[摘 要] 教育信息化是現在乃至未來很長一段時間教育發(fā)展的方向，它的可視化、動態(tài)演示等特征，可讓原本靜止的數學知識變得生動，讓學生能更好地理解數學本質，發(fā)展核心素養(yǎng). 研究者以“兩個變量的線性關系”教學為例，分別從教學分析、教學簡錄與教學思考三個方面展開實踐與探索.

[關鍵詞] 核心素養(yǎng);信息技術;線性關系

以互聯網技術與多媒體設備為核心的信息技術的發(fā)展，改變了人們的生活與學習方式. 尤其在以核心素養(yǎng)為導向的背景下，信息技術為數學教學提供了支持，是教育信息化時代的基礎. 實踐證明，將信息技術深度融合到教學中，不僅能增加教學信息的表現力，讓抽象的問題變得直觀具體，還能將靜止、復雜的問題變得動態(tài)、簡單，從而激活學生的思維，讓學生領悟數學思想方法，發(fā)展數學學科核心素養(yǎng).

教學分析

生活中的事物瞬息萬變，但變化的事物之間又存在一定關聯性. 從數學學科的角度來看，可用散點圖來描述事物間的變量關系，為其相關性提供判斷依據，但散點圖的應用并不能刻畫定量關系. 如人的身高與體重的關系，它們之間無法用確定的函數關系來表示，因此就需要探尋一種函數模型，借助近似來刻畫兩變量間的關系. 一次函數是最簡單的函數模型之一，如何用一次函數模型對兩變量間的關系進行刻畫呢？實踐發(fā)現，最小二乘法求線性回歸方程可對事物進行預測，揭露兩變量間的聯系. 因此，此為本章節(jié)的教學重點.

教學簡錄

1. 情境創(chuàng)設，提出問題

問題1 王阿姨開了一家奶茶店，發(fā)現氣溫的高低與奶茶的銷量有一定的關系，為了在不同氣溫下讓備貨的數量與銷量平衡，她想擬定一個備貨參考，具體該怎么操作呢？她隨機抽取并記錄了奶茶出售數量與當天氣溫情況（見表1），如何預測某天氣溫38℃時，賣出的奶茶杯數？

學生有前兩節(jié)課作為認知基礎，對于這個問題，很容易判斷出氣溫與奶茶銷量正相關，因此選擇散點圖繪制模型.

設計意圖 奶茶是很多學生喜歡的熱飲，以此為情境可快速拉近學生與課堂的距離，激發(fā)學生的探索欲. 氣溫與奶茶銷量間存在相關性，但非確定的函數關系，需引導學生從統計角度思考建模.

教后反思 以奶茶銷量與氣溫間的關系作為情境，貼合學生的認知經驗，體現了數學與生活的關聯性. “收集處理數據—建模—解決問題”滲透著數學統計思想，助力學生數學建模與邏輯推理能力的發(fā)展.

2. 深入探索，研究問題

問題2 觀察散點圖（略），點大多處于一條直線的附近，但大家所畫的直線有所差異，該如何評價所畫直線的“優(yōu)劣”呢？說說具體的評價標準.

教師將學生所畫的散點圖投影展示出來，讓學生自主評價哪種圖形更恰當. 經小組合作討論，學生確定了標準：選擇整體上各點到直線的距離最小的散點圖更合適. 該發(fā)現為后續(xù)數形靈活轉化的表達奠定了基礎.

設計意圖 承接問題1的探索，學生從散點圖中初步抽象出直線，教師趁機帶領學生一起深入分析，提煉回歸直線（方程）的定義，引導學生確定選擇標準，為最小二乘法的引出做鋪墊.

教后反思 幾何直觀抽象數學式子，探索常用新知，符合學生的認知規(guī)律. 此環(huán)節(jié)，教師借助多媒體展示學生所畫的圖，并給學生留足時間，鼓勵學生積極主動地表達自己的見解. 每個學生都積極參與課堂活動，在潤物細無聲中發(fā)展探究與思考能力.

問題3 怎樣用代數式來刻畫“整體上各點到直線的距離最小”這句話？

師：假設待求直線的方程是y=bx+a，n個點分別為P（x，y），i=1，2，…，n，且這些點所處的位置均位于直線y=bx+a附近. 假設P與直線y=bx+a的距離是d，Q=d+d+…+d，則待解決的問題就是：a，b取什么值時，Q的值最小.

基于教師的點撥，學生自主將“各點到直線的距離”轉化為偏差進行分析，也就是借助PiFi代替d，理由是偏差比點線距離的表達更便捷，且PiFi與d為正比關系. 隨著探索的深入，學生所展示的推理過程為：

假設l為待求直線，α為其傾斜角，P為散點圖里的任意一點. 過點P作與y軸平行的直線PiFi，再作PiEi與直線l垂直，假設∠EiFiPi=β，根據圖1、圖2得α+β=或α-β=. 因為α是定值，可確定β也是定值.

在Rt△EiFiPi中，d=PiFisinβ，因此可用PiFi代替d. 結合圖1、圖2可知，Q=

y

-bx-a+

y

-bx-a+…+

y

-bx-a. 此時，教師做如下告知：求多個絕對值之和最小值的過程異常復雜，就連厲害的數學家也歷經了約兩個世紀的探索才獲解. 由此考慮用“平方”替換“絕對值”，因為兩者均為非負數，于是引導學生求當Q=

y

-bx-a2+

y

-bx-a2+…+

y-bx-a

2取最小值時a，b的值.

