［摘要］ 實(shí)施關(guān)鍵課教學(xué)是落實(shí)新課標(biāo)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化這一變化的腳手架。關(guān)鍵課可供遷移、可供生長(zhǎng)，有利于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；統(tǒng)整型關(guān)鍵課是復(fù)習(xí)課中的一種重要課型，有助于學(xué)生建立更深刻的知識(shí)體系，進(jìn)一步凸顯知識(shí)本質(zhì)。本文以六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)“圖形的測(cè)量”為例，通過憶“關(guān)鍵過程”、抓“關(guān)鍵圖形”、定“關(guān)鍵線段”，展現(xiàn)統(tǒng)整型關(guān)鍵課的確立與實(shí)施的思路及做法。

［關(guān)鍵詞］ 統(tǒng)整型；關(guān)鍵課；小學(xué)數(shù)學(xué)；“圖形的測(cè)量”

“課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的顯著變化之一，實(shí)施關(guān)鍵課教學(xué)是落實(shí)新課標(biāo)這一變化的腳手架，因?yàn)殛P(guān)鍵課可供遷移、可供生長(zhǎng)，有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。統(tǒng)整型關(guān)鍵課是復(fù)習(xí)課中的一種重要課型，有助于學(xué)生建立更深刻的知識(shí)體系，進(jìn)一步凸顯知識(shí)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)讀書“由厚到薄”。下面，以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)“圖形的測(cè)量”為例，探討統(tǒng)整型關(guān)鍵課的確立與實(shí)施。

一、關(guān)鍵課的概念、類型及特征

認(rèn)識(shí)統(tǒng)整型關(guān)鍵課，首先要了解其前概念“關(guān)鍵課”，即理解“關(guān)鍵課”的概念、類型和特征。

1.關(guān)鍵課的概念。俞正強(qiáng)老師將“種子課”界定為“關(guān)鍵課”，認(rèn)為它是“處于學(xué)生思維發(fā)展重要節(jié)點(diǎn)的課，是老師教學(xué)應(yīng)該花大力氣的課”。筆者認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵課是指以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，以學(xué)科大觀念中關(guān)鍵內(nèi)容或關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)為重點(diǎn)，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)學(xué)習(xí)單元的認(rèn)知起重要作用的一類課。例如，“什么是面積”是三年級(jí)下冊(cè)“面積”單元的關(guān)鍵課。首先，它是學(xué)生學(xué)習(xí)圖形測(cè)量的一個(gè)重要節(jié)點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生之前學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)度測(cè)量”，包括“周長(zhǎng)測(cè)量”，現(xiàn)在從一維測(cè)量跨越到二維測(cè)量，在數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生認(rèn)知上都是一個(gè)飛躍；其次，“什么是面積”是“面積”單元的起始課，建立“面積”概念是學(xué)習(xí)面積單位和長(zhǎng)方形面積公式的前提。因此，我們認(rèn)為，關(guān)鍵課是源自數(shù)學(xué)知識(shí)或?qū)W生思維發(fā)展的起點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)或拐點(diǎn)的一類課，其內(nèi)容與方法是可遷移、可生長(zhǎng)的。

2.關(guān)鍵課的類型?；趯?duì)關(guān)鍵課的本質(zhì)內(nèi)涵的理解，我們可以將其分為起點(diǎn)型、節(jié)點(diǎn)型和統(tǒng)整型_{LOjI4KqBxwvZNNg4J8RKjuTd/+9trbcYuBNvQ2ceXVQ=}等類型。起點(diǎn)型關(guān)鍵課是指源自數(shù)學(xué)知識(shí)起點(diǎn)的一類課，一般指某一學(xué)習(xí)單元中的第一課，其內(nèi)容具有基礎(chǔ)性、根本性和生長(zhǎng)性的特點(diǎn)，后幾課時(shí)的知識(shí)都是由它引發(fā)或展開的。例如，六年級(jí)下冊(cè)“圓柱和圓錐”單元中，“面的旋轉(zhuǎn)”是該單元的起始型關(guān)鍵課，因?yàn)檫@是從動(dòng)態(tài)的視角認(rèn)識(shí)立體圖形，掌握?qǐng)A柱和圓錐的特點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓柱的表面積和體積以及圓錐的體積打下基礎(chǔ)。

