[摘 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)選擇合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體. 在“方程的根和函數(shù)的零點”教學(xué)中，研究者通過創(chuàng)設(shè)合理的問題情境來揭露知識本質(zhì)，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價值與文化價值，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)創(chuàng)造條件.

[關(guān)鍵詞] 問題情境;知識本質(zhì);數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標(biāo)）強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)的培育是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的主要目的[1]，課堂中創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境可引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生從根本上掌握知識本質(zhì)是教學(xué)主要任務(wù). 在以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的當(dāng)下，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)基本實現(xiàn)了能力立意向素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)化，這就要求課堂教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生對知識的掌握程度、技能的熟練程度，還強(qiáng)調(diào)如何讓學(xué)生基于問題情境構(gòu)建模型，發(fā)展學(xué)力.

縱然新課標(biāo)明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，并對其水平做了細(xì)致劃分，但在培育過程中各種能力與素養(yǎng)的發(fā)展往往交織在一起，這就需要教師擁有一雙敏銳的眼睛，捕捉提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的契機(jī). 本文以“方程的根和函數(shù)的零點”教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾卧趩栴}的引領(lǐng)下，通過師生活動揭露知識本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)分析

1. 學(xué)情分析

本節(jié)課前，學(xué)生已接觸初等函數(shù)，了解其圖象與性質(zhì). 現(xiàn)有認(rèn)知水平使他們能探索基本運(yùn)算，繪制函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.

2. 教學(xué)任務(wù)

借助教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)觀分析與處理問題的意識，即從函數(shù)零點個數(shù)的探索中，體會函數(shù)的性質(zhì)對于探索零點個數(shù)的用處;通過對方程實數(shù)根、函數(shù)圖象和x軸交點的觀察，明晰什么是函數(shù)零點，基于函數(shù)零點附近函數(shù)值符號的變化現(xiàn)象，挖掘函數(shù)零點存在定理所具備的一些特征;引導(dǎo)學(xué)生深入體驗活動過程，構(gòu)建學(xué)習(xí)經(jīng)歷，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力.

同時，在函數(shù)零點個數(shù)的探索過程中引導(dǎo)學(xué)生不斷梳理知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)邏輯清晰的思維習(xí)慣，提升邏輯推理能力;引導(dǎo)學(xué)生在探索函數(shù)圖象與x軸交點、方程實數(shù)根以及函數(shù)零點間的關(guān)系中獲得良好的數(shù)形結(jié)合能力，并基于整體視域建構(gòu)方程、函數(shù)以及不等式間的關(guān)系網(wǎng)，完善知識結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 教學(xué)流程

本節(jié)課的教學(xué)重點在于函數(shù)零點存在定理，以及借助函數(shù)性質(zhì)探索函數(shù)零點問題. 其中關(guān)于函數(shù)零點個數(shù)的判斷為本節(jié)課的教學(xué)難點. 結(jié)合新課標(biāo)要求、知識特點和學(xué)情分析，本節(jié)課教學(xué)遵循如下流程：①創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生從函數(shù)的視角來分析與處理問題，初步形成函數(shù)意識;②通過對函數(shù)圖象與x軸交點與方程實數(shù)根之間的關(guān)系的探索，提煉函數(shù)零點的定義;③通過對函數(shù)零點附近函數(shù)值符號的變化情況的探索，提煉函數(shù)零點存在定理;④分析函數(shù)零點個數(shù)及大致區(qū)間，感知如何借助函數(shù)性質(zhì)來探索函數(shù)零點問題;⑤課堂小結(jié)，安排課后作業(yè).

教學(xué)過程

1. 問題情境引出主題

問題1 方程lnx+2x=6存在幾個實數(shù)根？

師生活動：學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，展開小組合作交流. 教師巡視觀察，并邀請兩名學(xué)生板演，圖象通過幾何畫板展示. 經(jīng)探索，學(xué)生呈現(xiàn)兩個解題方法.

解法1 將原方程lnx+2x=6轉(zhuǎn)化成lnx=-2x+6，如圖1所示，在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)g（x）=lnx與h（x）=-2x+6的圖象，觀察圖中的交點.

觀察發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)圖象的交點只有一個，由此可判斷方程lnx+2x=6有且僅有一個實數(shù)根.

