn)也是落腳點(diǎn). 教師在教學(xué)時應(yīng)創(chuàng)建與學(xué)生生活相關(guān)的情境，幫助他們理解數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提升他們的學(xué)習(xí)積極性.

例如，在本節(jié)課教學(xué)中，教師利用計算隧道長度的情境，讓學(xué)生理解解三角形的重要性，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性. 學(xué)生在掌握余弦定理后，應(yīng)用它解決了實(shí)際問題，展示了余弦定理的應(yīng)用價值.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情創(chuàng)設(shè)問題情境，通過解決問題幫助學(xué)生理解和掌握知識，提升學(xué)生分析和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 張釗源. 談高中數(shù)學(xué)課堂“三會、四能”的培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)之友，2022（23）：7-9.

[2] 李彩婷. 合理優(yōu)化教學(xué)過程 提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率[J]. 課程教育研究（學(xué)法教法研究），2017（24）：130-131.