摘 要：考慮纖維交叉情況，建立纖維纏繞圓柱殼屈曲有限元分析模型，通過算例驗(yàn)證模型和計(jì)算方法的有效性。采用該模型研究了圓柱殼的屈曲載荷隨纏繞角、厚徑比、長徑比等參數(shù)的變化情況，并分析計(jì)算纖維交叉起伏對圓柱殼屈曲性能的影響。計(jì)算結(jié)果表明：纏繞復(fù)合材料圓柱殼的屈曲臨界載荷和屈曲模態(tài)與纏繞角、長徑比、纏繞層數(shù)有很大的關(guān)系。在一些特定的情況下，如纏繞角在[10°—30°]范圍、長徑比較小或者纏繞層數(shù)增加時(shí)，纖維交叉對屈曲臨界載荷有明顯的影響。

關(guān)鍵詞：纖維交叉；纏繞復(fù)合材料；屈曲

中圖分類號：TB33" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " 文章編號：1007 - 9734 （2024） 05 - 0027 - 09

DOI：10.19327/j.cnki.zuaxb.1007-9734.2024.05.004

0 引 言

纖維纏繞復(fù)合材料結(jié)構(gòu)具有比強(qiáng)度大、比剛度高等諸多優(yōu)點(diǎn)，在航空航天、能源運(yùn)輸、海洋工程等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。圓柱殼體是這些領(lǐng)域內(nèi)一種常見的結(jié)構(gòu)形式，而屈曲及穩(wěn)定性作為圓柱殼體的一項(xiàng)重要性能，一直是各國學(xué)者研究的焦點(diǎn)。

Moon等[1]、Hur等[2]利用有限元分析和試驗(yàn)研究了受水下外靜壓力下纏繞復(fù)合材料厚壁圓筒的屈曲和失效情況。Reinoso等[3]設(shè)計(jì)了一個(gè)密封箱實(shí)驗(yàn)裝置，研究了加筋復(fù)合材料圓柱殼在均布壓力載荷情況下的屈曲和后屈曲問題。Meyer-Piening等[4]測試了不同組合載荷情況下屈曲載荷。Kho等[5]對軸向壓縮載荷作用下的復(fù)合材料圓柱殼的屈曲和后屈曲行為進(jìn)行了理論分析計(jì)算。Vaziri等[6]利用板殼理論求解了包含周向和軸向裂紋的圓柱殼的穩(wěn)定性問題，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，增加0°—25°的鋪層可以獲得更高的屈曲強(qiáng)度，而增加90°鋪層則會使屈曲強(qiáng)度降低。Li和Shen[7]研究了在熱環(huán)境下軸向受壓三維紡織復(fù)合材料圓柱殼的后屈曲，Argento和Sco[8]采用攝動法對軸向載荷作用下層合圓柱殼的動態(tài)屈曲進(jìn)行了研究，分析了周向波數(shù)和軸向載荷與失穩(wěn)區(qū)域之間的關(guān)系。White等[9]利用數(shù)值模擬研究了變剛度復(fù)合材料圓柱受軸向壓縮載荷的后屈曲問題。Lopatin等[10]給出了外部橫向壓力的復(fù)合材料夾層圓柱殼屈曲問題的近似解析解。Peterson等[11]、Smithses等[12]以及Fuchs等[13]修正了屈曲理論，研究了幾何缺陷對屈曲性能的影響。閆光等[14]研究了開口尺寸和鋪層角度對含矩形開口復(fù)合材料圓柱殼屈曲載荷的影響。Bisagni等[15][16]分析了缺陷對圓筒動態(tài)屈曲的影響，結(jié)果表明其影響程度與鋪層順序相關(guān)。Messageret等[17]利用遺傳算法優(yōu)化圓筒疊層方式，Rouhi等[18]提出一種優(yōu)化模型，對變剛度橢圓復(fù)合氣瓶優(yōu)化以獲得最大軸向屈曲載荷。還有一些學(xué)者研究了纏繞模式對復(fù)合材料圓筒屈曲性能的影響。如：Hahn等[19]人觀察到屈曲模式對于纏繞模式的依賴性：當(dāng)纏繞模式類似于預(yù)期的屈曲模式時(shí)，臨界屈曲應(yīng)力達(dá)到最小值。Pai等[20]分析研究了纖維起伏對纏繞復(fù)合材料圓筒結(jié)構(gòu)屈曲強(qiáng)度的影響，但其理論分析的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的趨勢相反。Hernandez Moreno等[21]研究了纏繞圖案對纏繞復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能的影響，結(jié)果顯示，其文中所選擇的纏繞圖案對結(jié)構(gòu)的屈曲失效載荷沒有明顯影響。