解法2 如圖2所示，將函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的圖象繪制出來，通過觀察函數(shù)圖象與x軸的交點情況，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=lnx+2x-6與x軸僅有一個交點，由此判斷方程lnx+2x=6的實數(shù)根僅有一個.

設(shè)計意圖 利用簡潔明了的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點來分析與處理問題. 此題無法用常規(guī)的方法來解決，這就激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知矛盾與沖突，促使學(xué)生進(jìn)入思考狀態(tài). 在探索過程中，學(xué)生需結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想分析函數(shù)性質(zhì)與方程實數(shù)根之間的關(guān)系，由此揭露本節(jié)課教學(xué)的核心是：借助函數(shù)的性質(zhì)探索方程的實數(shù)根，彰顯知識間的縱橫關(guān)聯(lián)情況，為幫助學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化思維與函數(shù)應(yīng)用意識奠定基礎(chǔ).

2. 抽象函數(shù)的零點的概念

問題2 逐個分析表1中的方程的實數(shù)根和二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系.

師：關(guān)于二次函數(shù)圖象與x軸交點橫坐標(biāo)和方程實數(shù)根之間的關(guān)系，是否適用于一般函數(shù)？

生1：我認(rèn)為這種規(guī)律適用于一般函數(shù)，可作為一般情形來推廣.

師：為了將這種關(guān)系展現(xiàn)出來，便于進(jìn)一步借助函數(shù)的性質(zhì)來探索方程的實數(shù)根，就涉及一個新的概念——函數(shù)的零點.

師生活動：具體從以下幾個方面探索函數(shù)零點相關(guān)內(nèi)容. ①概念：對于一般函數(shù)y=f（x），把使f（x）=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點;②函數(shù)y=f（x）的零點即方程f（x）=0的實數(shù)根，亦可理解為函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo);③方程f（x）=0存在實數(shù)根（的個數(shù)）?函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點（的個數(shù)）?函數(shù)y=f（x）有零點（的個數(shù)）;④求方程f（x）=0的實數(shù)根，可理解為求函數(shù)y=f（x）的零點，亦可理解為求函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo);⑤關(guān)注“點”與“函數(shù)零點”的異同.

設(shè)計意圖 此問為抽象函數(shù)零點概念奠定基礎(chǔ)，師生積極互動進(jìn)一步深化學(xué)生對函數(shù)零點的認(rèn)識，具體問題的解決讓學(xué)生從真正意義上理解方程的實數(shù)根、函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與數(shù)學(xué)概括能力.

3. 函數(shù)存在零點的判定方法的探索

問題3 已知x∈（k，k+1）（k為整數(shù)）是函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點，那么k值是多少？

生2：選幾個簡單的特殊值代入計算，如f（2）=ln2-2<0，f（3）=ln3>0，f（2）·f（3）<0，易得x∈（2，3），由此確定k=2.

師：很好！思路清晰，方法也很簡便. 現(xiàn)在請大家對函數(shù)位于零點附近的自變量進(jìn)行分析，思考函數(shù)值的符號情況.

生3：令g（x）=lnx，h（x）=-2x+6. 當(dāng)x<x時，函數(shù)g（x）的圖象處于函數(shù)h（x）的下方，即f（x）=g（x）-h（x）<0;當(dāng)x>x時，函數(shù)g（x）的圖象處于函數(shù)h（x）的上方，即f（x）=g（x）-h（x）>0. 由此可確定，當(dāng)函數(shù)f（x）的零點處于x附近時，兩側(cè)自變量所對應(yīng)的函數(shù)值必然異號.

設(shè)計意圖 此問意在引導(dǎo)學(xué)生自主獲得探尋函數(shù)存在零點的初步判定方法，為揭露函數(shù)零點的本質(zhì)創(chuàng)造有利條件，也為學(xué)生后續(xù)深刻探究函數(shù)零點問題奠定基礎(chǔ).

4. 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

問題4 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，可否確定f（a）f（b）<0必然成立？

關(guān)于這個問題，學(xué)生自主探索并交流后，給出的結(jié)論是“不一定”. 具體原因為：例如函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（-1，1）內(nèi)存在零點0，但f（-1）f（1）=1>0，與問題條件不符.

問題5 關(guān)于函數(shù)y=f（x），如果明確f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)是不是必然存在零點？說明理由.

