摘要： 脆性細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)在彎曲載荷作用下突然斷裂，可能導(dǎo)致斷裂點(diǎn)附近出現(xiàn)二次斷裂。傳統(tǒng)的Euler-Bernoulli 梁理論難以描述突加載荷或突卸載荷所導(dǎo)致的波動(dòng)現(xiàn)象，而Timoshenko 梁中的彎曲波速度為有限值，具有一個(gè)內(nèi)稟特征時(shí)間，因此基于Timoshenko 梁理論來(lái)分析彈性梁的彎曲斷裂問題。使用Timoshenko 梁理論，結(jié)合一個(gè)包含斷裂能的脆性內(nèi)聚力彎曲斷裂模型，建立一維彎曲波傳播問題的初邊值問題，采用特征線方法求解3 種邊界條件下半無(wú)限長(zhǎng)梁中卸載彎曲波的傳播問題；進(jìn)一步分析了斷裂能對(duì)斷裂時(shí)間以及峰值彎矩的影響，然后通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出這3 種情況下梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)過(guò)程。研究結(jié)果表明：處于純彎曲狀態(tài)的梁一旦發(fā)生瞬時(shí)斷裂，二次斷裂發(fā)生點(diǎn)距離初次斷裂點(diǎn)的最短距離為梁截面回轉(zhuǎn)半徑的5 倍，因?yàn)樵摼嚯x以內(nèi)的彎矩不會(huì)出現(xiàn)過(guò)沖；最有可能發(fā)生二次斷裂的位置與無(wú)量綱斷裂能和無(wú)量綱開裂角度有關(guān)，在距離初始斷裂點(diǎn)17.7 個(gè)特征長(zhǎng)度的位置會(huì)產(chǎn)生幅值達(dá)到1.67 倍初始彎矩的峰值彎矩；較大的斷裂能將延長(zhǎng)斷裂時(shí)間，導(dǎo)致彎矩峰值點(diǎn)位置偏遠(yuǎn)，相應(yīng)的峰值載荷也降低。

關(guān)鍵詞： Timoshenko 梁；內(nèi)聚力彎曲斷裂；卸載彎曲波；峰值彎矩；二次斷裂；斷裂韌性

中圖分類號(hào)： O347 國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼： 13015 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

脆性細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)受彎曲主導(dǎo)載荷作用發(fā)生碎裂的現(xiàn)象屢見不鮮，例如，建筑梁在爆炸和沖擊載荷作用下會(huì)出現(xiàn)多處彎曲斷裂；在微細(xì)觀尺度上，脆性纖維在橫向載荷作用下經(jīng)常斷裂成多段。為了理解這些場(chǎng)景中破壞的產(chǎn)生與發(fā)展，對(duì)彎曲卸載波的傳播過(guò)程及彎曲脆斷機(jī)理的研究必不可少。許多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象表明，即使在準(zhǔn)靜態(tài)載荷作用下，脆性細(xì)長(zhǎng)梁在突然斷裂時(shí)也可能引發(fā)次生斷裂，典型的事例最初由Feynman 等[1] 在觀察意大利面的彎曲斷裂現(xiàn)象時(shí)發(fā)現(xiàn)，由此產(chǎn)生“為什么意大利面條總是斷成許多段”的問題，后稱作Feynman 問題。該問題涉及彎曲卸載波傳播和脆斷機(jī)理兩方面。對(duì)于彎曲波傳播問題，Schindler 等[2] 基于Euler-Bernoulli 梁理論給出了一個(gè)突發(fā)斷裂導(dǎo)致卸載彎曲應(yīng)力波的解析解，發(fā)現(xiàn)純彎曲梁的突然斷裂將導(dǎo)致毗鄰區(qū)域的彎矩出現(xiàn)1.43 倍初始彎矩的過(guò)沖，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量到了因彎曲斷裂而激發(fā)出的卸載彎曲應(yīng)力波。Audoly 等[ 3 ] 著重于Feynman 問題，基于Euler-Bernoulli 梁理論再次推導(dǎo)出初始斷裂將導(dǎo)致鄰近區(qū)域的曲率將超過(guò)初始值的結(jié)果，并解釋了意大利面總是斷裂成多段的現(xiàn)象。雖然Feynman 問題可以通過(guò)Euler-Bernoulli 梁理論得到合理的解釋，但存在兩點(diǎn)不足：（1） Euler-Bernoulli 梁理論不能完整說(shuō)明彎曲波的傳播，在該理論框架下，一旦彈性梁突然斷裂，所激發(fā)的卸載彎曲波將瞬間影響整個(gè)梁，基于半無(wú)限長(zhǎng)梁的自相似解雖然說(shuō)明了局部曲率高于斷裂時(shí)刻曲率的過(guò)沖現(xiàn)象，但無(wú)法進(jìn)一步研究二次斷裂相關(guān)特征參數(shù)；（2） 采用斷裂點(diǎn)彎矩突降，忽略了斷裂發(fā)生的過(guò)程和斷裂時(shí)間，也無(wú)法進(jìn)一步分析斷裂韌性對(duì)卸載波和二次斷裂的影響。

