[摘 要] “為理解而教”是一種重要的教學(xué)策略，其貫徹“以生為主體，以師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，強調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)以及生生、師生合作溝通，在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力等方面發(fā)揮著積極的作用. 在教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生營造一個自由的、平等的學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵學(xué)生通過自主探究和合作探究獲取新知識、新技能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，確保學(xué)習(xí)過程的真實性和有效性.

[關(guān)鍵詞] 為理解而教;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)能力

當下，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一，教學(xué)中要打破傳統(tǒng)的照抄照搬和生搬硬套，切實從學(xué)生實際出發(fā)，做到為理解而教、為理解為學(xué). 在教學(xué)“基本不等式”時，筆者基于教學(xué)實際創(chuàng)設(shè)有效的探究活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷新知發(fā)現(xiàn)、探索、生成、應(yīng)用等過程，不僅使學(xué)生掌握了知識，還促進他們提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)分析

1. 學(xué)情分析

本班學(xué)生的基礎(chǔ)相對薄弱，自主學(xué)習(xí)意識不強. 為了激發(fā)學(xué)生的主體性，筆者基于學(xué)生的學(xué)情創(chuàng)設(shè)一些由淺入深的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在問題的解決中深度理解本節(jié)課的重點和難點.

2. 教學(xué)目標

（1）通過經(jīng)歷由具體到抽象的探究過程，發(fā)現(xiàn)基本不等式;

（2）通過經(jīng)歷由特殊到一般的探究過程，掌握基本不等式的證明方法;

（3）通過經(jīng)歷新知的探索過程，感悟數(shù)學(xué)探究的魅力，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提升自主學(xué)習(xí)能力.

3. 教學(xué)的重點和難點

基本不等式的發(fā)現(xiàn)與證明.

教學(xué)過程

1. 巧借情境，導(dǎo)入主題

情境 小紅在某商家購買中藥材，回家稱重后發(fā)現(xiàn)每種藥材的分量都不足，于是她向市場監(jiān)管局投訴. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商家使用的天平杠桿有問題. 若將物品放在左盤秤，則對購買者不公平;若將物品放在右盤秤，則對商家不公平.

問題1 你們能將該情境轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題嗎？

生1：假設(shè)物品放在左盤秤得的重量為a，放在右盤秤得的重量為b，天平的左杠桿的長度為l，右杠桿的長度為l，問該物品的實際重量與是否相等？

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)知識解決具體問題，從而為一般性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造條件.

問題2 你能根據(jù)所學(xué)知識計算出物品的實際重量嗎？

生2：設(shè)物體的實際重量為x，則

al

=xl，

xl

=bl，解得x=.

師：很好，這樣問題就轉(zhuǎn)化為了研究與的大小.

設(shè)計意圖 以學(xué)生的已有知識為基礎(chǔ)，將物理知識與數(shù)學(xué)知識相融合，使學(xué)生體驗知識的相通性，從而增強他們學(xué)習(xí)的自信心.

問題3 與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

先讓學(xué)生獨立思考，然后互動交流. 從學(xué)生的實際反饋來看，多數(shù)學(xué)生從特殊值的角度出發(fā)，提出如下猜想：≥（a≥0，b≥0）.

設(shè)計意圖 鼓勵學(xué)生用自己熟悉的方法探究問題，提出猜想，從而點燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

2. 深入探究，體驗生成

問題4 如何證明≥（a≥0，b≥0）？

生3：我們小組采用的是作差法：-=[（）2+（）2-2]=（-）2≥0.

師：何時取等號呢？

生3：當=，即a=b時取等號.

師：還有其他情況可以使等號成立嗎？

生齊聲答：沒有.

師：很好，也就是說當且僅當a=b時取等號. 你們還有其他證明方法嗎？

生4：對于正數(shù)a，b，（-）2≥0?a+b-2≥0?a+b≥2?≥.

師：你是如何想到用不等式（-）2≥0去證明的呢？

生4：證明≤，即證明2≤a+b，即證明0≤a-2+b，即證明（-）2≥0.