設計意圖 學生親歷幾何問題代數化的過程，為提煉最小二乘法奠定基礎. 為什么要將“距離”轉化成“偏差”呢？這是此環(huán)節(jié)的重要思維點，可幫助學生提煉數形結合思想與轉化思想.

教后反思 為什么要將“距離”轉化成“偏差”呢？這是學生感到棘手的問題，甚至有些教師也說不清楚. 課本原文為：從整體上來看，各個點和該直線的距離最小……可用

y-（

a+bx），i=1，2，…，n來表示點（x，y）到直線的遠近. 課本特別提出了偏差，又稱殘差，記作=y-=y-（x+），i=1，2，…，n. 大學中的《統計學》也提到了殘差與最小二乘法的概念，并借助求導數法獲得了計算，的公式. 從上述幾點來看，用“偏差”比用“距離”更合適.

問題3呈現了“距離”這個詞，主要是根據該階段學生的認知特點而設計的，但在探索過程中，則應站到宏觀的角度進行指導，讓學生弄清楚“距離”和“偏差”的等價性.

問題4 想讓Q=

y

-bx-a2+

y

-bx-a2+…+

y

-bx-a2存在最小值，a，b的值為多少合適？式子中的a，b均為二次，由此可聯想到接觸過的什么知識？

關于這個問題，只要將式子Q=

y-bx-a

2+

y

-bx-a2+…+

y

-bx-a2變形為關于a，b的二次式，再通過配方法進行推導，即可獲得a，b的計算公式，也就是b==，a=y-bx. 學生一旦明確符號“∑”的真實意思與運算順序（先求b，再求a），問題則迎刃而解.

設計意圖 此設計一方面為揭露最小二乘法的定義服務，另一方面讓學生深刻理解數學統計思想，為突破本節(jié)課的教學重點與難點奠定基礎.

3. 增強應用，解決問題

問題5 利用圖形計算器對回歸方程進行分析，思考當氣溫處于38 ℃以下時，出售的奶茶杯數. 當取y的近似值時，是否需要四舍五入？如果某天氣溫為38 ℃，是否一定可以出售58杯奶茶？如果這一天出售了50杯奶茶，是否正常？說明理由.

借助圖形計算器，不難獲得a=147.77，b=-2.3517，回歸方程為y= -2.3517x+147.77（見圖3、圖4）.

鑒于回歸直線的隨機性，結論存在誤差. 58杯和59杯均可，賣出50杯也合理.

設計意圖 信息技術的介入，節(jié)省了計算時間，使學生將更多精力投入到最小二乘法的研究上. 隨著探索的深入，學生深刻理解了溫度與奶茶杯數之間的不確定性關系.

教后反思 時代發(fā)展推動信息技術進步，教師應善用科技產品，增強學生的探索興趣，提升教學效率. 學生自主操作圖形計算器，效果深刻于教師展示，能激發(fā)學習熱情，促進思考.

問題6 氣溫為36 ℃時，預期可出售幾杯奶茶？出售的數量和表格中的“54”一定相同嗎？理由是什么？該怎樣區(qū)分估計值與實際值？

借助圖形計算器，易得y=63，該值與表格中的54差距較大. 事實上，表格中所呈現的數據是學生隨機抽取的，該值具有較大的隨機性. 由此可見，借助回歸方程所獲得的結論僅為一個估值.

剛開始，學生并沒有設y=bx+a為回歸方程，大家都明白a，b是隨機抽取而來的，若想將它與確定值區(qū)分開來，則需給它們“戴帽子”，用，來表示. 同樣，計算y=x+而來的結果也是估計值，也需要戴上帽子，記作，也就是=x+.

從本題的探索來看，回歸方程= -2.3517x+147.77與之前接觸過的一次函數有較大區(qū)別，它由隨機性的樣本數據而來，所反映的是隨機事件的規(guī)律性特征.

設計意圖 如此設計的主要目的是讓學生深刻理解“用回歸方程預測事件的隨機性特征”，引出估計值與表達符號，揭露“回歸方程的系數的表達符號為，”.

教后反思 在課堂尾聲引入，，，主要是基于學生的認知發(fā)展規(guī)律以及教學需求所設計的. 實際數據與計算數據之別凸顯統計隨機性.

教學思考

1. 了解知識背景可增強理解

最小二乘法從本質上來說，就是求Q=∑（觀測值-理論值）2最小值的方法，最小一乘法與之相關，是求Q=∑觀測值-理論值最小值的方法. 最小一乘法出現得更早一些，但發(fā)展卻非常緩慢，直到1950年借助電子計算機才解決了計算問題，由此就能理解課本上所提到的“絕對值讓計算變得更復雜”. 教學背景的揭露，不僅能促使師生更好地理解所學內容，還能拉近學生與知識的距離，滲透數學文化，發(fā)展核心素養(yǎng).

2. 把握信息技術的輔助作用

引導學生把握并理解知識是課堂教學的核心任務，信息技術的引入有效增強了知識的可視化，提高了教學效率. 值得注意的是，信息技術是教學的輔助工具，并非必需品，不是每一個教學環(huán)節(jié)都必用信息技術，只有恰到好處地應用才能發(fā)揮其教學輔助功能，切忌主次不分，否則得不償失. 當前，可用的信息技術工具有圖形計算器、幾何畫板、GeoGebra軟件等，這些工具使靜態(tài)的數學知識動態(tài)化、可視化，可幫助學生更好地理解數學.

總之，核心素養(yǎng)背景下信息技術的應用，讓課堂變得更具活力與生命力. 學生在動態(tài)化、可視化的課堂中，不僅能更好地理解數學，還能有效發(fā)展邏輯推理、數學抽象素養(yǎng).