摘 要：基于最小化核范數(shù)之和的低秩張量恢復(fù)方法已在許多領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用，但在某些應(yīng)用場景，如彩色視頻恢復(fù)中，其恢復(fù)結(jié)果不夠理想，尤其是當已知元素數(shù)目較少時，恢復(fù)結(jié)果更差。導(dǎo)致該問題出現(xiàn)的一個根本原因是張量的不均衡結(jié)構(gòu)，即張量中某些模的維度遠小于其他模，這使得其展開矩陣是一個極度不均衡且滿秩或高秩的矩陣。此外，秩的凸松弛則是導(dǎo)致該問題出現(xiàn)的另一個重要原因，最新研究表明，一些非凸函數(shù)可以比核范數(shù)更好地逼近秩?；谏鲜隹紤]，首先，引入一個重構(gòu)操作將不均衡張量重構(gòu)為更加均衡的張量，該重構(gòu)操作能在保留張量低秩特性的同時減少算法準確恢復(fù)所需的已知元素數(shù)目；其次，將非凸logDet函數(shù)引入低秩張量恢復(fù)算法中，以取得比核范數(shù)更好的秩逼近效果；最后，通過與其他經(jīng)典算法在彩色視頻上開展對比實驗，充分驗證了本方法的有效性。

關(guān)鍵詞：圖像處理；低秩張量恢復(fù)；均衡張量；logDet 函數(shù)

中圖分類號：TP391" "文獻標識碼：A" "文章編號：1007 - 9734 （2024） 05 - 0097 - 08

DOI：10.19327/j.cnki.zuaxb.1007-9734.2024.05.013

0 引 言

作為向量和矩陣的高階拓展，張量能夠充分利用數(shù)據(jù)的多線性結(jié)構(gòu)來提供更好的數(shù)據(jù)分析和理解。近年來，張量已經(jīng)被成功應(yīng)用于各種不同的領(lǐng)域，如信號處理[1]、計算機視覺[2]、數(shù)值分析[3]、數(shù)據(jù)挖掘[4]等。其中，低秩張量恢復(fù)算法因其能充分利用數(shù)據(jù)的低秩特性實現(xiàn)數(shù)據(jù)的補全和預(yù)測，受到廣泛關(guān)注[5]。而張量秩的定義在低秩張量恢復(fù)算法中起到了至關(guān)重要的作用，與矩陣的秩相比，張量的秩要更復(fù)雜。目前，張量秩有兩種定義被廣泛接受，即CP秩[6]和Tucker秩[7]，它們分別是基于CP分解和Tucker分解發(fā)展而來。其中，CP秩的求解被證明是一個NP難問題[8]，因此現(xiàn)有研究多集中于Tucker秩，即張量各展開矩陣的秩的集合。進一步，通過使用核范數(shù)替換秩，Tucker秩的求解可近似表示為計算各展開矩陣的核范數(shù)之和[9]。通過深入分析基于最小化核范數(shù)之和的低秩張量恢復(fù)方法在圖像恢復(fù)[10]、視頻恢復(fù)[11]等領(lǐng)域的應(yīng)用，我們發(fā)現(xiàn)其恢復(fù)結(jié)果不夠理想，尤其是當已知元素的數(shù)目較少時。

針對這一問題，在前期研究中[12]將其歸結(jié)于張量的不均衡結(jié)構(gòu)。以彩色視頻為例，該張量第三個模的維度固定為3，遠小于其他模的維度，這種不均衡結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致出現(xiàn)一個極度不平衡且滿秩的展開矩陣，而滿秩矩陣并不適用于低秩優(yōu)化方法，會對恢復(fù)結(jié)果造成影響。同時，該研究還針對性地提出了一種重構(gòu)操作，以獲取更均衡的張量。實際上，對張量的結(jié)構(gòu)進行改變還出現(xiàn)在文獻[13]中，該研究將張量直接展開為矩陣進行計算，此方法雖然可以消除不均衡結(jié)構(gòu)帶來的影響，但過于劇烈的結(jié)構(gòu)變化也會導(dǎo)致部分結(jié)構(gòu)信息的丟失。此外，基于最新關(guān)于TT秩的研究，文獻[14]選擇將張量重構(gòu)為更高階的形式，并使用一系列較為均衡的矩陣的秩來表示張量秩。該方法由于有著較為嚴格的條件限制，目前在除了數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域之外的應(yīng)用較少。