綜上所述，目前對纏繞復(fù)合材料圓柱殼屈曲性能的研究，很少涉及纖維束交叉起伏的影響。本研究考慮纖維交叉起伏現(xiàn)象，建立纖維纏繞圓柱殼屈曲有限元分析模型，分析計(jì)算圓柱殼的屈曲載荷隨纏繞角、纏繞層數(shù)、厚徑比、長徑比等參數(shù)的變化情況，研究纖維交叉起伏對圓柱殼屈曲性能的影響。

1 纏繞復(fù)合材料纏繞圖案

纏繞復(fù)合材料結(jié)構(gòu)由一系列菱形特征單元組成[29]，菱形特征單元數(shù)目相關(guān)的幾何參數(shù)，以及纏繞復(fù)合材料的纏繞圖案都可由結(jié)構(gòu)的內(nèi)徑D、纖維束的寬度w以及纏繞角度[q]來確定。

在整個(gè)圓周表面纏繞完成纏繞角度為[±q]纖維束，所需要的纏繞循環(huán)數(shù)目由公式（1）確定。

[Num=πDcosθw] （1）

（1）式中纏繞循環(huán)數(shù)[ Num ]必須為一個(gè)整數(shù)，因此在纏繞復(fù)合材料制作過程中需要針對不同的內(nèi)徑D調(diào)整纖維束的寬度w。假設(shè)前一循環(huán)和后一循環(huán)在芯軸環(huán)向間隔數(shù)目為[N]，芯軸環(huán)向的間隔數(shù)目即為纏繞結(jié)構(gòu)在環(huán)向方向的菱形特征單元的數(shù)目。通常情況下，間隔數(shù)目[N]與纏繞循環(huán)數(shù)[ Num ]沒有公因子，因此纏繞復(fù)合材料設(shè)計(jì)時(shí)優(yōu)先選擇其中的一個(gè)，再計(jì)算另外一個(gè)。假設(shè)每個(gè)菱形特征單元所需要的纏繞循環(huán)數(shù)目為[Num′]，纏繞復(fù)合材料纏繞圖案可由三個(gè)參數(shù)確定：芯軸環(huán)向間隔數(shù)目[N]、纏繞循環(huán)數(shù)[ Num]和每個(gè)菱形特征單元所需要的纏繞循環(huán)數(shù)目[Num′]，設(shè)計(jì)纏繞復(fù)合材料圖案時(shí)，三者之間的數(shù)值可由（2）式確定。

[Num ′N mod Num=1Num-1] （2）

其中[ mod ]表示求余運(yùn)算。

圖1（a）的纏繞參數(shù)：[ Num=10，Num′=10，N=1]；圖1（b）的纏繞參數(shù)為：[ Num=10，Num′=3，N=3]；圖1（c）的纏繞參數(shù)為：[ Num=25，Num′=6，N=4]。

纖維交叉起伏區(qū)域在笛卡爾坐標(biāo)系下位置（x，y，z）與纏繞參數(shù)（纏繞角度[q]、環(huán)向特征單元數(shù)目[N]、纏繞結(jié)構(gòu)長度[L]與半徑[r]）之間的關(guān)系如下：

[ 螺旋向： z=2rarcsinx-r2+y2/2rtanθ] （3）

[環(huán)向： z=m2π?tanθ/N]

[" " " " " " " " " " " m=1，2，3，……，L/2π?tanθ/N] （4）

2 屈曲分析模型

有限單元法研究圓柱殼屈曲的分析過程大致如下：先把研究的圓筒結(jié)構(gòu)劃分成若干個(gè)離散單元，并建立離散單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的單元剛度矩陣，再把每個(gè)單元剛度矩陣集合起來形成整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，最后通過最小勢能原理計(jì)算臨界荷載。

每個(gè)離散單元的位移由公式（5）確定：

[u=i=1nNiuiv=i=1nNiviw=i=1nNiwiθx=i=1nNiθxiθy=i=1nNiθyiθz=i=1nNiθzi] （5）

其中n為單元節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，N為單元形函數(shù)。定義矩陣q為：