相較于Euler-Bernoulli 簡(jiǎn)單梁理論，Timoshenko 梁理論[4] 進(jìn)一步考慮了旋轉(zhuǎn)慣性和切應(yīng)力效應(yīng)的影響，是一種更符合實(shí)際的梁理論。由于Timoshenko 梁理論中彎曲波波速為有限值，該理論包含了彎曲波傳播的特征時(shí)間。龍龍等 [5] 在Timoshenko 梁理論框架下研究了半無(wú)限長(zhǎng)脆性梁發(fā)生突然彎曲斷裂和斜坡斷裂條件下所產(chǎn)生的卸載彎曲應(yīng)力波傳播問題，其分析結(jié)果來(lái)自數(shù)值反變換技術(shù)，計(jì)算精度有限。當(dāng)采用積分變換方法求解，即以卷積公式寫出在階躍彎矩和斜坡彎矩作用下的彎曲波傳播問題的解析表達(dá)式，并進(jìn)一步分析半無(wú)限長(zhǎng)Timoshenko 梁的突然卸載問題，發(fā)現(xiàn)在主斷裂點(diǎn)鄰近區(qū)域存在一個(gè)特定位置，其峰值彎矩幅值的過(guò)沖達(dá)到1.68。

積分變換方法雖然對(duì)一些問題可以給出完整的解析解，但通常只適用于線彈性波，而對(duì)廣泛存在的非線性波動(dòng)問題以及波動(dòng)與斷裂相互耦合問題，其應(yīng)用場(chǎng)景有限[6]。另一方面，延時(shí)卸載的彎矩邊界條件雖然為梁的斷裂引入了歷時(shí)過(guò)程，但將斷裂視為一個(gè)已經(jīng)預(yù)定的過(guò)程，其延時(shí)時(shí)間、卸載路徑缺乏清晰的物理含義。李鳳云[7] 采用基于拉伸-分離規(guī)律的內(nèi)聚力單元模擬了脆性梁在純彎曲載荷作用下的斷裂過(guò)程，發(fā)現(xiàn)在一個(gè)廣泛的材料參數(shù)和彎曲轉(zhuǎn)動(dòng)率下，梁的斷裂點(diǎn)殘余彎矩隨斷口轉(zhuǎn)角單調(diào)變化，這意味著可以采用一個(gè)普適的內(nèi)聚力彎曲斷裂模型，唯象地描述脆性梁彎曲斷裂過(guò)程中殘余彎矩與斷口開裂角度之間的關(guān)系。由于內(nèi)聚力彎曲斷裂規(guī)律通常為非線性，對(duì)于這一類具有復(fù)雜斷裂模型的問題，積分變換方法無(wú)法使用。

Leonard 等[8] 最早將特征線法引入Timoshenko 梁的計(jì)算；Al-Mousawi 等[9-10] 基于Timoshenko 梁理論運(yùn)用特征線法計(jì)算了變截面梁上彎曲波的傳播，并論證了算法的穩(wěn)定性和收斂性，以及Timoshenko 梁理論在研究彎曲波問題時(shí)的準(zhǔn)確性。以廣義特征理論為基礎(chǔ)的特征線計(jì)算方法，其優(yōu)點(diǎn)是物理概念和物理圖像十分清晰，可以清楚地揭示波傳播的物理過(guò)程，差分格式穩(wěn)定、計(jì)算效率高。本文中采用數(shù)值方法分析Timoshenko 梁中彎曲波的傳播過(guò)程，以及彎曲波傳播與內(nèi)聚力斷裂之間的相互作用。計(jì)算方法以基本控制方程的特征線分析為基礎(chǔ)。在Timoshenko 梁理論框架下，研究脆性梁突然彎曲斷裂所產(chǎn)生的卸載彎曲波傳播問題，采用特征線方法得到卸載彎曲波傳播的響應(yīng)數(shù)值解。利用Timoshenko 梁受沖擊載荷作用下的解析解，驗(yàn)證特征線法的有限差分?jǐn)?shù)值解的有效性；采用考慮斷裂能的內(nèi)聚力彎曲斷裂模型，即斷裂點(diǎn)所承受的殘余彎矩（內(nèi)聚力彎矩）是轉(zhuǎn)角的線性遞減函數(shù)，計(jì)算彎曲波傳播的數(shù)值解，分析不同斷裂參數(shù)下卸載彎曲波的傳播特征，給出脆性梁突然彎曲斷裂時(shí)二次斷裂碎片尺寸的數(shù)值預(yù)測(cè)。