此外，近期有研究認為導(dǎo)致算法恢復(fù)精度不理想的另一個重要原因在于秩的凸松弛，該方法并不總是有效的，甚至可能導(dǎo)致偏差[15]。文獻[13]的研究表明，理想的非凸函數(shù)方法與凸松弛方法之間在正確恢復(fù)所需已知元素的數(shù)量方面存在較大差距。因此，一些非凸函數(shù)，如logDet[16-17]和加權(quán)核范數(shù)[18]，受到了越來越多的關(guān)注，實驗表明，這些非凸函數(shù)能取得比核范數(shù)更好的恢復(fù)結(jié)果。文獻[19]則進一步證明，當使用[lp（0lt;plt;1）]范數(shù)替換 [l1]范數(shù)時，可以在已知元素較少時更為精確地完成張量重構(gòu)。

受上述研究的啟發(fā)，本文創(chuàng)新性地將均衡張量和非凸函數(shù)相結(jié)合，提出了一種混合低秩張量恢復(fù)方法，以獲得更高的恢復(fù)精度。

1 理論背景

1.1" 張量基礎(chǔ)

本文中，標量使用非粗體小寫字母表示，例如x；而對于向量，使用粗體小寫字母表示，例如x；為了便于區(qū)分，本文使用非粗體大寫字母表示矩陣，例如 X，而對于張量，則使用粗體大寫手寫體字母表示，例如[X]。因此，對于N 階張量，本文表示為 [X] [∈RI1×I2×…×IN]。

定義1（張量展開及Tucker秩） 張量[X]第[n]個模的展開矩陣表示為[X（n）] = unfoldn（[X]） [∈] [RIn×i≠nIi]，該矩陣的列是[X]的第[n]個模的纖維按順序排列構(gòu)成。與之相應(yīng)的，張量展開的逆運算符表示為 “fold”，即[X]= foldn（[X（n）]）。

N階張量的Tucker秩被定義為該張量所有展開矩陣的秩的集合，其表示為：

ranktc（[X]） = （rank（[X（1）]），...，rank（[X（N）]））

只有當所有展開矩陣[Xn，i=1，...，N]都是低秩矩陣時，張量[X]才是低秩張量。

定義2[12]對于一個秩為[ranktcX][=（r1，r2，…，rL）]的L階張量[X∈Rn1×n2×…×nL]，假設(shè)張量所有模的索引被分為兩個集合[F=i1，i2，…，ij?L={1，2，…，L}] 和[ J=L-F={ij+1，ij+2，…，iL}]，如果對于任意[im∈F]和[ij∈J]，都有[nim?nij]，且[im]對應(yīng)模的展開矩陣是滿秩或高秩，即[ ?q=nim-rim]是一個接近0的小整數(shù)，那么，張量[X]被稱為非均衡張量，對應(yīng)的模 [im]為其非均衡模。

根據(jù)上述定義可知，對于非均衡張量，其不均衡模的展開矩陣為高秩或滿秩矩陣。以彩色視頻為例，該數(shù)據(jù)為典型的四階非均衡張量，其中第三個模代表顏色信息，其維度固定為3，且遠小于其他模的維度。

推論1[20]（矩陣恢復(fù)條件）對于秩為[r]的矩陣[A∈Rj×k] ，存在常數(shù)[c0， c1gt;0]，使得當已知元素數(shù)目滿足條件[ m≥c0r（j+k）log （jk）]時，矩陣[A]能以至少[（1-e-c1m）]的概率通過最小化核范數(shù)方法實現(xiàn)準確恢復(fù)。

由推論1可知，矩陣的秩越大，使用最小化核范數(shù)方法恢復(fù)所需的已知元素數(shù)目越多，且準確恢復(fù)的概率越小。結(jié)合前文給出的非均衡張量定義可知，非均衡模對應(yīng)的滿秩或高秩展開矩陣需要更多的已知元素才能準確恢復(fù)，這是導(dǎo)致張量整體恢復(fù)精度不理想的一個重要原因。

1.2" 低秩張量恢復(fù)

對于[L]階張量[X∈Rn1×n2×…×nL]，其Tucker秩為[ranktc（X）=（rankX1，…，rankXL）]，通過充分利用張量的低秩特性，根據(jù)部分已知元素來補全張量，其低秩優(yōu)化模型為：