{qi}={ui" " vi" "wi" θxi" θyi" θzi} （6）

結(jié)構(gòu)在外載荷下的總勢能由公式（7）確定：

[Π=12ΩσTεdΩ-λqTf]" （7）

其中式（7）第一項(xiàng)為圓柱殼結(jié)構(gòu)的彈性勢能，第二項(xiàng)為外載荷產(chǎn)生的勢能。[l]為載荷參數(shù)，[f]為載荷矢量，應(yīng)力矩陣[σ]由公式（8）確定：

[σ=Cε] （8）

公式（8）中：[ε]為應(yīng)變矩陣，[C]為材料的剛度矩陣，需要注意的是，在纏繞復(fù)合材料圓柱筒內(nèi)由于纖維交叉導(dǎo)致纖維交叉區(qū)域的剛度與層合區(qū)域的剛度不同，利用文獻(xiàn)[22]所建立的模型計(jì)算纖維交叉起伏區(qū)域的剛度。

對結(jié)構(gòu)總勢能求變分得到：

[k0-λkpx=0] （9）

[K0]為整體剛度，[Kρ]為初始應(yīng)力剛度，其具體表達(dá)式如下：

[K0=j=1mK0j Kρ=j=1mKρj] （10）

式（10）中：j為單元的總數(shù)目，[K0j、Kρj]為編號為j的單元剛度矩陣和初始應(yīng)力剛度矩陣，具體表達(dá)式參見文獻(xiàn)[23]。

復(fù)合材料圓柱殼的屈曲問題就轉(zhuǎn)化為方程（9）的求解問題，由穩(wěn)定性理論可知，方程（9）的最小特征值即為復(fù)合材料的圓柱殼的屈曲載荷。

由于纏繞復(fù)合材料圓柱殼中存在兩種區(qū)域：纖維交叉與層合區(qū)域，從而使得其在結(jié)構(gòu)上不是均勻的，結(jié)構(gòu)上各處材料的彈性常數(shù)并不恒等，在有限元建模時(shí)需要判定哪些是層合區(qū)域，哪些是纖維交叉區(qū)域，從而賦予相應(yīng)的材料參數(shù)。因此，需要編寫相應(yīng)的子程序UMAT，程序流程如圖2所示。

3 結(jié)果與討論

圖3為纏繞復(fù)合材料幾何模型，黃色部分表示纖維交叉起伏區(qū)域，淺綠色部分表示層合區(qū)域，Ni表示考慮纖維交叉時(shí)環(huán)向菱形數(shù)目為i個(gè)?？梢钥吹?，隨著環(huán)向菱形數(shù)目的增加，纖維交叉起伏區(qū)域所占的比例也隨著增大。

采用文獻(xiàn)[7][19][20]中給出的材料參數(shù)以及結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，來分析計(jì)算在受軸向壓縮以及外壓載荷下的屈曲載荷。材料參數(shù)以及圓柱殼的幾何參數(shù)如表1、表2所示，表3、表4給出本文的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行了對比。文獻(xiàn)[19]分析計(jì)算時(shí)采用了5種模型：Modified Flugge模型、Flugge模型、Cheng and Ho模型、Donnell模型和Messager模型，在表4中分別給出相關(guān)計(jì)算結(jié)果。

通過與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行對比，可以看出本文預(yù)測的屈曲載荷與文獻(xiàn)[20]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為相近，誤差在10%以內(nèi)，并且屈曲載荷隨著環(huán)向菱形的數(shù)目增加略有減小，這與文獻(xiàn)[20]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化趨勢也相同。

3.1 軸向載荷下屈曲情況

圖4（a）給出圓柱殼[±θ/902]軸向屈曲載荷與纏繞角θ關(guān)系，圖中N4、N10表示考慮纖維交叉時(shí)環(huán)向菱形數(shù)目，由圖4（a）可以看出纏繞角度分別在[10°—45°][45°—80°]范圍內(nèi)，屈曲臨界載荷先隨著纏繞角的增大而增大，然后隨著纏繞角的增大而減小。纏繞角度在[10°—30°]區(qū)間內(nèi)屈曲載荷較大，纏繞角度為45°時(shí)軸向屈曲載荷較小。圖4（b）給出考慮纖維交叉情況下環(huán)向菱形數(shù)目分別為N4、N10時(shí)屈曲載荷與未考慮纖維交叉起伏時(shí)的屈曲載荷的差值，可以看到，當(dāng)環(huán)向菱形數(shù)目增多時(shí)，屈曲載荷有所下降，特別是纏繞角度在[10°—40°]范圍，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響尤為明顯。圖5為圓柱殼[±θ/902]軸壓載荷下屈曲模態(tài)?？梢钥吹角B(tài)隨著纏繞角θ變化而變化，15°、60°和75°的屈曲模態(tài)為螺旋向波形，15°與75°的螺旋角較大，60°的螺旋角較?。?0°、45°的屈曲模態(tài)為軸向波形，30°的波形數(shù)目較多。

