[摘 要] 將APOS理論應(yīng)用在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，能幫助學(xué)生展開深度學(xué)習(xí)，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 函數(shù)的奇偶性是學(xué)生步入高中階段后即將探索的一個重要概念，不少學(xué)生在知識的銜接上存在一定障礙，研究者利用APOS理論對此展開教學(xué)探索.

[關(guān)鍵詞] APOS理論;思維;概念教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要“以生為本”，致力于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是指通過數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生形成正向的關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)品格，充分體現(xiàn)學(xué)科育人的價值[1]. APOS理論由四個階段組成，將該理論應(yīng)用在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，不僅能幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)思維，還能讓學(xué)生在深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上掌握知識本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 本文以“函數(shù)的奇偶性”為例，探討APOS理論在概念教學(xué)中的應(yīng)用.

APOS理論的概述

APOS理論是美國數(shù)學(xué)家杜賓塞斯（Dubinsky）等人在數(shù)學(xué)教育研究實踐中發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論. 學(xué)習(xí)者通過對數(shù)學(xué)內(nèi)容的改造與加工，將抽象的概念轉(zhuǎn)化為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu). APOS理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程涵蓋活動、程序、對象與圖式四個階段. 各個階段均建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與特征之上. 學(xué)生通過經(jīng)歷概念的形成過程，從而構(gòu)建新的知識體系.

活動階段：學(xué)生在該階段初步接觸教學(xué)對象，在外界刺激的作用下加工、轉(zhuǎn)化教學(xué)對象. 課堂上，一般以學(xué)生熟悉的內(nèi)容為背景，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，設(shè)計問題情境，引發(fā)學(xué)生參與，讓學(xué)生感知概念是如何生成的. 因此，此為學(xué)生初步理解數(shù)學(xué)概念的階段.

程序階段：學(xué)生對教學(xué)活動過程進(jìn)行思考與探索，并在腦海中構(gòu)建相應(yīng)的操作程序，在壓縮、總結(jié)與歸納的基礎(chǔ)上抽象共性特征，由此構(gòu)建新的概念體系. 在沒有活動刺激的情況下，大部分學(xué)生能自主完成這個過程，也有部分學(xué)生能將其與其他教學(xué)活動相整合，轉(zhuǎn)化為思維過程，發(fā)展邏輯思維.

對象階段：學(xué)生需自主壓縮前兩個階段，將它們視為整體來探索新知. 因此，這是一個心理操作過程. 在該階段時，學(xué)生會在大腦中構(gòu)建靜態(tài)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，從整體的視角獲得概念的內(nèi)涵. 學(xué)生不僅能掌握概念本質(zhì)，還能賦予概念形式化的數(shù)學(xué)符號.

圖式階段：由前三個階段作為鋪墊，此階段整合新舊知識，完善概念體系，幫助學(xué)生構(gòu)建新的圖式結(jié)構(gòu). 用新圖式結(jié)構(gòu)甄別問題，判斷其能否納入其中，形成反饋. 學(xué)生在知識探索過程中，從高階層次對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行表征與加工，以拔高數(shù)學(xué)思維，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

函數(shù)教學(xué)分析

高中數(shù)學(xué)相對抽象，對學(xué)生的思維要求較高. 教師只有探索到與學(xué)情相契合的教學(xué)方法，才能真正提高教學(xué)效率[2]. 學(xué)生在初中階段已接觸過一些函數(shù)知識，到高中階段繼續(xù)深入探索函數(shù)，他們的思維從離散擴(kuò)展至連續(xù)，面對的問題亦由靜態(tài)演變?yōu)閯討B(tài)，在數(shù)形結(jié)合中體會數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)圖形之間的關(guān)系. 探索函數(shù)相關(guān)知識時，學(xué)生的思維由形式化轉(zhuǎn)向辯證化，與常量數(shù)學(xué)類比，揭示函數(shù)抽象性. 這給教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”帶來了挑戰(zhàn).

APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)措施

1. 活動階段——感知概念

情境導(dǎo)入：借助多媒體展示一些對稱圖形，要求學(xué)生觀察圖形，用已有的認(rèn)知經(jīng)驗來描述它們的共同特征. 學(xué)生主要從中心對稱與軸對稱的維度來描述.

師：通過對這些圖形的觀察與描述，大家對函數(shù)的對稱性一定有了新的認(rèn)識. 現(xiàn)在請大家根據(jù)要求填寫下表（表1）并作出函數(shù)圖象：①f（x）=x2;②f（x）=x.

