【摘要】本文旨在探討如何巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)方程解決高中物理中動(dòng)態(tài)平衡的最值問(wèn)題.通過(guò)對(duì)相關(guān)物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法的深入研究，結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行分析，闡述了數(shù)學(xué)方程在解決這類問(wèn)題中的重要作用，并總結(jié)了相應(yīng)的解題策略和技巧，以幫助學(xué)生提高解決物理問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】高中物理；動(dòng)態(tài)平衡；物理規(guī)律

高中物理中的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題涉及力的平衡和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)往往具有一定的難度.而通過(guò)巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)方程，可以將復(fù)雜的物理情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從而更有效地求解最值問(wèn)題.

1 晾衣繩的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

例1 如圖1所示，輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的晾衣繩左端固定在晾衣架上O點(diǎn)，右端系在a點(diǎn)，光滑小滑輪懸掛一衣服可在輕繩上滑動(dòng).先將輕繩右端沿豎直桿緩慢上移到b點(diǎn)，然后再沿水平桿緩慢移至c點(diǎn)，整個(gè)過(guò)程衣服始終沒(méi)與地面和桿接觸，設(shè)輕繩張力為F，滑輪左側(cè)輕繩與豎直方向夾角為θ，則輕繩右端沿桿（ ）

（A）由a→b的過(guò)程，F(xiàn)不變，θ不變，衣服的位置不變.

（B）由a→b的過(guò)程，F(xiàn)不變，θ不變，衣服的位置升高.

（C）由b→c的過(guò)程，F(xiàn)減小，θ變小，衣服的位置下降.

（D）由b→c的過(guò)程，F(xiàn)的最小值為12mg.

解析 根據(jù)幾何關(guān)系可知，兩段繩子間的夾角為2θ，由平衡條件可知2Fcosθ=mg，所以F=mg2cosθ，設(shè)繩子總長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩桿間距離為s，由幾何關(guān)系L1sinθ+L2sinθ=s，得sinθ=sL1+L2=sL，由a→b的過(guò)程，L、s都不變，θ不變，繩子張力F也不變，由幾何關(guān)系可知衣服的位置升高，故（B）正確，（A）錯(cuò)誤；由b→c的過(guò)程，s變小，θ變小，cosθ變大（但cosθ<1），F(xiàn)變小，但F>12mg，由幾何關(guān)系可知衣服的位置下降，故（C）正確，（D）錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用平衡條件將繩子張力F表示成關(guān)于θ的表達(dá)式，再根據(jù)θ的變化情況分析F的變化，在變化的過(guò)程中尋找F的最小值.

2 連接體中的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

例2 如圖2所示，質(zhì)量M=5kg的物體P靜止在地面上，用輕繩通過(guò)光滑、輕質(zhì)定滑輪1、2（滑輪大小相等，軸心在同一水平線上）與質(zhì)量m=1.5kg的小球Q連接在一起，初始時(shí)刻滑輪2與P間的輕繩與豎直方向的夾角為37°，小球Q與滑輪1間的輕繩剛好位于豎直方向，現(xiàn)用一水平向左的力F緩慢拉動(dòng)小球Q，直到物塊P剛要在地面上滑動(dòng).已知P與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列說(shuō)法中正確的是（ ）

（A）初始時(shí)P受到地面的摩擦力為12N.

（B）此過(guò)程中繩子拉力的最大值為30N.

（C）小球Q與滑輪1間的輕繩與豎直方向的夾角最大為53°.

（D）軸對(duì)滑輪1的最大作用力大小為152N.