[minX rankX" "s.t." PΩX=B] （1）

其中 [X，B∈Rn1×n2×…×nL]是[L]階張量，Ω是張量已知元素的索引集合，[PΩ]（·）是一個采樣運算符，用于保持索引在Ω中的元素值不發(fā)生改變。

在上述模型中，函數(shù)[rank]（·）是離散的且非凸的，要獲得其全局最優(yōu)解是一個NP難問題。因此，與低秩矩陣優(yōu)化方法類似，通過使用核范數(shù)替換秩，可將該問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題：

[minX" X*=1LαiX（i）*s.t." PΩ（X）=B.] （2）

其中，常數(shù)[αi]滿足[αi]≥0 并且[1Lαi]= 1。

推論2[21]（張量恢復(fù)條件）對于張量[ X∈Rn1×n2×…×nL]，假設(shè)[ n1=…=nL=n，] [rankX1=…=rankXL=r] 。要想通過最小化各展開矩陣的核范數(shù)之和來正確恢復(fù)[X]，其已知元素的數(shù)目需滿足條件[ m≥CrnL-1]，其中[C ]為常數(shù)。

需要注意的是，推論2中已知元素需要滿足的條件[CrnL-1]實際上與秩為[r]，維度大小為[n×nL-1]的展開矩陣密切相關(guān)。 因此，對非均衡張量而言，如彩色視頻，其非均衡模的展開矩陣為高秩或滿秩矩陣，這也意味著需要更多的已知元素才能正確恢復(fù)張量，再次驗證張量不均衡結(jié)構(gòu)是導(dǎo)致其恢復(fù)結(jié)果不理想的主要原因之一。

2 本文研究方法

如前文所述，張量的不均衡結(jié)構(gòu)和秩的凸松弛是導(dǎo)致基于核范數(shù)之和的低秩張量恢復(fù)方法結(jié)果不理想的主要原因。為了解決該問題，本文首先給出一個重構(gòu)操作來構(gòu)建均衡張量，以減少不均衡結(jié)構(gòu)帶來的影響；其次，引入非凸logDet函數(shù)作為比核范數(shù)更好地秩逼近。通過將均衡張量與非凸函數(shù)相結(jié)合，本文提出一種高精度低秩張量恢復(fù)的方法，具體的技術(shù)路線如圖1所示。

2.1" 重構(gòu)均衡張量

對于給定的非均衡張量[X∈Rn1×…×ni×…×nL， ]其中，[ni]表示非均衡模的維度大小。為了將第[ i ]個模與第[ k ]個模合并，本文給出一個重構(gòu)操作[ Ti，kX，k=1，2，…，L，k≠i]，重構(gòu)后的均衡張量[ X=Ti，kX∈Rn1×…nz…×nk-1×nk+1…×nL，nz=（nink）]為[L-1] 階張量。

[X=Ti，kX= ]

[reshape（X，[n1，…，ni…，nk，nk-1，nk+1，…，nL]）] （3）

需要注意地是，對于包含有多個非均衡模的張量，重構(gòu)操作 [Ti，j（）]依然適用：

[Ti1，i2，jX=Ti2，i1，jX=Ti1，jTi2，j（X）] （4）

其中，[i1，i2]是不均衡模。

為了便于理解，本文以一個四階非均衡張量為例：假設(shè)原非均衡張量為[ X∈Rn×n×m×n，m?n]，其秩為[ ranktc（X）≤（r，r，m，r）]，根據(jù)上述定義，重構(gòu)后的張量為[ X=T3，4（X）∈Rn×n×（mn）]。

根據(jù)文獻[22]，經(jīng)過重構(gòu)操作后，可以減少準確恢復(fù)張量所需的已知元素數(shù)目。還是以上述四階非均衡張量為例，假設(shè)用[M（Xi）]表示展開矩陣準確恢復(fù)所需的已知元素數(shù)目，可知：

[M（X3）=Cm（n3+m）] （5）

[M（X2）=Cmr（n2+mn）] （6）

計算兩者之間的差異可得：

[MX3-MX2=Cmn2n-r+Cm2-Cm2rngt;Cmn2n-r-Cm2rn=Cmn（nn-r-mr）] （7）

考慮到[rlt;n] 及 [n-rgt;m]，可知：

[MXilt;MXi] （8）

2.2" 非凸 logDet 函數(shù)