節(jié)點(diǎn)型關(guān)鍵課是指處在數(shù)學(xué)知識(shí)或?qū)W生思維發(fā)展的重要節(jié)點(diǎn)的一類課。例如“長(zhǎng)方形的面積”，它是學(xué)生在認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、知道了面積的概念和面積單位的基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，為后續(xù)學(xué)習(xí)多邊形面積、立體圖形的表面積打下基礎(chǔ)，是空間形式認(rèn)識(shí)發(fā)展上的一次飛躍，是研究圖形面積的“節(jié)點(diǎn)型關(guān)鍵課”。

統(tǒng)整從字面上理解指統(tǒng)一、整合。統(tǒng)整型關(guān)鍵課是指學(xué)生經(jīng)過一個(gè)階段學(xué)習(xí)后，教師引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理、歸納和總結(jié)，使其形成一個(gè)有意義的整體的課。統(tǒng)整型關(guān)鍵課有助于學(xué)生建立更深刻的系統(tǒng)，讓學(xué)生觸及知識(shí)的本質(zhì)。例如，筆者曾執(zhí)教過的“加減乘除手拉手”就屬于統(tǒng)整型關(guān)鍵課。學(xué)生經(jīng)過一、二年級(jí)的學(xué)習(xí)，對(duì)加減乘除法有了一定的認(rèn)識(shí)，但是對(duì)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)是分散的。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)完除法后，有必要設(shè)計(jì)一節(jié)“統(tǒng)整型關(guān)鍵課”，將“加減乘除”放在一起，通過分類活動(dòng)，幫助學(xué)生溝通四則運(yùn)算之間的聯(lián)系，促使他們掌握運(yùn)算的本質(zhì)。

3.關(guān)鍵課的特征?；趯?duì)關(guān)鍵課概念的理解和類型的探討，我們用一棵樹來做比方，起點(diǎn)型關(guān)鍵課是樹的根，是基礎(chǔ)，整棵樹要從根部汲取營養(yǎng)，因而起點(diǎn)型關(guān)鍵課具有基礎(chǔ)性和生長(zhǎng)性的特征；節(jié)點(diǎn)型關(guān)鍵課是樹干與樹枝的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，是整棵樹的關(guān)鍵點(diǎn)，可供遷移，因而節(jié)點(diǎn)型關(guān)鍵課具有深刻性、遷移性；統(tǒng)整型關(guān)鍵課可以看作一棵完整的樹，樹的各個(gè)部分相互關(guān)聯(lián)、相互作用，形成一個(gè)有機(jī)的整體，它強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)，關(guān)注本質(zhì)，因而統(tǒng)整型關(guān)鍵課具有整體性、系統(tǒng)性的特征。

二、統(tǒng)整型關(guān)鍵課的確立分析

無論是在學(xué)習(xí)、研究還是工作中，統(tǒng)整都發(fā)揮著重要的作用，統(tǒng)整型關(guān)鍵課有助于學(xué)生建立更深刻的結(jié)構(gòu)和對(duì)知識(shí)本質(zhì)更深入的理解。作為總復(fù)習(xí)的關(guān)鍵課，自然屬于統(tǒng)整型關(guān)鍵課。該類課不僅具有關(guān)鍵課的一般特征，也體現(xiàn)了總復(fù)習(xí)的特點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)主題的總復(fù)習(xí)，一般要經(jīng)歷“理要點(diǎn)—找聯(lián)系—會(huì)應(yīng)用”三個(gè)階段?！袄硪c(diǎn)”是復(fù)習(xí)單元的第一層面的教學(xué)單位，它是復(fù)習(xí)的起始課，通過回顧并梳理該復(fù)習(xí)單元的知識(shí)要點(diǎn)，形成對(duì)該單元的整體概覽；“找聯(lián)系”是復(fù)習(xí)單元的第二層面的教學(xué)單位，是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵課，通過尋找復(fù)習(xí)單元知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)一步凸顯知識(shí)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“讀書由厚到薄”；“會(huì)應(yīng)用”是復(fù)習(xí)單元的第三層面的教學(xué)單位，通過多層次、多維度的練習(xí)，促使知識(shí)得以固化、變化和深化，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