圖6（a）為圓柱殼[±θ]2軸向屈曲載荷與纏繞角θ關(guān)系。與圖4（a）的結(jié)果相比，把90°鋪層替換為±θ鋪層時(shí)，結(jié)構(gòu)的屈曲載荷有明顯的增大，如纏繞角為[±27.5/902]時(shí)圓柱殼的屈曲載荷為53KN左右，而纏繞角為[±27.5]2時(shí)其屈曲載荷增至55KN；纏繞角為[±45/902]時(shí)圓柱殼屈曲載荷為32.5KN左右，纏繞角度[±45]2時(shí)其屈曲載荷增至45KN。

lt;E：＼2023田田＼10--＼鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào)202405＼Image＼ADBF53EA-B476-42e9-A5BA-9B3B6C273305.bmpgt;[（a）]lt;E：＼2023田田＼10--＼鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào)202405＼Image＼0A2C8C0C-C0DA-421d-A7DE-CDDAA93E1E57.bmpgt;[（b）]

圖6 圓柱殼[±θ]2屈曲載荷

圖7（b）給出考慮纖維交叉情況下環(huán)向菱形數(shù)目分別為N4、N10的屈曲載荷與未考慮纖維交叉起伏情況的屈曲載荷的差值，可以看到，當(dāng)環(huán)向菱形數(shù)目增多時(shí)，屈曲載荷有所下降。對比圖4（b）、圖6（b），可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)纏繞層由[±θ/902]改變?yōu)閇±θ]2時(shí)，纖維交叉起伏對軸向屈曲載荷的影響更為明顯。圖7為圓柱殼[±θ]2的軸壓載荷下屈曲模態(tài)?？梢钥吹?，屈曲模態(tài)隨著纏繞角θ變化而變化，15°、60°和75°的屈曲模態(tài)為螺旋向波形，15°與75°的螺旋角較大，60°的螺旋角較小，30°和45°的屈曲模態(tài)為軸向波形，30°的軸向波形數(shù)目比45°的數(shù)目多。

圖8（a）為圓柱殼[±30]n軸向屈曲載荷與鋪層層數(shù)n關(guān)系，可以看出軸向屈曲載荷隨著鋪層層數(shù)n的增加而增加。圖8（b）給出考慮纖維交叉情況下環(huán)向菱形數(shù)目分別為N4、N10時(shí)屈曲載荷與未考慮纖維交叉起伏情況時(shí)屈曲載荷的差值，可以看到，鋪層層數(shù)n越多，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響越大。

圖9（a）為圓柱殼[±30]2屈曲載荷與長徑比之間的關(guān)系。可以看出，長徑比小于3時(shí)，屈曲載荷較大；長徑比大于3以后，屈曲載荷急劇下降；長徑比大于7以后，屈曲載荷變得很小。圖9（b）給出環(huán)向菱形數(shù)目分別為N4、N10時(shí)屈曲載荷與未考慮纖維交叉起伏情況時(shí)屈曲載荷的差值，可以看出，長徑比越小，纖維交叉起伏對屈曲載荷影響越大。

3.2 外壓載荷下屈曲情況

圖10（a）為圓柱殼[±θ]2受外壓載荷情況下，屈曲載荷與纏繞角的關(guān)系?？梢钥闯觯?dāng)纏繞角度增大時(shí)，屈曲載荷減小。圖10（b）給出考慮纖維交叉情況下環(huán)向菱形數(shù)目分別為N4、N10時(shí)屈曲載荷與未考慮纖維交叉起伏情況時(shí)屈曲載荷的差值，可以看出，對小纏繞角度情況，纖維交叉起伏對屈曲載荷有明顯影響。

圖11為圓柱殼[±θ]2外壓載荷下屈曲模態(tài)?？梢钥闯觯谕鈮狠d荷的情況下，所有的屈曲模態(tài)均為環(huán)向波形，其波形的數(shù)目隨著纏繞角的增大而增加。