解析 初始時(shí)輕繩拉力為T(mén)，對(duì)小球Q進(jìn)行受力分析有T=mg=15N，對(duì)物體P進(jìn)行受力分析有Ff=Tsin37°=9N，故（A）錯(cuò)誤；設(shè)此過(guò)程中小球Q與滑輪1間的輕繩與豎直方向的夾角為θ，有Tcosθ=mg，在小球Q緩GvMnwVnNl1qDeDZgsG0rKQ==慢移動(dòng)的過(guò)程中θ逐漸增大，cosθ逐漸減小，所以繩子拉力T逐漸增大，當(dāng)小球Q與滑輪1間的輕繩與豎直方向的夾角最大時(shí)輕繩拉力最大，對(duì)物塊P進(jìn)行受力分析有FN+Tmcos37°=Mg，Tmsin37°=Ff，F(xiàn)f=μFN，解得Tm=25N，此時(shí)對(duì)Q進(jìn)行受力分析有cosθ=mgTm，解得θ=53°，故（B）錯(cuò)誤，（C）正確；對(duì)滑輪1進(jìn)行受力分析可知，軸對(duì)滑輪1的作用力大小為F輪=T·cosθ2+T－T·sinθ2，又因?yàn)門(mén)=mgcosθ，聯(lián)立可得F輪=mg21+sinθ，故θ=0時(shí)，軸對(duì)滑輪1的作用力最大，此時(shí)F輪m=2mg=152N，故（D）正確.

點(diǎn)評(píng) 本題（D）選項(xiàng)中，解出了軸對(duì)滑輪1的作用力大小F輪=mg21+sinθ，根據(jù)此表達(dá)式可很快分析出其最值.

3 力方向發(fā)生變化引起的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

例3 如圖3所示，某同學(xué)拉著拉桿箱沿水平地面勻速運(yùn)動(dòng)，其施加的拉力F沿拉桿的方向，且與地面的夾角為θ.當(dāng)改變?chǔ)冉菚r(shí)，為了維持勻速運(yùn)動(dòng)需改變拉力F的大小.已知地面對(duì)箱子的阻力是箱子對(duì)地面壓力的k倍，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

（A）拉力F是維持箱子運(yùn)動(dòng)的原因.

（B）箱子受到5個(gè)力的作用.

（C）θ角大一些時(shí)，k值更小.

（D）tanθ=k時(shí)，拉力F最小.

解析 力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因，力不是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因，故（A）錯(cuò)誤；箱子受到重力、拉力、地面的支持力與摩擦力，即箱子受到4個(gè)力的作用，故（B）錯(cuò)誤；由于摩擦力是滑動(dòng)摩擦力，則有f=μN(yùn)=kN，即k等于動(dòng)摩擦因數(shù)，可知，k的大小與θ角無(wú)關(guān)，故（C）錯(cuò)誤；對(duì)箱子進(jìn)行受力分析有Fcosθ=f=kN，mg=Fsinθ+N，解得F=kmgcosθ+ksinθ=kmg1+k211+k2cosθ+k1+k2sinθ=

kmg1+k2sinα+θ，當(dāng)sinα+θ=1時(shí)有Fmin=kmg1+k2，此時(shí)α+θ=90°，則有tanθ=1tanα=k，故（D）正確.

點(diǎn)評(píng) 本題（C）選項(xiàng)中，寫(xiě)出摩擦力的表達(dá)式后，發(fā)現(xiàn)摩擦力與θ角無(wú)關(guān)，可得（C）錯(cuò)誤；（D）選項(xiàng)中，根據(jù)物理規(guī)律，寫(xiě)出F關(guān)于θ的表達(dá)式后，根據(jù)三角函數(shù)最值的求解方法解得拉力F的最值.

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析和實(shí)例研究，可以看出數(shù)學(xué)方程在解決高中物理動(dòng)態(tài)平衡中的最值問(wèn)題時(shí)具有重要作用.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)注重將物理知識(shí)與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，從而更輕松地應(yīng)對(duì)這類具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.總之，巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)方程求解高中物理動(dòng)態(tài)平衡中的最值問(wèn)題，不僅有助于加深對(duì)物理概念的理解，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)物理和其他學(xué)科知識(shí)奠定基礎(chǔ).

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