例如，“圖形測(cè)量公式那些事兒”就是“圖形的測(cè)量”復(fù)習(xí)單元的關(guān)鍵課，是在“理要點(diǎn)”的基礎(chǔ)上找圖形測(cè)量公式之間的聯(lián)系，旨在打通一維測(cè)量、二維測(cè)量和三維測(cè)量，凸顯圖形測(cè)量“度量單位的個(gè)數(shù)”這一本質(zhì)，體會(huì)圖形測(cè)量的一致性。如圖1所示，“圖形測(cè)量公式那些事兒”作為“圖形的測(cè)量”復(fù)習(xí)單元的關(guān)鍵課，在“理要點(diǎn)”的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生找圖形測(cè)量公式之間的聯(lián)系，從一維測(cè)量轉(zhuǎn)向二維測(cè)量和三維測(cè)量，凸顯圖形測(cè)量“度量單位的個(gè)數(shù)”這一本質(zhì)。具體內(nèi)容如下：從找圖形面積公式聯(lián)系入手，結(jié)合公式的推導(dǎo)過程，找到圖形之間的聯(lián)系，即圓形、三角形、梯形、平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，并遷移運(yùn)用，將其他不規(guī)則、較復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)過的基本圖形，最終都轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，從而確定長(zhǎng)方形為面積測(cè)量的基礎(chǔ)圖形。結(jié)合長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)過程，將二維測(cè)量轉(zhuǎn)化為一維測(cè)量，由數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)到算面積，優(yōu)化思維模型。立體圖形的體積公式之間的聯(lián)系與公式推導(dǎo)過程同樣如此，周長(zhǎng)公式也是這樣，做到觸類旁通，由此培養(yǎng)學(xué)生的量感及空間觀念。

三、統(tǒng)整型關(guān)鍵課的實(shí)施案例

高質(zhì)量的復(fù)習(xí)，需要設(shè)計(jì)高質(zhì)量的統(tǒng)整型關(guān)鍵課，從而幫助學(xué)生既“見森林”又“建森林”?，F(xiàn)以“圖形測(cè)量公式那些事兒”為例，展現(xiàn)統(tǒng)整型關(guān)鍵課的課堂教學(xué)實(shí)施策略。

（一）憶“關(guān)鍵過程”，找圖形測(cè)量公式的聯(lián)系

在小學(xué)階段，圖形測(cè)量公式包括周長(zhǎng)公式、面積公式和體積公式。在總復(fù)習(xí)階段要想通過建立圖形測(cè)量公式之間的聯(lián)系找到度量本質(zhì)，更宜從面積公式開始。因?yàn)樾W(xué)階段圖形周長(zhǎng)公式較少，而面積公式較多且比周長(zhǎng)和體積更為繁雜，同時(shí)面積的內(nèi)容比重也較大。以北師大版教材為例，周長(zhǎng)和體積只需要分為兩個(gè)階段就學(xué)習(xí)完了，而面積則分為長(zhǎng)方形、多邊形面積以及圓的面積三個(gè)階段來學(xué)習(xí)。復(fù)習(xí)課應(yīng)先復(fù)習(xí)重點(diǎn)和學(xué)生易混淆的知識(shí)，稍微簡(jiǎn)單的知識(shí)，學(xué)生可以舉一反三?；诖耍P者認(rèn)為可以重點(diǎn)讓學(xué)生梳理面積公式推導(dǎo)過程，養(yǎng)成結(jié)構(gòu)化的意識(shí)，幫助學(xué)生梳理面積知識(shí)，使之結(jié)構(gòu)化。進(jìn)而，讓學(xué)生借用梳理面積公式的方式和方法來梳理體積公式之間的聯(lián)系。最后，學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到周長(zhǎng)公式，并可能做大膽猜測(cè)：周長(zhǎng)公式的測(cè)量方法和其中的道理也是一回事。這樣一氣呵成，符合學(xué)生學(xué)習(xí)的一般規(guī)律。如何找到圖形測(cè)量公式之間的聯(lián)系？圖形測(cè)量公式的關(guān)鍵在于推導(dǎo)過程，因而筆者設(shè)計(jì)了回顧公式的推導(dǎo)過程，突出公式之間的聯(lián)系。

