摘要：“O2O”教學模式可以拓展教學的時間和空間，豐富教學資源，推進個性化教學的發(fā)展.

針對線上線下深度融合的高三復(fù)習課探究，

教師結(jié)合藝術(shù)生的學習現(xiàn)狀，根據(jù)“O2O”教學模式的基礎(chǔ)理論，將該模式融入高三一輪復(fù)習中，探索適合學生的線上線下深度融合教學路徑.

關(guān)鍵詞：線上線下；深度融合；“O2O”教學模式；高三

1 “O2O”教學模式概述

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出：注重信息技術(shù)與數(shù)學課程深度融合，優(yōu)化課堂教學，提高教學實效性，引導學生自主獲取資源，轉(zhuǎn)變教學與學習方式［1］.近年來，藝術(shù)生已成為高中生中的重要群體.由于藝術(shù)生數(shù)學基礎(chǔ)普遍薄弱，同一個班數(shù)學成績兩極分化大，尤其在高三備考時期，容量大課時少，數(shù)學課上好學生吃不飽，薄弱生難跟上.基于此，廣州市教育科學規(guī)劃項目“‘O2O’教學模式在藝術(shù)生數(shù)學教學中的實踐研究”課題組從學情出發(fā)，緊扣高三一輪復(fù)習課的“課前、課中、課后”三個重要節(jié)點，選取重要主題內(nèi)容進行線上線下深度融合的教學實踐與研究，經(jīng)過兩年努力，探索出“O2O”教學模式（Onlineto Offline即線上線下教學模式，以下簡稱“O2O”），它是將“線上教學”與“線下教學”兩部分優(yōu)勢互補，通過網(wǎng)絡(luò)思維解決教育問題，實現(xiàn)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)與課堂教學相結(jié)合，體現(xiàn)人機交互、師生交互和生生交互的教學模式［2］，其實施流程如圖1所示.

“O2O”由三個環(huán)節(jié)構(gòu)成：

第一環(huán)節(jié)，課前線上自學.教師利用晚修在班級群布置課前線上任務(wù).任務(wù)分兩類：一類是基礎(chǔ)知識回顧，教師針對薄弱生發(fā)布資源，學生通過資源觀看學習，回顧相關(guān)基礎(chǔ)知識；另一類是布置課前梯度任務(wù)單，教師發(fā)布調(diào)查問卷，學生在回顧知識后嘗試完成，以便了解學情，更好地把握課堂的深度與廣度.

第二環(huán)節(jié)，課中線下教學.課堂永遠是教學的主陣地.課堂教學是突破重難點、解決自學疑惑的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，更是學生認同并積極投入該模式學習的關(guān)鍵環(huán)節(jié).教學中，先反饋線上自學情況，然后針對重點、難點，通過師生活動，完成課堂任務(wù)，及時小結(jié)反思，布置分層作業(yè)，提升學生數(shù)學素養(yǎng)，高效備考.

第三環(huán)節(jié)，課后線上鞏固.根據(jù)線下課堂教學的情況，教師利用晚修或周末給學生推送微課.微課分兩類：一類是基礎(chǔ)型，主要回顧課堂的例題；另一類是提高型，是對課堂的拓展.學生在完成分層作業(yè)時，可根據(jù)自身情況選擇并反復(fù)觀看，到達及時鞏固、強化的效果.

2 高三復(fù)習課教學設(shè)計

為確保研究的真實性、學術(shù)性、典型性，筆者以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊（以下簡稱“教材”）“直線與平面垂直”復(fù)習課為例，呈現(xiàn)所任教高三年級的一次“O2O”模式下的一輪復(fù)習課及啟示.

2.1 教學分析

（1）單元框架下垂直關(guān)系的內(nèi)容分析

立體幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是考查空間想象能力的重要載體.通過呈現(xiàn)常見的平面基本模型和空間幾何模型，充分挖掘其結(jié)構(gòu)特征以及位置關(guān)系與度量關(guān)系，是高考考查的重點.由于空間幾何體的元素較多，聯(lián)系較緊密，因此對線面垂直的考查，往往會涉及到其他平行或者垂直定理的滲透與綜合，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.因此，立體幾何的學習要突出和抓好對線面垂直的學習，這樣才能更好地把握整個知識結(jié)構(gòu).如下圖2反映了垂直與方方面面的聯(lián)系.