師：非常棒，我們將這種從結(jié)論出發(fā)，逐步探索以確保結(jié)論成立的充分條件的方法稱為分析法.

設(shè)計意圖 該環(huán)節(jié)貫徹“以生為主體，以師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，關(guān)注學(xué)生思維和課堂生成，鼓勵學(xué)生應(yīng)用不同的方法解決問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

3. 建構(gòu)知識，提升能力

筆者給出基本不等式，并讓學(xué)生思考以下問題.

（1）你是如何認識基本不等式的？

（2）基本不等式的結(jié)構(gòu)特點是什么？

（3）等號成立的條件是什么？

（4）你是如何理解“當且僅當”的？

在教學(xué)中，筆者特意安排了一段時間，讓學(xué)生深入理解基本不等式的結(jié)構(gòu)特點及適用條件，從而為后續(xù)基本不等式的實際應(yīng)用奠定堅實的基礎(chǔ).

問題5 如圖1所示，令A(yù)C=a，BC=b，以長為半徑作半圓. 過點C作CF⊥AB，交半圓于點F，你能在圖1中找到和嗎？

問題給出后，學(xué)生輕松找到OF=，但在探尋時，部分學(xué)生遇到了障礙. 筆者鼓勵學(xué)生互動交流，發(fā)揮集體智慧，最終根據(jù)射影定理得到CF=. 在直觀觀察下，輕松驗證≥，當且僅當a=b，即點C與圓心重合時，等號成立.

師：之前，我們從代數(shù)的角度出發(fā)，利用作差法、綜合法、分析法等證明了基本不等式. 現(xiàn)在，我們從幾何的角度出發(fā)，再次對基本不等式進行了證明. 對于基本不等式≥，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).

設(shè)計意圖 該環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生探尋基本不等式的幾何意義，一方面讓學(xué)生獲得直觀體驗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;另一方面滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 實際應(yīng)用，發(fā)展素養(yǎng)

設(shè)a，b正數(shù)，證明下列不等式：（1）+≥2;（2）a+≥2.

學(xué)生獨立完成，筆者呈現(xiàn)典型錯誤，并給出規(guī)范的解答過程.

設(shè)計意圖 通過實際應(yīng)用，學(xué)生深刻感悟到基本不等式的簡潔性和便捷性. 在此過程中，筆者給出規(guī)范的解答過程，以此讓學(xué)生明晰基本不等式的適用條件，提高解題的正確率.

5. 課堂練習(xí)，穩(wěn)固提升

略.

6. 課堂小結(jié)，優(yōu)化認知

該環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過獨立思考和互動交流相結(jié)合的方式進行本節(jié)課內(nèi)容的歸納總結(jié)，以此加深對知識的理解，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)思考

1. 著眼學(xué)生實際，為理解而教

課堂教學(xué)的主體是學(xué)生，教師在設(shè)計教學(xué)活動時應(yīng)著眼學(xué)生實際，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索新知的過程，讓學(xué)生自主獲得新知識和新技能. 同時，在教學(xué)中，教師既要鼓勵學(xué)生獨立思考和自主探究，也要倡導(dǎo)合作交流，以便讓學(xué)生能夠從多個角度深入探究和理解知識，從而提升他們的數(shù)學(xué)能力.

2. 追尋內(nèi)在邏輯，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)與核心. 在教學(xué)中，教師應(yīng)重視呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程，當遇到問題時，及時采取有效的啟發(fā)和引導(dǎo)措施，以幫助學(xué)生有條理地、邏輯清晰地進行思考，從而推動深度學(xué)習(xí)的順利實現(xiàn).

在教學(xué)中，教師可以生活情境為藍本，精心設(shè)計引人入勝的問題. 通過由具體到抽象、由特殊到一般、由數(shù)到形的逐層深入探究，學(xué)生能夠?qū)W會以數(shù)學(xué)化的、理性的、條理化的方式分析和解決問題，從而更深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并有效地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師切勿越俎代庖，而應(yīng)給予學(xué)生充足的時間，讓他們自由地去探索、去遐想、去創(chuàng)新，從而逐步提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓他們由“學(xué)會”走向“會學(xué)”.