非凸logDet函數(shù)最早應(yīng)用于低秩矩陣恢復(fù)方法中，其優(yōu)化模型可表示為：

[minX logDet（X+I）s.t." PΩ（X）=M] （9）

其中，X[∈Rn×n 是一個正矩陣，Ω為]已知元素的索引集合，[Ι] 是單位矩陣。

本文考慮將非凸logdet函數(shù)引入低秩張量恢復(fù)方法中的一個重要原因是其能比核范數(shù)更好地逼近秩，即

[logDetX+Ilt;X*] （10）

接下來將就此給出證明。

首先，分別根據(jù)各自定義，可得：

[logDetX+I=logi=1nσiX+1=i=1nlogσiX+1" ] （11）

[X*=i=1nσiX] （12）

其中，[σiX]為矩陣[X]的奇異值。

其次，構(gòu)建一個新的函數(shù)：

[f（X）=logσiX+1-σiX] （13）

對該函數(shù)求一階導(dǎo)可得：

[df（X）dσiX=1σiX+1-1] （14）

可知，當[σiXgt;0]時， [f（X）]為單調(diào)減函數(shù)，即有[f（X）lt;f（0）]=0。由此可知，非凸logDet函數(shù)是比核范數(shù)更緊致的秩逼近。

特別地，當矩陣只包含一個非零奇異值時，其秩固定為1，此時核范數(shù)的大小會隨著奇異值的大小發(fā)生線性變化，而非凸logDet函數(shù)的結(jié)果曲線則更加接近秩，即比核范數(shù)更好地逼近秩。兩者的對比結(jié)果如圖2所示。

2.3" 混合模型

首先，對于給定的[L]階非均衡張量[X∈Rn1×…×ni×…×nL]，其中，第[i]個模為非均衡模，通過前文給出的重構(gòu)操作，構(gòu)建一個均衡張量[X]：

[X=]

[Ti，i+1X =reshape（X，[n1，…，nini+1，ni+2…，nL]）] （15）

其次，將非凸logDet函數(shù)引入低秩張量恢復(fù)方法中，其低秩優(yōu)化模型可表示為：

[minX X*=i=1LαilogDet（X（i）XT（i）12+I）s.t." PΩ（X）=G] （16）

其中，[X]是重構(gòu)后的均衡張量，[αi] 是常量參數(shù)，且滿足[αi≥0]和[i=1Lαi=1]。

為了簡化表達式，定義[F（V）]函數(shù) ：

[F（V）=logDet（（VVT）12+I）=log∏Ini=1（σi（V）+I）=∑Ini=1log（σi（V）+I）] （17）

此外，對張量[X]進行變量分離，給出新的變量[Yi=X，i=1，2，???，N。]考慮到在很多應(yīng)用場景中，張量元素都是非負的，進一步如非負約束。

最后，本文提出的混合低秩張量恢復(fù)模型為：

[minYi" i=1LαiF（Yi，（i））s.t." X=Yi，i=1，2，…，LPΩ（X）=G] （18）

3 求解框架

使用交替方法乘子法求解上述模型，首先，對張量[X]定義一個簡單約束[?={X：PΩ（X）=G，X≥0}]，該約束將在后續(xù)求解[X]時使用，其次，將優(yōu)化模型表示為增廣拉格朗日函數(shù)：

[LYi，X，X∈△，Mi]

[=i=1LαiFYi，i+i=1Lu2" Yi-X2F]

[+i=1Llt;Mi， Yi-Xgt;] （19）

其中，懲罰因子[μgt;0]，[Mi∈RI1×I2×???×IL]是拉格朗日乘子。

最后，通過將[LYi，X，X∈△，Mi]函數(shù)中除某一個變量之外的其他變量視為常量，從而對該變量進行迭代更新，使得函數(shù)[LYi，X，X∈△，Mi]取最小值，重復(fù)上述步驟，依次更新不同的變量，其整體迭代優(yōu)化步驟如下：

[Step 1： Yk+1i←arg minLYi，Xk，MkiStep 2： Xk+1←arg minLYk+1i，Xk，MkiStep 3： Mk+1i =Mki+u?LYk+1i，Xk+1，Mki]