（2）藝術(shù)生學情分析

藝術(shù)生的高三文化課一輪復(fù)習往往與藝考備考同步進行，這段時期學生對大部分的基礎(chǔ)知識印象不深，尤其基礎(chǔ)薄弱的學生，需反復(fù)學習才可喚醒記憶，而基礎(chǔ)較好的學生，喚醒后只能完成一些簡單任務(wù).總體來說，備考時間往往不足.本課前學生已回顧“平行關(guān)系單元”，本課作為“垂直關(guān)系單元”的第一課時，內(nèi)容重要，應(yīng)由淺至深，由易到難，多設(shè)置思維引導點，以任務(wù)驅(qū)動引領(lǐng)學生分析問題和解決問題，注重前后知識的聯(lián)系，完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

（3）教學目標

根據(jù)《標準》對本單元的描述，確定本節(jié)復(fù)習課的教學目標如下：（1）掌握直線與平面垂直的定義和判定定理，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想；（2）能從模型特征的視角充分挖掘幾何體中平面基本圖形的性質(zhì)以及度量關(guān)系，建立垂直關(guān)系，滲透平面化等轉(zhuǎn)化與化歸思想和強化模型意識.

（4）教學重點、難點

本課重點為歸納岀空間中垂直關(guān)系判定的核心及突破空間中垂直關(guān)系判定的核心問題，逐步形成解決問題的核心方法.難點為證明線面垂直要點的把握與提煉、核心經(jīng)驗的形成及在復(fù)雜問題中的應(yīng)用.

2.2 教學過程

2.2.1 課前線上自學，師生資源交互

教師通過班級群，從國家中小學智慧教育平臺、廣州電視課堂、各大教育教學類網(wǎng)站及本課題組組建的校本資源庫等，遴選合適的學習資源推送給學生，并下發(fā)學習任務(wù)單，供學生自主學習.

任務(wù)1：通過資源觀看，回顧直線與平面垂直的判定定理.

任務(wù)2：請分別用文字語言、圖形語言、符號語言，寫出線面垂直的定義.

任務(wù)3：請分別用文字語言、圖形語言、符號語言，寫出直線與平面垂直的判定定理.

任務(wù)4：運用直線與平面垂直判定定理的關(guān)鍵是什么？

任務(wù)5：〔教材第162頁習題8.6第（2）題〕設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的（ ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

設(shè)計意圖：通過問題驅(qū)動，引導學生構(gòu)建知識框架，喚醒沉睡經(jīng)驗，為學生的活動經(jīng)驗從模糊變得清晰莫定基礎(chǔ).

任務(wù)6：已知四面體PABC中可能有①PA⊥AB，②PA⊥AC，③△ABC為某圓內(nèi)接三角形且AB為直徑，④PA⊥平面ABC，⑤BC⊥平面PAC.如圖3，請以上述的一個或多個作為條件，一個作為結(jié)論，直接體現(xiàn)線面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理，并用語言表達該內(nèi)容.

設(shè)計意圖：開放性的問題情境設(shè)置，既可暴露學生思維的深度與存在的問題，又可讓學生構(gòu)建“線線垂直”與“線面垂直”關(guān)系的一維知識體系.

任務(wù)7：正方體中存在大量的線面垂直關(guān)系，請同學們參照試題1，改編或自編一道線面垂直的試題，需要包含答案，改編優(yōu)良的試題將用于課堂教學環(huán)節(jié).

試題1 （教材第171頁復(fù)習參考題8·第12題）如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，證明：B1D⊥平面ACD1.

設(shè)計意圖：通過編題，促使不同層次的學生得到各自不同創(chuàng)造力的發(fā)揮，教師從中選取備課資源，引起學生興趣，激發(fā)學生對課堂的期待感.

2.2.2 課中線下教學，師生合作探究

線上反饋：通過資源觀看，學生對定義、定理的單次應(yīng)用還沒熟練掌握，尤其書寫格式不規(guī)范，對定理的多次使用存在障礙，沒能抓住問題核心及基本思路方法.因此課中線下教學既要回歸教材、整合資源，也要把握高考方向，采用并列式、遞進式題組，給學生啟發(fā)誘導，夯實基礎(chǔ)，掌握重點，突破難點.

