【摘要】隨著教育的不斷發(fā)展，學科間的交叉融合越來越受到重視.本文旨在引導學生深入理解數(shù)學與物理之間的聯(lián)系，激發(fā)他們對學科交叉應用的興趣，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力，并以一道多過程運動習題為例，探討數(shù)列知識和極限思想在解決高中物理問題中的妙用.通過分析運動問題、構(gòu)建數(shù)學模型、運用數(shù)學公式和求解，使學生更好地理解物理現(xiàn)象，提高解題效率和準確性.

【關(guān)鍵詞】高中物理；多過程運動；解題技巧

1 引言

在高中物理學習中，數(shù)學知識的巧妙運用能夠使復雜的問題變得簡單化，特別是在解決多過程運動問題時.本文將以一道經(jīng)典的多過程運動學習題為例，探討等比數(shù)列求解和極限思想在解決高中物理問題中的妙用.通過分析問題、構(gòu)建數(shù)學模型、運用數(shù)學公式和求解，學生將發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識不僅能夠幫助我們更好地理解物理現(xiàn)象，還能夠提高解題效率和準確性.

2 試題呈現(xiàn)

例1 如圖1所示，兩段斜面AB和BC連接成V字形，連接點B處可以視作一段極短的光滑圓弧，兩段斜面長度均為L=1m，傾角α=37°，一定質(zhì)量的小物塊從AB段斜面頂端由靜止開始運動，小物塊與AB段動摩擦因數(shù)為μ1、與BC段動摩擦因數(shù)為μ2，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.

圖1

（1）若μ1=μ2=0.5，求小物塊在兩段斜面上運動的總路程；

（2）若μ1=0.5，μ2=0.25，求小物塊體第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離；

（3）求第（2）問中小物塊在AB，BC斜面上運動的總路程.

3 思路分析

（1）小物塊在斜面AB和BC上往復運動，最終靜止在B處，全程可由能量守恒和功能關(guān)系求解小物塊在兩段斜面上運動的總路程；（2）根據(jù)牛頓第二定律與運動學公式分段求解運動在斜面上運動的最大距離，最終得到故小物塊體第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離；（3）根據(jù)（2）的分析過程，總結(jié)歸納物塊在斜面AB和BC上每次上滑的最大距離的規(guī)律，應用數(shù)學知識求解.

4 解法探究

（1）小物塊在兩段斜面上運動的總路程為s總，小物塊在斜面AB和BC上往復運動，最終靜止在B處，全程由能量守恒和功能關(guān)系可得：mgLsinα=μ1mgcosα·s總，解得：s總=1.5m.

（2）根據(jù)牛頓第二定律：

對物塊沿斜面AB下滑有：a1=gsinα－μ1gcosα，解得：a1=2m/s2.

對物塊沿斜面BC上滑有：a2=gsinα+μ2gcosα，解得：a2=8m/s2.

設第一次達到B點的速度大小為vB，第一次沿斜面BC向上運動的最遠距離為x1，

則有：v2B=2a1L；v2B=2a2x1，

可得：x1=a1a2L=14L，

解得：x1=0.25m；

同理，對物塊沿斜面BC下滑有：a3=gsinα－μ2gcosα，解得：a3=4m/s2.

對物塊沿斜面AB上滑有：a4=gsinα+DpAU6kYbmjoDoTnJWNVDQQ==μ1gcosα，解得：a4=10m/s2.

設第二次達到B點的速度大小為v′B，第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離為x2，

則有：v′2B=2a3x1；v′2B=2a4x2，

可得：x2=a3a4x1=a1a3a2a4L=110L，

解得：x2=0.1m.

故小物塊體第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離為0.1m.

（3）接（2）的分析結(jié)果：

x1=a1a2L，x2=a3a4x1=a1a3a2a4L；

繼續(xù)類推可得：

第二次沿斜面BC向上運動的最遠距離為x3=a1a2x2=a1a2·a3a4·a1a2L；

第二次沿斜面AB向上運動的最遠距離為x4=a3a4x3=a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

第三次沿斜面BC向上運動的最遠距離為x5=a1a2x4=a1a2·a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

第三次沿斜面AB向上運動的最遠距離為x6=a3a4x5=a3a4·a1a2·a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

總結(jié)歸納得：x2n－1=a1a2n·a3a4n－1·L

=14n·25n－1m，

x2n=a1a2n·a3a4n·L=14n·25nm.

在斜面BC上運動的總路程為sBC=2x1+x3+x5+……+x2n－1（此數(shù)列首項為14m，等比為110）；

在斜面AB上運動的總路程為sAB=L+2x2+x4+x6+……+x2n（數(shù)列部分的首項為110m，等比為110）；

應用等比數(shù)列求和，當n→∞解得：sBC=59m；sAB=119m.

故小物塊在AB，BC斜面上運動的總路程為s=sBC+sAB=59m+119m=169m.

5 結(jié)語

本題考查了數(shù)理結(jié)合的能力，考查了功能關(guān)系與牛頓第二定律得應用.此題運動過程并不復雜，難點在于歸納總結(jié)運動規(guī)律，本題最后總結(jié)出兩個不同的數(shù)列，難度較大.通過本題的探討，學生深刻體會到了數(shù)學知識在解決高中物理問題中的重要作用.數(shù)學不僅是一種工具，更是一種思維方式，它能夠幫助學生更好地理解物理現(xiàn)象，提高解題效率和準確性.在解決多過程運動問題時，通過構(gòu)建數(shù)學模型、運用數(shù)學公式和求解，將復雜的問題變得簡單化.這種數(shù)學與物理的交叉應用，不僅有助于學生解決具體的物理問題，還能夠培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］羅恒，姚光橋.數(shù)學在高中物理中的應用研究——以“耐克”函數(shù)與“飄帶”函數(shù)為例［J］.物理教學，2023，45（12）：13-15+6.

［2］楊繼蝦.數(shù)學定理在高中物理解題中的應用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（28）：118-120.

［3］孫志峰.高中物理解題中數(shù)學思想與方法應用舉例分析——以“三角函數(shù)”為例［J］.數(shù)理化解題研究，2023（25）：110-112.