1 Timoshenko 梁理論和特征線法處理

相較于通過(guò)Euler-Bernoulli 梁對(duì)彎曲波問題進(jìn)行研究，同時(shí)考慮了旋轉(zhuǎn)慣性和切應(yīng)力效應(yīng)的Timoshenko 梁理論更適合描述瞬態(tài)響應(yīng)問題。其中，旋轉(zhuǎn)慣性的引入使Timoshenko 梁中卸載彎曲波的傳播具有強(qiáng)烈的局部化效應(yīng)；而切應(yīng)力效應(yīng)的引入進(jìn)一步降低了Timoshenko 梁中彎曲擾動(dòng)的傳播，在梁中形成以剪切速度傳播的擾動(dòng)。因此，Timoshenko 梁可以提供彎曲斷裂的一個(gè)特征空間尺度，方便預(yù)測(cè)二次斷裂。

1.1 Timoshenko 梁基本方程

Timoshenko 梁的理論模型如圖1[4] 所示，其中M、Q分別表示彎矩和剪力，是梁所受的廣義載荷； ψ、γ分別表示彎矩、剪力引起的截面轉(zhuǎn)角。此外，為了后續(xù)表述方便清晰，規(guī)定如下符號(hào)：ωM、ωQ分別表示彎矩、剪力引起的截面橫向位移（y 軸方向） ，ω表示總的橫向位移；v、ω分別表示截面的橫向移動(dòng)速度、轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；κ表示梁的曲率。由動(dòng)力學(xué)分析可知，以上10 個(gè)量均為獨(dú)立變量 x、t 的函數(shù)，x 、t 分別表示梁的軸向坐標(biāo)、時(shí)間。

通過(guò)動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何關(guān)系分析，Timoshenko 梁的控制方程可寫成如下僅包含2 個(gè)未知函數(shù) 和 的形式 [4]：

以上方程中涉及的材料參數(shù)或結(jié)構(gòu)常數(shù)有：體積密度 ρ、彈性模量 E、剪切模量G 、剪切修正系數(shù)k 、橫截面面積A 、橫截面對(duì)中性軸的慣性矩I ，以及在無(wú)量綱化中會(huì)使用的回轉(zhuǎn)半徑R =根號(hào)下I/A；涉及的本構(gòu)方程包括：M=EIk，Q=GAκγ。

1.2 特征線及其相容關(guān)系

采用特征線法[8] 處理Timoshenko 梁的基本方程，將其處理為如下矩陣格式：

在給定梁的參數(shù)矩陣B情況下，未知函數(shù)W可通過(guò)求解一階波動(dòng)方程式（2） 獲得。由于該方程涉及相互耦合的未知函數(shù)，對(duì)矩陣B進(jìn)行對(duì)角化處理，首先尋找B的特征值μ和相應(yīng)的左特征行向量lT，使得：

在橫向速度沖擊下，梁的剪切變形占主導(dǎo)地位，分析時(shí)更關(guān)注剪力峰值和剪切波的傳播。圖5 給出了在左邊界x = 0 和梁上x = 5 位置剪力隨時(shí)間的變化。比較2 個(gè)位置的剪力方向，會(huì)發(fā)現(xiàn)：（1） 在邊界上為了維持橫向速度為常數(shù)，邊界剪切力逐漸減??；（2） 剪切力擾動(dòng)最早在t = 5 時(shí)刻到達(dá)x = 5 位置，這是通過(guò)彎矩形成耦合效應(yīng)，以彈性縱波速度c0 = 1 傳播的擾動(dòng)，且到達(dá)時(shí)刻剪切力方向是反向的；（3） 在x = 5 處，可以看到2 個(gè)清晰的波陣面先后到達(dá)此處，首先是以縱波波速c0 為主導(dǎo)的邊界擾動(dòng)，在t = 9 時(shí)刻突加的邊界速度擾動(dòng)以等效剪切波速cQ = 5/9 傳播至此，導(dǎo)致剪力發(fā)生突變，這符合剪力和橫向速度共同沿次特征線走的計(jì)算過(guò)程。