A.更新變量[Yk+1i]。

該子優(yōu)化問題為：

[Yk+1i][=argminYiαiFYi，i+u2 Yi-X+Miu2F] （20）

根據(jù)文獻[23]，該子優(yōu)化問題等價于：

[σ*n=arg minσnfσn+β2αnσn- σVn2F）] （21）

其中，[σ*n={σ*1，n，…，σ*i，n}]，[ σXn=σ1，Xn，…，σi，Xn]分別為矩陣[Yi，i]和[（Xi-Mi，iu）]的奇異值。

根據(jù)一階最優(yōu)解條件，目標函數(shù)相對于每一個奇異值的梯度都應(yīng)該消失，因此，針對每一個奇異值可求其最優(yōu)解：

[σ*i，n∈{11+σi，n+βαnσi，n-σi，Vn=0 }] （22）

最后，變量[Yk+1i]最優(yōu)解如下：

[Yk+1i=Fold（ Udiagσ*nVT）] （23）

其中，[Xi-Mi，iu=Udiag σXnVT]。

B.更新變量[Xk+1]。

該子優(yōu)化問題為：

[Xk+1=argminXi=1Lu2 Yi-X+Miu2F] （24）

注意到該目標函數(shù)是一個強凸二次函數(shù)，其最優(yōu)解可通過直接求一階導(dǎo)獲得，同時，還需要考慮變量[X]的約束條件[?]，即保持已知元素的值不變。

最后，變量[Xk+1]的最優(yōu)解如下：

[Xk+1=1L1L（uYi+Mi）+， xi1，i2，…iL?Ω" " " " " G" " " " ， xi1，i2，…iL∈Ω] （25）

C.更新變量[Mk+1i]。

該子優(yōu)化問題為：

[Mk+1i =Mki+u?LYk+1i，Xk+1，Mki] （26）

其最優(yōu)解為：

[Mk+1i =Mki+uYi-X] （27）

上述迭代求解過程可通過改變懲罰因子[u]的取值來加速，在本文中，設(shè)置乘子[t=1.05]，即有[uk+1=tuk]，具體的求解框架如算法1所示。

[算法1 混合低秩張量恢復(fù)方法 輸入：張量[G]，索引集合[Ω]，懲罰因子[μ，]最大迭代次數(shù)Maxiter，迭代停止條件Tol 初值：[Yi=Mi=0，i?{1，2，…，L}] 1： for n=1 to Maxiter do 2： for i=1 to L do 3： 根據(jù)公式 （23） 更新 [Yk+1i] 4： end for 5： 根據(jù)公式 （25） 更新 [Xk+1] 6： for n=1 to L do 7： 根據(jù)公式 （27） 更新[Mk+1i] 8： end for 9： 收斂條件[Xk+1-Xk][F/XkFlt;Tol] 10： end for 輸出： [X] ]

4 實驗分析

本文所有實驗均在同一環(huán)境下進行，計算機配置為AMD Ryzen 5 3500U，頻率為2.10GHz，內(nèi)存為 8GB，操作系統(tǒng)為Windows 10，使用的Matlab版本為9.5.0.944444（R2018b）。

兩種典型的基于Tucker秩的低秩張量恢復(fù)方法，HaLRTC[24]和LogDet[25]，被用來與本文方法進行對比。其中，HaLRTC是一種被廣泛使用的基于核范數(shù)之和的凸松弛方法，該方法已經(jīng)被證明在精度和效率上都有著較好地表現(xiàn)；而LogDet則是一種基于非凸函數(shù)的方法，其在恢復(fù)精度上有著出色的表現(xiàn)。

本文選取最典型的四階非均衡張量和彩色視頻來驗證本文提出方法的有效性。所有的測試視頻均可通過鏈接http：//trace.eas.asu.edu/yuv/下載。本文首先將YUV格式視頻轉(zhuǎn)換為RGB格式，再將其表示為四階張量。同時出于計算效率的考慮，只選取視頻前150幀圖片進行實驗，因此，實驗數(shù)據(jù)大小為[144×176×3×150]。需要強調(diào)的是，在重構(gòu)均衡張量時，為了使新的張量仍然有意義，選擇將張量最后兩個模合并。