學(xué)生獨(dú)立思考與合作探索后，給出的結(jié)論同樣為“不一定”. 具體原因為：例如函數(shù)f（x）=-x2，x<0，

x2，x>0，雖然f（-1）f（1）=-1<0，但該函數(shù)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)沒有零點;同樣，函數(shù)f（x）=-x2，x<0

x2，x>0，

1，x=0，雖然f（-1）f（1）=-1<0，但該函數(shù)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)沒有零點.

隨著上述問題的解決，學(xué)生在教師的點撥下，由此及彼地提煉出函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根[2].

設(shè)計意圖 上述兩個問題旨在讓學(xué)生感知函數(shù)零點所在區(qū)間，強(qiáng)調(diào)函數(shù)性質(zhì)的作用，并增強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)零點存在定理的應(yīng)用意識.

5. 應(yīng)用函數(shù)觀處理問題

問題6 函數(shù)f（x）=lnx+2x-6是不是只有一個零點？說明理由.

以函數(shù)性質(zhì)為出發(fā)點進(jìn)行分析：若函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)，則m=n?f（m）=f（n）. 由此可知，單調(diào)函數(shù)的零點最多只有一個. 同理，非單調(diào)函數(shù)的每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的零點最多也只有一個.

設(shè)計意圖 通過對函數(shù)零點個數(shù)的探索，有利于學(xué)生梳理邏輯思維，為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力打下堅實基礎(chǔ).

練習(xí)訓(xùn)練 判定下列函數(shù)分別有幾個零點，并寫出零點所在的大致區(qū)間.

①g（x）=2x+x-2;

②h（x）=x2+ln（x2+3）-2.

關(guān)于第一個函數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生從圖象、方程判別式等進(jìn)行思考與分析，確定它的零點只有1個，且大致在區(qū)間（0，1）內(nèi);關(guān)于第二個函數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)性質(zhì)與零點存在定理進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它的零點有2個，分別在區(qū)間（0，1）內(nèi)與（-1，0）內(nèi).

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過解決實際問題，感知零點個數(shù)及其大致區(qū)間. 如此設(shè)計，一方面整理前述知識內(nèi)容，另一方面引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等性質(zhì)對探索其零點的重要性.

6. 總結(jié)提煉整理思路

在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過自主總結(jié)與歸納，掌握探索函數(shù)零點個數(shù)及其所在區(qū)間的基本方法. 關(guān)于函數(shù)零點的判斷，可從如下幾方面展開分析：①先借助函數(shù)零點存在定理判斷函數(shù)有沒有零點，而后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性明確存在幾個零點;②探索非單調(diào)函數(shù)的零點個數(shù)，先明確其單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)確定其所有零點.

設(shè)計意圖 課堂總結(jié)具有畫龍點睛之功效，學(xué)生回顧整節(jié)課的核心知識與研究方法，可進(jìn)一步梳理知識架構(gòu)，為形成結(jié)構(gòu)化思維奠定基礎(chǔ)，也為促進(jìn)綜合素養(yǎng)的發(fā)展做好鋪墊.

7. 作業(yè)設(shè)計

（1）判斷m發(fā)生改變時，函數(shù)f（x）=x2-1-m存在幾個零點，并寫出零點所在的大致區(qū)間.

（2）以作圖法探索下列函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)的零點個數(shù)，再用代數(shù)法進(jìn)行闡述：①f（x）=-x-ln（x+3）+;②f（x）=2x+x2-.

教學(xué)思考

在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，教師根據(jù)新課標(biāo)要求與知識特點精心設(shè)計問題，不僅將知識本質(zhì)暴露在學(xué)生面前，還能激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的探索能力與合作意識，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展.

在本節(jié)課教學(xué)中，教師緊緊圍繞“零點”這條主線展開教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索與合作交流獲得相應(yīng)的能力和素養(yǎng)，將“以生為本”教學(xué)理念落到實處. 教學(xué)過程由條理清晰的問題串聯(lián)而來，學(xué)生思維在問題臺階中逐步上升.

總之，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課堂教學(xué)需站到學(xué)生的角度來設(shè)計，確保每一個問題都能落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這是激發(fā)學(xué)生潛能、提升學(xué)生學(xué)力的基礎(chǔ)，也是揭露知識本質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 何方順. 例談函數(shù)的零點問題[J]. 基礎(chǔ)教育論壇，2012（10）：34-35.