圖5 中所示的虛線是文獻(xiàn)[11] 中給出的解析解結(jié)果。數(shù)值計(jì)算曲線（實(shí)線）的整體走勢(shì)與解析解（虛線）保持一致。圖6 給出了在t = 5時(shí)刻和t = 10時(shí)刻剪力的空間分布曲線，其中圖6 中的虛線是文獻(xiàn)[11] 中給出的解析解結(jié)果。同樣可以看出，數(shù)值解基本重復(fù)了解析解的曲線走向，但在剪力突變的強(qiáng)間斷位置，即解析解曲線的陡峭處會(huì)出現(xiàn)一定程度的光滑作用，平滑了t = 5，9時(shí)的曲線跳躍。造成這個(gè)現(xiàn)象的原因是采用了主特征線網(wǎng)格，對(duì)于該網(wǎng)格，CFL （Courant-Friedrichs-Lewy） 條件[12] 中的CFL 數(shù)9c0Δt/Δx = 1，而剪力傳播是沿著由主特征線網(wǎng)格插值而來(lái)的次特征線進(jìn)行的，插值導(dǎo)致CFL 數(shù)cQΔt/Δx＜1。根據(jù)CFL 條件，CFL 數(shù)等于1 時(shí)，數(shù)值結(jié)果無(wú)耗散、無(wú)振蕩；CFL 數(shù)小于1 時(shí)，雖然數(shù)值格式的計(jì)算穩(wěn)定性得以保證，但存在由于數(shù)值擴(kuò)散機(jī)制而出現(xiàn)的耗散現(xiàn)象。

圖7 給出了在t = 5時(shí)刻梁上橫向速度和彎矩的波形分布，圖中速度強(qiáng)間斷以恒定的跳躍幅值傳播至x = cQt =25/9處，期間速度幅值由于彎曲波傳播過(guò)程中的色散而產(chǎn)生衰減，對(duì)照彎矩的變化，此處的彎矩也存在一個(gè)弱間斷。

2.2 靜止梁端部受階躍彎矩作用

不同于橫向沖擊下關(guān)注剪力峰值和剪切波的傳播，在研究彎曲變形主導(dǎo)下的彎曲斷裂時(shí)，彎矩峰值和彎曲波的傳播更值得關(guān)注。考慮圖4（b） 所示的靜止梁端部受突加彎矩作用，左邊界條件為：

M（0，"t） = m0H（t） ，"Q（0，"t） = 0 （22）

式中：H（t）為Heaviside 函數(shù)。計(jì)算過(guò)程中取波速比λ=cQ/c0=5/9，突加彎矩m0 = 1，空間步長(zhǎng)與時(shí)間步長(zhǎng)Δx = Δt = 0：001。在此初邊值條件下，運(yùn)用特征線法求得t=5，10， 15， 20時(shí)刻的彎矩分布波形如圖8 實(shí)線所示，對(duì)比給出了解析解結(jié)果，如圖8 虛線所示?？梢钥闯?，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析解完全一致，特征線法準(zhǔn)確地捕捉到了強(qiáng)間斷波陣面的傳播過(guò)程，且沒有發(fā)生數(shù)值衰減，這是因?yàn)橛?jì)算過(guò)程中彎矩是沿著主特征線傳播的，CFL 數(shù)c0Δt/Δx= 1，數(shù)值格式無(wú)耗散、無(wú)振蕩。

在邊界突加彎矩作用下，梁的彎曲變形占主導(dǎo)地位，分析時(shí)更關(guān)注彎矩峰值和彎曲波的傳播過(guò)程。從圖8 可以看到，突加的恒定彎矩并沒有得到穩(wěn)定傳播，而是出現(xiàn)了極速衰減，甚至出現(xiàn)反向彎矩，由此形成了一個(gè)陡峭的三角波陣面，造成這種彎矩快速下降的原因在于剪切力的耦合作用，圖9 給出了t = 5;10;15;20時(shí)刻的剪切力分布波形。以t = 15時(shí)刻（藍(lán)線）的波形圖為例， 波速為c0 = 1的縱波強(qiáng)間斷波陣面到達(dá)x = 15時(shí)，導(dǎo)致彎矩出現(xiàn)1 的峰值，對(duì)應(yīng)的剪切力分布是一個(gè)弱間斷波陣面，在x =75/9 = 8：33位置以橫波速度cQ = 5/9傳播的剪切擾動(dòng)到達(dá)，剪力快速拉升，相應(yīng)地梁中的彎矩分布也逐漸提高，并在邊界點(diǎn)達(dá)到1 的邊界值。由此可見，彎矩和剪力這一對(duì)耦合的波在梁的行進(jìn)中形成了此消彼長(zhǎng)的關(guān)系。