一是回顧面積公式的推導(dǎo)過程，找到面積公式之間的聯(lián)系?；趯W(xué)科大概念，設(shè)計(jì)核心問題“面積公式之間有什么聯(lián)系”，布置“回顧面積公式的推導(dǎo)過程，找一找它們之間的聯(lián)系”這一學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生以四人小組為單位，用學(xué)具袋里的圖形在小黑板上擺一擺，并用箭頭連一連。如圖2所示，學(xué)生作品如下：①箭頭從長(zhǎng)方形發(fā)出的，即從學(xué)習(xí)的先后順序找到聯(lián)系；②箭頭都指向長(zhǎng)方形，利用轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)公式，即新學(xué)圖形的面積都可以轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形的面積；③箭頭指向三角形的，因?yàn)槠矫鎴D形的面積可以通過分割轉(zhuǎn)化成三角形來計(jì)算；④箭頭指向梯形，因?yàn)樘菪蚊娣e公式是多邊形面積的萬能公式，圓的面積也可以轉(zhuǎn)化為梯形來計(jì)算。

二是遷移“找聯(lián)系”的經(jīng)驗(yàn)，找到體積公式之間的聯(lián)系。在解決核心問題“體積公式的推導(dǎo)方法與道理也是一回事兒?jiǎn)帷睍r(shí)，設(shè)計(jì)了“回顧立體圖形體積公式的推導(dǎo)過程，和同桌說一說它們的聯(lián)系”，學(xué)生通過交流匯報(bào)，呈現(xiàn)了如圖3的成果：①箭頭由長(zhǎng)方體發(fā)出的，即從學(xué)習(xí)路徑上找到聯(lián)系；②箭頭都指向長(zhǎng)方體的，因?yàn)檎襟w體積可以由長(zhǎng)方體推導(dǎo)得到，圓柱可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，圓錐可轉(zhuǎn)化為等底等高的圓柱；③長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐的體積都與底面積、高有關(guān)。進(jìn)而引入對(duì)點(diǎn)變式練習(xí)，明確“直柱體的體積=底面積×高”。

通過回顧圖形測(cè)量公式的推導(dǎo)過程，厘清圖形測(cè)量公式之間的關(guān)聯(lián)，將它們連成線、結(jié)成網(wǎng)，形成完整的“知識(shí)面”，促使學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，明白“面積公式在推導(dǎo)方法上是一回事兒”“體積公式在推導(dǎo)方法上也是一回事兒”，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)形成過程的理解。

（二）抓“關(guān)鍵圖形”，明圖形測(cè)量知識(shí)的聯(lián)系

統(tǒng)整型關(guān)鍵課教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，這就需要抓住圖形測(cè)量的本質(zhì)，回到知識(shí)的原點(diǎn)進(jìn)行理解。通過找圖形測(cè)量公式之間的聯(lián)系，學(xué)生明白“長(zhǎng)方形、長(zhǎng)方體分別是圖形面積測(cè)量和體積測(cè)量的基礎(chǔ)”。于是，聚焦關(guān)鍵圖形“長(zhǎng)方形”和“長(zhǎng)方體”，讓學(xué)生結(jié)合長(zhǎng)方形面積公式的推導(dǎo)過程、長(zhǎng)方體的體積公式的推導(dǎo)過程，闡述“為什么長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬”和“為什么長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”的道理，啟發(fā)學(xué)生回到原點(diǎn)去理解“長(zhǎng)方形的面積=包含面積單位的個(gè)數(shù)=每行面積單位個(gè)數(shù)×行數(shù)”和“長(zhǎng)方體的體積=包含體積單位的個(gè)數(shù)=每行體積單位個(gè)數(shù)×行數(shù)×層數(shù)”（見圖4），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)量“面”和量“體”可轉(zhuǎn)化成量“線”再用公式算，都能得到圖形中包含面積單位或體積單位的個(gè)數(shù)，從而得出面積測(cè)量和體積測(cè)量的道理是一回事兒。

面積測(cè)量、體積測(cè)量存在維度的轉(zhuǎn)化，而周長(zhǎng)測(cè)量屬于一維測(cè)量，并沒有維度的轉(zhuǎn)化，根據(jù)圖形的特征只需要測(cè)量關(guān)鍵線段的長(zhǎng)度，再利用周長(zhǎng)公式即可得到圖形的周長(zhǎng)。進(jìn)而，將找面積公式、體積公式之間的聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)遷移到周長(zhǎng)公式上，讓學(xué)生觀看相關(guān)微課，打通一維測(cè)量、二維測(cè)量和三維測(cè)量之間的聯(lián)系，感悟圖形測(cè)量本質(zhì)上的一致性。最后，將本課課題“圖形測(cè)量公式那些事兒”變更為“圖形測(cè)量公式一回事兒”。