設(shè)計意圖 學(xué)生通過觀察圖形，分別回顧軸對稱與中心對稱圖形的定義，此為APOS理念中的活動階段. 學(xué)生在自主列表與畫圖中切身體會概念形成的過程. 基于整體視域而言，活動階段從學(xué)生熟悉的事物展開，激發(fā)學(xué)生對本節(jié)課探索內(nèi)容的研究興趣，尤其是填表與畫圖，使學(xué)生思維從抽象轉(zhuǎn)化為具體，為接下來提煉函數(shù)的奇偶性奠定基礎(chǔ).

2. 程序階段——抽象概念

在活動階段，從生活實例中抽象出本課主題;在程序階段，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建新的概念.

1. 揭露偶函數(shù)的概念

問題1：圖1和圖2的共性特征是什么？

問題2：函數(shù)f（x）=x2和f（x）=x中的f（1）與f（-1），f（2）與f（-2），f（a）與f（-a）之間分別有什么關(guān)系？

問題3：分析f（x）=x2（x∈[-3，2]）是什么函數(shù)（奇函數(shù)或偶函數(shù)），這一類函數(shù)的定義域具備怎樣的特點？

問題4：下列函數(shù)為偶函數(shù)的是______.（填序號）

①f（x）=x2，x∈[-1，1）;②f（x）=x2，x∈[-1，1];③f（x）=x2，x∈[-2，-1）∪（1，2].

問題5：通過以上探索，說一說什么是偶函數(shù).

設(shè)計意圖 在問題引導(dǎo)下，學(xué)生思維深入發(fā)展，偶函數(shù)的概念逐漸浮出水面. 在學(xué)生自主思考與描述的基礎(chǔ)上，教師適當(dāng)補充與修正，這樣學(xué)生不僅提煉出了完整的偶函數(shù)概念，而且對偶函數(shù)的內(nèi)涵有了深入的理解.

2. 揭露奇函數(shù)的概念

與偶函數(shù)探索環(huán)節(jié)類似，引導(dǎo)學(xué)生通過合作交流與類比分析，探索奇函數(shù)的概念. 探索過程主要從函數(shù)f（x）=x與f（x）=著手，逐步抽象出奇函數(shù)的概念.

設(shè)計意圖 程序階段是學(xué)生通過對具體事物進(jìn)行思維概括的過程. 學(xué)生通過合作交流與類比分析，清晰認(rèn)識奇函數(shù). 學(xué)生在觀察與分析中對函數(shù)解析式的特點進(jìn)行分析與探索，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言加以描述，不僅突出奇函數(shù)自變量的任意性特征，還進(jìn)一步完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為接下來的教學(xué)夯實了方法基礎(chǔ).

3. 對象階段——強(qiáng)化概念

縱然學(xué)生在程序階段中已抽象出相對完整的函數(shù)奇偶性的概念，但在理解與應(yīng)用上還欠缺火候. 為此，教師帶領(lǐng)學(xué)生在對象階段應(yīng)用概念，以進(jìn)一步夯實學(xué)生的知識基礎(chǔ).

判斷函數(shù)奇偶性的基本流程如下：①定義域的判斷（關(guān)于原點對稱）;②f（x）與f（-x）之間的關(guān)系的判斷;③明確判斷結(jié)論.

例題：請根據(jù)概念來判斷函數(shù)f（x）=x3+2x是奇函數(shù)還是偶函數(shù).

對于函數(shù)f（x）=x3+2x，它的定義域是（-∞，+∞），鑒于定義域內(nèi)的每一個x均存在f（-x）=（-x）3+2（-x）= -f（x），可確定f（x）=x3+2x是奇函數(shù).

設(shè)計意圖 對象階段將被探索的內(nèi)容視為整體，并將這個整體作為獨立對象進(jìn)行研究. 在概念本質(zhì)的輔助下，學(xué)生結(jié)合函數(shù)奇偶性的基本判斷流程很快就獲得了答案. 該例題的引入，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對函數(shù)奇偶性判斷方法的認(rèn)識，還促使學(xué)生掌握了函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵與外延.

4. 圖式階段——完善概念

基于學(xué)生自身已有的知識與上述教學(xué)過程的融會貫通，構(gòu)建新的認(rèn)知圖式. 本節(jié)課的圖式階段涉及函數(shù)的奇偶性概念及其特征，并明確了相關(guān)關(guān)系. 新的認(rèn)知圖式的構(gòu)建，不僅能促使學(xué)生快速判斷某個問題在不在該圖式范圍內(nèi)，還能進(jìn)一步鞏固學(xué)生的知識基礎(chǔ)，提升學(xué)生的思維能力.