上述問題可以轉(zhuǎn)換為意大利面條在準(zhǔn)靜態(tài)純彎曲作用下折斷的問題：考慮一根以恒定速率彎曲（緩慢增加曲率）的脆性梁，在T0時(shí)刻發(fā)生斷裂，此時(shí)梁承受的彎矩達(dá)到極限值m0，梁一分為二。在斷口中心，由于左右對(duì)稱性，剪切應(yīng)力始終為0，而彎矩則瞬時(shí)下降?？紤]T＞T0時(shí)刻斷裂激發(fā)的卸載彎曲波的傳播特征，以t = T -T0為計(jì)算時(shí)刻，則梁的初始條件和左端邊界條件為：

M（x，0） = m0， Q（x，0） = 0，ω（x，0） = 0 v （x，0） = 0 （23）

Q（0， t） = 0， M（0，"t） = m0 （1-H（t）） t＞0 （24）

對(duì)此問題進(jìn)行數(shù)值模擬，所得到的不同時(shí)刻梁中的彎矩分布圖等價(jià)于自由靜止梁突加彎矩m0 問題的解，即圖8（a） 所描述的彎矩分布的反相和平移，如圖10（a） 所示（取m0 = 1.0）。從圖10（a） 中結(jié)果可以看出，對(duì)于Timoshenko 梁來(lái)說(shuō)，一旦出現(xiàn)突然斷裂，則距離斷裂點(diǎn)一段距離后，梁中的彎矩才可能出現(xiàn)過(guò)沖（M＞m0）。圖10（b） 描繪了一旦發(fā)生斷裂，卸載彎曲波掃過(guò)的不同位置所經(jīng)歷的最大彎矩分布。傳統(tǒng)的E u l e r - B e r n o u l l i 梁突然卸載問題的解[ 2 - 3 ] 預(yù)測(cè)， 斷口附近任意位置的彎矩過(guò)沖均為1 . 4 3 ， 而Timoshenko 梁的解與此不一樣，與斷裂點(diǎn)距離不同的位置上產(chǎn)生的過(guò)沖峰值不一樣，距離越遠(yuǎn)，過(guò)沖值先增后減，特別是在x = 18.01位置，最大過(guò)沖值達(dá)到初始值的1.68 倍。通過(guò)理論分析已經(jīng)發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論，本文中的數(shù)值模擬工作進(jìn)一步證實(shí)此結(jié)果。

3 Timonshenko 梁的內(nèi)聚力彎曲斷裂

從上述計(jì)算結(jié)果可以看出，考慮切應(yīng)力效應(yīng)和旋轉(zhuǎn)慣性的Timoshenko 梁理論解決了Euler-Bernoulli簡(jiǎn)單梁理論中彎曲波速度無(wú)限大的問題，揭示了彎曲波以有限的縱向波速 和等效剪切波速 傳播的特征。另一方面，材料斷裂過(guò)程也需要一定的時(shí)間，斷裂時(shí)間長(zhǎng)短與材料的斷裂韌性以及裂紋與外部載荷相互作用有關(guān)。對(duì)于在極短時(shí)間發(fā)生的動(dòng)態(tài)脆斷，后者往往以卸載波形式發(fā)生。本節(jié)把彎曲脆斷過(guò)程視為一個(gè)斷口抗彎剛度與轉(zhuǎn)角的內(nèi)聚力斷裂過(guò)程，采用特征線分析方法研究卸載彎曲波傳播、斷裂過(guò)程以及斷裂時(shí)間的相互影響。