（三）定“關(guān)鍵線段”，建圖形測(cè)量的本質(zhì)模型

周長(zhǎng)的本質(zhì)是圖形一周中包含多少個(gè)長(zhǎng)度單位，平面圖形面積的本質(zhì)是平面圖形中包含多少個(gè)面積單位，立體圖形體積的本質(zhì)是立體圖形中包含多少個(gè)體積單位。周長(zhǎng)、面積、體積不僅在知識(shí)結(jié)構(gòu)上有著內(nèi)在的聯(lián)系，更重要的是它們?cè)诜椒ㄔ砩嫌兄餐臏y(cè)量本質(zhì)。因此，總復(fù)習(xí)時(shí)需要提供給學(xué)生合適的學(xué)習(xí)材料和不同情景，讓學(xué)生經(jīng)歷分類和總結(jié)實(shí)踐，感受到在實(shí)際測(cè)量時(shí)，對(duì)不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)、面積或體積，常?？梢韵韧ㄟ^轉(zhuǎn)化再測(cè)量，對(duì)于規(guī)則圖形，可以根據(jù)圖形整體特征，只需要測(cè)量關(guān)鍵線段的長(zhǎng)度，再運(yùn)用公式算出其中包含的單位個(gè)數(shù)，從而建立圖形測(cè)量的本質(zhì)模型。

基于此，給出下面兩個(gè)任務(wù)：通過給定的“關(guān)鍵線段”（有兩條相互垂直的線段，分別長(zhǎng)15厘米和10厘米），①你能想到哪些平面圖形？請(qǐng)畫一畫；②算出你畫的圖形的面積。如圖5所示，學(xué)生在想象、操作中感受到二維面積計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為一維長(zhǎng)度的測(cè)量，再用公式算出其中包含的面積單位個(gè)數(shù)，圖形形狀雖然不同，但只要關(guān)鍵線段確定，圖形的面積就能確定，在分類、比較中領(lǐng)悟“關(guān)鍵線段的長(zhǎng)短決定平面圖形的大小”，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念，建立起圖形面積測(cè)量的本質(zhì)模型。

隨后，又出示立體圖形，設(shè)計(jì)如下的任務(wù)：至少量出幾條線段的長(zhǎng)度就能計(jì)算出下圖中立體圖形的體積？畫一畫。

該任務(wù)中，學(xué)生會(huì)嘗試將上面總結(jié)的圖形面積測(cè)量的模型聯(lián)想、遷移到立體圖形中，發(fā)現(xiàn)立體圖形仍然是根據(jù)圖形的特征，找到關(guān)鍵線段，就可以算出包含的體積單位個(gè)數(shù)。通過以上兩個(gè)任務(wù)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷圖形測(cè)量模型建構(gòu)的過程，進(jìn)一步加深對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)。

概言之，在“圖形的測(cè)量”的統(tǒng)整型關(guān)鍵課教學(xué)中，教師要緊扣圖形測(cè)量的本質(zhì)，抓住圖形測(cè)量的關(guān)鍵要素，通過憶“關(guān)鍵過程”，找圖形測(cè)量公式的聯(lián)系；抓“關(guān)鍵圖形”，明圖形測(cè)量知識(shí)的聯(lián)系；定“關(guān)鍵線段”，建圖形測(cè)量的本質(zhì)模型，真正實(shí)現(xiàn)讀書“由厚到薄”。關(guān)鍵課教學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)工程，教師要從學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，聚焦核心素養(yǎng)，立足單元整體教學(xué)對(duì)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行解讀，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)單元課時(shí)，確定單元教學(xué)關(guān)鍵課，并規(guī)劃單元學(xué)習(xí)路徑，及時(shí)反思、調(diào)整、優(yōu)化，以關(guān)鍵課的學(xué)習(xí)撬動(dòng)整個(gè)單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的把握、對(duì)思想方法的遷移運(yùn)用、對(duì)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)，進(jìn)而推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

［參考文獻(xiàn)］

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黃慧章 四川省成都市龍泉驛區(qū)第二小學(xué)校副校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，四川省特級(jí)教師，教育部“國培計(jì)劃”指導(dǎo)專家。

蘭 云 四川省成都市龍泉驛區(qū)第二小學(xué)校，成都市骨干教師。

徐龍燕 四川省成都市龍泉驛區(qū)第二小學(xué)校。