圖12（a）為圓柱殼[±θ]n受外壓載荷情況下，屈曲載荷與鋪層層數(shù)n的關(guān)系?？梢钥闯觯d荷隨著鋪層數(shù)增大而增大。圖12（b）為考慮纖維交叉情況下環(huán)向菱形數(shù)目分別為N4、N10時(shí)屈曲載荷與未考慮纖維交叉起伏情況時(shí)屈曲載荷的差值，可以看出，鋪層數(shù)n越大，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響越大。

圖13為圓柱殼[±θ]n外壓載荷下屈曲模態(tài)?？梢钥闯?，在外壓的情況下，環(huán)向波形的數(shù)目隨著纏繞層數(shù)的增加而減小，只有1對纏繞層圓柱殼的波形數(shù)目為6，有2對或者3對纏繞層時(shí)，波形數(shù)目均為5，當(dāng)纏繞層增加到4對或者5對纏繞層時(shí)，環(huán)向波形數(shù)目降低到4。對比圖12、13，可以發(fā)現(xiàn)，波形數(shù)目越少，屈曲載荷越大。

圖14（a）為圓柱殼[±θ]3受外壓載荷情況下，屈曲載荷與長徑比的關(guān)系?？梢钥闯?，當(dāng)長徑比小于3時(shí)，屈曲載荷隨著長徑比的增大而急劇下降。圖14（b）給出考慮纖維交叉情況下環(huán)向菱形數(shù)目分別為N4、N10時(shí)屈曲載荷與未考慮纖維交叉起伏情況時(shí)屈曲載荷的差值，可以看出，長徑比越小，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響越大。

4 結(jié) 論

本研究考慮纖維交叉起伏，建立纖維纏繞圓柱殼屈曲有限元分析模型，通過圓柱殼環(huán)向菱形特征單元數(shù)目的改變，分析計(jì)算纖維交叉起伏對圓柱殼屈曲性能的影響，并且研究了圓柱殼的屈曲載荷隨纏繞角、厚徑比、長徑比等參數(shù)的變化情況。通過算例計(jì)算結(jié)果表明：軸向載荷下，隨著環(huán)向菱形數(shù)目的增加，纖維交叉起伏區(qū)域所占比例增加，屈曲載荷有所下降，特別是纏繞角度在[10°—30°]范圍，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響尤為明顯；外壓載荷下，屈曲載荷隨著環(huán)向菱形數(shù)目增加而下降，對于小纏繞角度的情況，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響更為明顯；軸向載荷下，圓柱殼的屈曲模態(tài)為螺旋向波形和軸向波形，隨著纏繞角度變化，螺旋向波形的螺旋角以及軸向波形的數(shù)目有所改變；外壓載荷下，圓柱殼的屈曲模態(tài)為環(huán)向波形，其波形數(shù)目隨纏繞角度變化；圓柱殼的長徑比對屈曲載荷有明顯的影響，長徑比小于3時(shí)，屈曲載荷急劇下降。長徑比越小，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響越大；外壓載荷下，圓柱殼的屈曲載荷隨著纏繞層數(shù)的增加而增大。纏繞層數(shù)越多，纖維交叉起伏對屈曲載荷的影響越大。

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責(zé)任編校：陳 強(qiáng)，裴媛慧

Buckling Analysis of Fiber Crossover Composite Cylindrical Shells

SHEN Chuangshi

（Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450046，China）

Abstract：This study considers the situation of fiber crossover and establishes a finite element analysis model for the buckling of fiber-wound cylindrical shells.The effectiveness of the model and computational methods is verified through numerical examples.Using this model，the study investigates the variation of buckling loads of cylindrical shells with parameters such as winding angle，thickness-to-diameter ratio，and length-to-diameter ratio，and analyzes the influence of fiber crossover on the buckling performance of the shells.The computational results show that the buckling critical load and mode of fiber-wound composite material cylindrical shells are significantly related to the winding angle，length-to-diameter ratio，and number of windings.Under specific conditions，such as when the winding angle is in the range of [10°-30°]，the length-to-diameter ratio is relatively small，or the number of windings increases，fiber crossover has a noticeable impact on the buckling critical load.

Key words：fiber crossover；fiber-wound composite material；buckling

收稿日期：2023-12-14

作者簡介：沈創(chuàng)石，男，甘肅慶陽人，博士，主要研究方向?yàn)楹娇諒?fù)合材料及其結(jié)構(gòu)力學(xué)。