3.1 脆性梁的內(nèi)聚力斷裂模型

大部分梁的彎曲斷裂是一個(gè)橫向斷口從拉伸面向壓縮面?zhèn)鞑サ倪^(guò)程，直到裂紋面切斷整個(gè)梁，如圖11 所示。李鳳云[7] 在模擬脆性梁彎曲斷裂過(guò)程中發(fā)現(xiàn)斷裂中的梁的殘余彎曲強(qiáng)度（即可承受彎矩M）與斷口開裂角度 之間存在一致的函數(shù)關(guān)系。如果把M 視為 的函數(shù)，則該函數(shù)通常為遞減的曲線關(guān)系，反映了斷口的內(nèi)聚力斷裂特征。而M（θ）曲線下方的面積為梁完全破斷所消耗的能量。只要給定 M（θ）模型和基本參數(shù)，則可以將該條件作為耦合邊界條件施加到上述數(shù)值計(jì)算中，從而計(jì)算和分析梁的斷裂過(guò)程和斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波傳播規(guī)律。

內(nèi)聚力彎曲斷裂模型參考Kipp 等[13] 提出的針對(duì)韌性金屬的線性內(nèi)聚力拉伸斷裂模型，此模型下，將殘余彎矩和開裂角度進(jìn)行積分，即得斷裂過(guò)程所消耗的斷裂能，具有明確的物理意義。該模型包含裂縫附近的應(yīng)力釋放所導(dǎo)致的彎曲波的傳播特性以及裂紋生長(zhǎng)過(guò)程中的局部能量耗散。

圖12 給出了3 種不同斷裂能下的線性彎曲斷裂模型，保持?jǐn)嗔褟澗兀ù嘈粤核艹惺艿淖畲髲澗兀┎蛔儯ㄟ^(guò)控制開裂角度的大小間接控制斷裂能，開裂角度越大表示斷裂所需的斷裂能越大。由于數(shù)值計(jì)算的需要，計(jì)算時(shí)，初始時(shí)刻的殘余彎矩取斷裂彎矩（脆性梁所能承受的最大彎矩）的99%，為了保持每種情況下斷裂能總體不變，斷裂結(jié)束時(shí)的開裂角度相應(yīng)增加。參考李鳳云[7] 計(jì)算的結(jié)果，斷裂彎矩取Mc = 0.07；假設(shè)斷裂時(shí)裂紋對(duì)稱，則計(jì)算時(shí)開裂角度取 的一半。

3.2 內(nèi)聚力斷裂過(guò)程和卸載彎曲波

計(jì)算如圖12 所示3 種不同邊界條件下斷裂點(diǎn)的殘余彎矩M隨時(shí)間 的變化，結(jié)果如圖13 所示，每條彎矩時(shí)程曲線均經(jīng)歷了初始的緩慢卸載和后期的快速卸載階段，M（t）曲線類似于拋物線形狀；與之線性相關(guān)的裂紋開裂角度θ （t）同樣有著初始緩慢增加、后期快速開裂的過(guò)程，這與Heisser 等[14] 用高速攝影所觀察到的意大利面彎曲斷裂過(guò)程相似，即裂紋在起始后相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間（數(shù)毫秒）保持靜止，隨后以接近聲速的高速傳播約10 μs，最終導(dǎo)致斷口完全斷裂。隨著臨界開裂角度的減小，斷口彎矩完全卸載的時(shí)間也相應(yīng)縮短，也就是說(shuō)斷裂能越小，材料越脆，斷裂過(guò)程越快。按此趨勢(shì)，當(dāng)開裂角度趨近于零時(shí)，彎矩的卸載過(guò)程等同于突降彎矩的情況。

圖 14 所示為不同斷裂能下特征時(shí)間t = 5， 15， 25， 35 時(shí)刻的彎矩波形（縱坐標(biāo)表示歸一化的彎矩），顯示了內(nèi)聚力彎曲斷裂模型下卸載彎曲波的傳播過(guò)程。圖中波頭的瞬時(shí)到達(dá)位置在數(shù)值上與時(shí)間一一對(duì)應(yīng)，即如在t = 5時(shí)波頭傳至x = 5處。對(duì)比同一時(shí)刻不同斷裂能下的彎矩峰值可知，斷裂能越小，彎曲斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波的彎矩波峰值越大，與Euler-Bernoulli 梁自相似解所得到的峰值彎矩1.43 相比，Timoshenko 梁斷裂所激發(fā)的峰值彎矩會(huì)超過(guò)該數(shù)值，在t = 35時(shí)刻，開裂角度由小到大對(duì)應(yīng)的歸一化彎矩的峰值分別為1.64、1.65、1.63。

3.3 二次斷裂位置預(yù)測(cè)