此外，除相對誤差與時間，本文還通過峰值信噪比（PSNR）來量化張量恢復(fù)的精度：

[PSNRX，T=10log10nT2maxX-T2F ]。

根據(jù)表1和圖3中的實驗結(jié)果可得出如下結(jié)論：（1）對于所有視頻和采樣率，本文方法都能取得比另外兩種方法更高的恢復(fù)精度，尤其當采樣率較低時，其他兩種方法與本文方法的差距較大；（2）通過引入均衡張量，本文方法能進一步提高logDet方法的恢復(fù)精度；（3）HaLRTC方法效率最高，logDet方法由于引入非凸函數(shù)，其計算復(fù)雜度較高，計算成本比HaLRTC方法更高；（4）由于引入均衡張量，展開矩陣的規(guī)模增大，本文方法計算成本進一步增加，略高于logDet方法。

此外，為了更直觀地對比不同方法的恢復(fù)結(jié)果，本文在圖4中分別展示了視頻“Phone”和“Hall”在各種采樣率下的恢復(fù)結(jié)果。其中，從左到右依次為原始圖片、采樣圖片以及由HaLRTC、LogDet和本文方法恢復(fù)的圖片。需要注意地是，每一個視頻結(jié)果中從上到下依次為采樣率為10%的第60幀圖片，采樣率為20%的第90幀圖片，采樣率為30%的第120幀圖片。從結(jié)果可以看出，本文方法的恢復(fù)結(jié)果要優(yōu)于其他兩種方法，能恢復(fù)更多的圖片細節(jié)，尤其是在采樣率較低時，其恢復(fù)效果更好。

最后，為了更全面地描述不同方法的恢復(fù)質(zhì)量，本文在圖5中分別給出了兩種視頻所有圖片在不同采樣率下的PSNR值，從上到下的采樣率依次為10%、20%和30%。從結(jié)果可以看出本文方法能取得更好的恢復(fù)效果。

此外，為了進一步驗證本文方法的可靠性，本文還在更多的視頻數(shù)據(jù)上進行了實驗，實驗結(jié)果如表2所示。

5 總 結(jié)

本文針對基于核范數(shù)之和的低秩張量恢復(fù)方法在某些應(yīng)用，尤其是彩色視頻恢復(fù)中結(jié)果不理想的問題進行了深入思考，并提出一種均衡張量與非凸函數(shù)相結(jié)合的高精度低秩張量恢復(fù)方法。一方面通過引入重構(gòu)操作，以構(gòu)建更均衡的張量，從而解決不均衡結(jié)構(gòu)帶來的影響；另一方面通過引入非凸logdet函數(shù)作為比核范數(shù)更緊致的秩逼近，從而進一步提高算法的恢復(fù)精度。隨后，為了更全面地了解所提出方法，將其與其他經(jīng)典算法進行了對比，在不同彩色視頻中的實驗結(jié)果驗證了本文方法的有效性。最后，由于構(gòu)建均衡張量會導(dǎo)致展開矩陣規(guī)模增大，同時引入非凸函數(shù)會進一步增加計算復(fù)雜度，因此導(dǎo)致本文方法的計算成本較高，后續(xù)作者將進一步探究如何提高該方法的效率。

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責任編校：劉 燕，孫詠梅

A High Precision Low Rank Tensor Recovery Method Based on Balanced Tensor and Non-convex Function

SHI Chengfei，WANG Ming

（School of Aero Engine，Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450046，China）

Abstract：The classical low-rank tensor recovery method based on the minimization of the sum of the nuclear norms has been widely used in many fields.While，the results are not satisfactory in some specific scenarios，such as color video recovery，especially when the number of observations is small.One of the root causes lies in the unbalanced structure of the tensor，in which the dim sizes of some modes are much smaller than others，leading to extremely unbalanced and actually full or high rank unfolding matrices.Another reason should be attributed to the convex substitution of rank，and recent researches have demonstrated that some non-convex functions could approximate rank better than nuclear norm.To address the problem，this paper reconstructs a more balanced tensor through a reshaping operator，which retains the low rank property.Furthermore，a non-convex function is brought into tensor recovery as a better approximation of rank.Finally，experiments are carried out on color videos and the experimental results validate the effective of the method.

Key words：image processing；low rank tensor recovery；balanced tensor；logdet function

收稿日期：2024-01-21

基金項目：河南省重點研發(fā)與推廣（科技攻關(guān)）專項（222102210113）

作者簡介：石承飛，男，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為信號處理、圖像處理、低秩優(yōu)化算法等。