摘要：平面向量數(shù)量積的求值或最值（或取值范圍）問題是平面向量模塊知識中的重點與難點之一，破解此類問題有一定的基本策略與規(guī)律可循.結(jié)合一道高考真題，通過平面幾何圖形，結(jié)合平面向量數(shù)量積的常規(guī)技巧方法加以展開與應(yīng)用，歸納總結(jié)解題策略與規(guī)律，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：正方形；向量；最值；基底；幾何；坐標(biāo)

平面向量數(shù)量積成為近年高考試卷中常考常新的基本考點之一.在實際求解平面向量數(shù)量積的綜合問題時，借助平面向量“數(shù)”與“形”的雙重屬性，抓住數(shù)量積自身或“數(shù)”的應(yīng)用，或“形”的特征，并結(jié)合不同的應(yīng)用場景，選擇行之有效的方法來處理對應(yīng)的平面向量數(shù)量積，使得數(shù)量積求解問題的解決更加合理、有效、可行、正確、快捷，達到“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，知識與能力的有效融合.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題 （2024年高天津卷·14）在邊長為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點，CE=12DE，BE=λBA+μBC，則λ+μ=______；若F為線段BE上的動點，G為AF中點，則AF·DG的最小值為______.

涉及平面向量的線性運算與數(shù)量積問題，通常是平面向量模塊的一大基本考點.常見的思維方法，或通過“數(shù)”的基本屬性進行基底法運算，或通過“形”的幾何結(jié)構(gòu)進行直觀化處理，或通過“數(shù)形結(jié)合”的綜合應(yīng)用進行坐標(biāo)法求解等，很好地考查“四能”與關(guān)鍵能力等.

4 教學(xué)啟示

在實際解決平面向量數(shù)量積的求值與最值等綜合問題時，借助代數(shù)思維或幾何思維，通過不同思維下的代數(shù)法與幾何法的應(yīng)用，合理構(gòu)建成一幅完美和諧統(tǒng)一的“畫卷”，成為新高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個創(chuàng)新點與熱點.

解此類問題時，往往借助平面向量“數(shù)”與“形”的雙重屬性，抓住數(shù)量積自身“數(shù)”的屬性應(yīng)用或“形”的幾何特征，并結(jié)合不同的應(yīng)用場景，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對應(yīng)的平面向量數(shù)量積問題.

“數(shù)”與“形”的不同視角，使得數(shù)量積綜合問題的求解與應(yīng)用更加合理、有效、可行、正確、快捷，或通過“數(shù)”來代數(shù)運算，或通過“形”來直觀想象，也可以實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，有效實現(xiàn)知識與能力的有效融合.

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