為了預(yù)測(cè)初始斷裂后由于卸載彎曲波導(dǎo)致的二次斷裂點(diǎn)位置，需要找到彎矩過(guò)沖峰值出現(xiàn)的位置，通過(guò)計(jì)算足夠長(zhǎng)的時(shí)間，計(jì)算得到了4 種臨界斷裂角：θc =0.004，0.008，0.012，0.040下的歸一化峰值彎矩Mmax/m0的空間分布包絡(luò)線，如圖15 所示。4 種材料參數(shù)所對(duì)應(yīng)的斷裂能分別為Mcθc/2 = 1.4×10-4，2.8×10-4，4.2×10-4，1.4×10-3。 從各點(diǎn)可能經(jīng)歷的峰值彎矩曲線可以看出以下趨勢(shì)。

（1） 4 種斷裂能所對(duì)應(yīng)的歸一化峰值彎矩首次大于1 的位置分別出現(xiàn)在x0.004 = 4.95， x0.008 =5.17， x0.012 = 5.47， x0.04 = 5.80。在這個(gè)距離以內(nèi)，二次斷裂不會(huì)發(fā)生。一般而言，對(duì)于一根均勻的脆性桿，一次斷裂發(fā)生點(diǎn)鄰近x0 = 5～6以內(nèi)的區(qū)域不大可能發(fā)生二次斷裂。

（2） 超過(guò) 距離，脆性桿將經(jīng)歷超過(guò)原始彎矩的彎矩過(guò)沖。對(duì)于斷裂能越?。ㄔ酱啵┑牟牧希徑鼌^(qū)域所達(dá)到的過(guò)沖峰值彎矩越大，在某些特殊位置，峰值彎矩達(dá)到最大值。表1 記錄了前3 種脆性材料桿的最大彎矩Mp、發(fā)生位置xc以及發(fā)生時(shí)刻tc。對(duì)于這3 種非常脆的材料，T i m o s h e n k o 梁初次斷裂所激發(fā)的峰值彎矩（1.64～1.67）超過(guò)經(jīng)典理論預(yù)測(cè)的1.43，所發(fā)生位置位于17.7 附近，這些最大峰值彎矩發(fā)生點(diǎn)是最容易發(fā)生二次斷裂的位置。斷裂能越小，梁上峰值彎矩極值出現(xiàn)的時(shí)間越早，出現(xiàn)位置越靠前，但相近的斷裂能下極值出現(xiàn)時(shí)間和位置變化不大，極值位置集中出現(xiàn)在x = 18附近。

（3） 對(duì)于前3 種非常脆的材料，材料斷裂能對(duì)最大峰值彎矩的數(shù)值和發(fā)生位置影響不大。如果材料的脆性顯著降低、即材料斷裂能明顯加大，將得到經(jīng)典的基于Euler-Bernoulli 梁理論所求解的卸載彎曲波過(guò)沖自相似解，即過(guò)沖峰值彎矩趨近于1.43。為了更好地觀察斷裂能大小對(duì)卸載彎曲波和二次斷裂的影響趨勢(shì)，在圖15 中給出了斷裂能提高一個(gè)量級(jí)（開裂角度θc = 0.040）后的峰值彎矩Mmax/m0的空間分布曲線，此時(shí)彎矩過(guò)沖的最大值下降到接近1.43，發(fā)生位置向更遠(yuǎn)處移動(dòng)。

（4） 值得注意的是，在保持臨界彎矩不變的條件下，過(guò)大臨界開裂角度意味著斷裂能更大，因此，完全斷裂時(shí)間延長(zhǎng)（如圖13 所示），從而弱化了Timoshenko 梁理論中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性效應(yīng)和剪切應(yīng)力效應(yīng)，使其行為更接近Euler-Bernoulli 梁。從圖15 結(jié)果可以看出，材料韌性增加導(dǎo)致斷口斷裂時(shí)間延長(zhǎng)，所產(chǎn)生的彎曲卸載波的過(guò)沖位置更遠(yuǎn)，幅值更接近于Euler-Bernoulli 梁1.43 倍的預(yù)測(cè)結(jié)果。這個(gè)結(jié)果也從側(cè)面說(shuō)明了Timoshenko 梁理論更適合描述瞬態(tài)響應(yīng)問題。

綜合上述結(jié)果，可以預(yù)見如果材料越脆，則初次斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波越強(qiáng)烈，Timoshenko 梁局部的旋轉(zhuǎn)慣性和切應(yīng)力效應(yīng)對(duì)所激發(fā)彎曲波的影響變大。