基于上述分析，本節(jié)課的圖式階段，教師要求學(xué)生自主判斷下列函數(shù)的奇偶性，以檢驗本節(jié)課的教學(xué)成效：①f（x）=x-;②f（x）=1-x2;③f（x）=0;④f（x）=x2+x+1.

面對上述這個問題，學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上合作交流，各小組派一名學(xué)生展示組內(nèi)交流成果. 教師針對學(xué)生情況適當(dāng)點撥，引導(dǎo)學(xué)生按照函數(shù)的奇偶性分類問題. 師生通過積極互動與交流，最終一致認(rèn)為，按照函數(shù)的奇偶性分類為：偶函數(shù)、奇函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù).

設(shè)計意圖 APOS理論下的概念教學(xué)，可將活動、程序和對象三個階段理解為知識的三種基本形態(tài)，圖式階段則屬于根據(jù)知識基本形態(tài)形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 提出函數(shù)奇偶性判斷問題，一方面凸顯概念對判斷函數(shù)奇偶性的作用，另一方面進(jìn)一步深化學(xué)生對函數(shù)奇偶性的理解. 其中兩個特殊函數(shù)形式成功發(fā)散了學(xué)生的思維——將學(xué)生的思維從奇函數(shù)與偶函數(shù)的范疇擴(kuò)展到了非奇非偶函數(shù)與既奇又偶函數(shù)的領(lǐng)域，此過程為學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系創(chuàng)造了條件.

思考與感悟

1. APOS理論的四個階段并非線性關(guān)系

不少教師認(rèn)為APOS理論的四個階段就是由低到高的四個層次. 實踐告訴我們，APOS理論的四個階段屬于一個環(huán)形結(jié)構(gòu)關(guān)系，各個要素間的聯(lián)系并非單向性. 如活動階段就屬于外部信息的直接轉(zhuǎn)換，而轉(zhuǎn)換的每個步驟都要有理有據(jù)，切忌隨意主觀臆斷;程序階段與活動階段有所區(qū)別，雖然也存在轉(zhuǎn)換過程，卻并非一步不少;在活動重復(fù)與反思中，學(xué)生思維從對外界的依靠逐漸轉(zhuǎn)化到對內(nèi)部的調(diào)控中來，并將整個學(xué)習(xí)過程視為整體，順利抵達(dá)對象階段;有時從活動階段也可以直接跳躍到對象階段，隨著解壓機(jī)制的應(yīng)用，學(xué)生還可以將對象階段歸位到程序階段（在協(xié)調(diào)的基礎(chǔ)上對不同階段進(jìn)行壓縮與解壓，實現(xiàn)階段的逆轉(zhuǎn)）. 因此，APOS理論的四個階段并非線性關(guān)系，應(yīng)用時需結(jié)合實際靈活變通.

2. APOS理論不止應(yīng)用于概念教學(xué)

APOS理論屬于概念學(xué)習(xí)理論，因此部分教師認(rèn)為APOS理論只適合應(yīng)用于概念教學(xué). 殊不知，概念教學(xué)同樣以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培育學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，而非教授靜態(tài)數(shù)學(xué)知識. 基于構(gòu)建主義理論來觀察APOS理論下的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生思維經(jīng)歷活動、程序與對象階段后構(gòu)建成圖式，因此APOS理論就不再局限于概念教學(xué)，還可應(yīng)用于其他各種類型的數(shù)學(xué)教學(xué).

3. APOS理論的應(yīng)用需經(jīng)歷一個漫長的過程

“活動—程序—對象”的演進(jìn)是一個逐步深入、不斷完善，且漫長的過程. 在此過程中，學(xué)生要不斷試誤與調(diào)整. 因此，想要在一節(jié)概念課中凸顯APOS理論的四個階段實屬不易. 縱觀本節(jié)課的函數(shù)奇偶性的概念教學(xué)，最終也只達(dá)到了初步形成圖式的階段. 若想將函數(shù)奇偶性與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等建立一定的聯(lián)系，還需要經(jīng)過一段時間的探索與研究.

在上述教學(xué)中，教師雖然帶領(lǐng)學(xué)生親歷了四個階段，但其深度與廣度還有待探索. 對此，教師可繼續(xù)加強(qiáng)實踐與研究，將APOS理論作為提升學(xué)生學(xué)力和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基石和指引.

參考文獻(xiàn)：

[1] 方慧. PBL模式在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D]. 安慶師范大學(xué)，2022.

[2] 林倩倩，唐恒鈞. 我國“數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)”研究：回顧與展望[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（5）：36-38.