對(duì)于一根缺陷隨機(jī)分布的脆性桿而言，首次彎曲斷裂出現(xiàn)的地方一定是缺陷最嚴(yán)重的位置，根據(jù)上述卸載彎曲波的傳播特點(diǎn)，二次斷裂出現(xiàn)的位置不可能出現(xiàn)在x＜5的區(qū)域，因?yàn)樵诖藚^(qū)域彎矩不超過(guò)首次斷裂的臨界彎矩。在x＞5的區(qū)域內(nèi)，首次斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波將導(dǎo)致彎矩過(guò)沖，均存在二次斷裂的可能。對(duì)于非常脆的材料，最大彎矩過(guò)沖發(fā)生在x = 18的位置，其數(shù)值超過(guò)1.63，此位置發(fā)生二次斷裂的可能性最大。

為直觀顯示數(shù)據(jù)的物理意義，取Heisser 等[14] 提出的意大利面的材料參數(shù)：彈性模量E = 3：8 GPa，密度ρ= 1.5 g/cm3，縱波波速c0 = 1 592 m/s；梁的幾何截面取邊長(zhǎng)為1 mm 的正方形，則回轉(zhuǎn)半徑R =1/2根號(hào)3mm。此時(shí)二次斷裂碎片尺寸的下限數(shù)值為1.44 mm（x＞5），最可能發(fā)生二次斷裂的位置在5.20 mm（x = 18）近。表1 中參數(shù)有量綱的結(jié)果如表2 所示。

針對(duì)意大利面二次斷裂的問題，龍龍[15] 采用高速攝像機(jī)記錄了2 種類型的意大利面的斷裂過(guò)程，并對(duì)斷裂碎片進(jìn)行搜集和統(tǒng)計(jì)，碎片尺寸集中在6～13 倍的梁截面厚度；基于內(nèi)聚力單元模型進(jìn)行的數(shù)值模擬結(jié)果揭示，二次斷裂點(diǎn)介于5～12 倍梁截面厚度區(qū)域。在本文的模型分析中，如果采用瞬時(shí)斷裂模型，即完全忽略材料的斷裂韌性，則最大峰值彎矩發(fā)生在5.2 倍梁厚度位置（x = 18），顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的Euler-Bernoulli 梁自相似結(jié)果。如果考慮材料的斷裂韌性，則二次斷裂點(diǎn)的彎矩峰值位置將進(jìn)一步遠(yuǎn)離一次斷裂點(diǎn)，如圖15 所示。當(dāng)前，材料的彎曲斷裂韌性具體數(shù)據(jù)尚有待測(cè)定，這是今后工作的重點(diǎn)。

4 結(jié) 論

本文中基于Timoshenko 梁理論，運(yùn)用特征線法精確計(jì)算分析了半無(wú)限長(zhǎng)脆性梁在準(zhǔn)靜態(tài)彎曲加載至斷裂時(shí)刻，斷裂所激發(fā)的卸載彎曲波的傳播過(guò)程與特點(diǎn)。通過(guò)對(duì)比突加彎矩和彎矩延時(shí)卸載這2 種模型下的特征線法數(shù)值解與積分變換解析解，初步驗(yàn)證了特征線法在計(jì)算Timoshenko 梁瞬態(tài)斷裂問題上的有效性、準(zhǔn)確性和便捷性；通過(guò)將唯象的耦合殘余彎矩和開裂角度的內(nèi)聚力彎曲斷裂模型引入到Timoshenko 梁的瞬態(tài)波動(dòng)分析中，使脆性梁的突然斷裂有了更加清晰的物理含義，在計(jì)算分析此斷裂機(jī)制下卸載彎曲波的傳播過(guò)程后，給出了無(wú)量綱化的二次斷裂碎片尺寸的下限數(shù)值為x＞5，最可能發(fā)生二次斷裂的位置在5.2 倍梁厚度位置（x = 18） 附近，此處卸載彎曲波所產(chǎn)生的彎矩過(guò)沖超過(guò)1.67 倍的初始彎矩。上述結(jié)果顯示了Timoshenko 梁在卸載彎曲波激發(fā)過(guò)程中強(qiáng)烈的局部化特征，也為確定二次斷裂碎片尺寸的預(yù)測(cè)提供了依據(jù)。

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（責(zé)任編輯 王易難）

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（12302474）