題組1

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，完成下列問題：

（1）如圖5，證明：B1B⊥AC；

（2）如圖6，證明：B1D⊥AC；

（3）如圖7，證明：AD1⊥平面A1B1D；

（4）如圖8，證明：B1D⊥平面ACD1；

（5）如圖9，若E，F(xiàn)分別為AC，BB1的中點，證明：EF⊥AC；

（6）如圖10，若E為AC的中點，F(xiàn)為BB1上一點，證明：D1F⊥AC.

追問1：本題組呈現(xiàn)什么特點，目標指向什么？問題解決的關(guān)鍵是什么？所需條件如何挖掘？

設(shè)計意圖：把教材習題、多位學生的編題整合為一個前后關(guān)聯(lián)的問題串，注重引導學生書寫規(guī)范和表達準確.其中第（5）問結(jié)合“EF∥B1D”或構(gòu)造等腰三角形，一題多解，開拓思路，引導學生經(jīng)歷線線垂直在立體幾何平面圖形中是如何產(chǎn)生、挖掘和呈現(xiàn)的.

追問2：點F在運動過程中，保持著什么結(jié)構(gòu)特征？同學們能歸納出什么數(shù)學模型？

設(shè)計意圖：通過小組討論，提煉第（6）問中的“D1-AC-F”結(jié)構(gòu)，由兩個等腰三角形拼接而成，并進行動態(tài)展示，給結(jié)構(gòu)命一個通俗有趣的名字“鱷魚的嘴巴”，如圖11，學生用自然語言并結(jié)合鱷魚的特征進行描述，生動形象，激發(fā)興趣.

追問3：同學們能用符號語言描述此模型的特征嗎？模型特征會受鱷魚張開嘴巴大小的影響嗎？

設(shè)計意圖：引導學生規(guī)范嚴謹?shù)貢鴮?，歸納出模型特征，挖掘模型中的垂直關(guān)系“BC⊥AD”，并對模型進行動態(tài)理解.

追問4：請對比試題2，同學們發(fā)現(xiàn)了什么？

試題2 （舊教材人教A版必修2第67頁練習1）如圖12，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，證明：VB⊥AC.

設(shè)計意圖：模型源于教材，在一輪復(fù)習中，要提高學生重視教材、回歸教材的意識.

題組2

（1）（2017年全國卷Ⅲ）如圖13，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD.證明：AC⊥BD.

（2）（2009年海南卷）如圖14，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°.證明：AB⊥PC.

（3）（2013年全國卷Ⅰ）如圖15，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.證明：AB⊥A1C.

追問1：上述問題有何特征？如何處理？

設(shè)計意圖：題組2采用高考真題，聚焦“鱷魚嘴巴”模型，進一步訓練學生分析基本圖形結(jié)構(gòu)特征，上升到模型中來，強化模型意識，重點落實證明過程的規(guī)范性，暴露藝術(shù)生常見的書寫、步驟等問題.

題組3

（1）（2011年新課標Ⅰ卷）如圖16，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.證明：PA⊥BD.

（2）（2018年全國卷Ⅱ）如圖17，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.證明：PO⊥平面ABC.

設(shè)計意圖：延續(xù)以上題組，多角度深挖基本圖形結(jié)構(gòu)中的垂直關(guān)系，其中本題組（1）的條件類似于題組2（3），卻要用到余弦定理和勾股定理逆定理，滲透平面化思想；本題組（2）容易誤導學生使用“鱷魚嘴巴”模型，引導學生要從問題出發(fā)，結(jié)合邊長等具體條件協(xié)同思考，切忌濫用模型.

小結(jié)思考：本節(jié)課你學習了什么？你是怎樣學習的？

設(shè)計意圖：學生發(fā)言，教師點評，提高學生學后反思的意識，深化對平面基本圖形的位置關(guān)系、度量關(guān)系的認知與理解，滲透平面化等轉(zhuǎn)化思想，強化模型意識，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

2.2.3 課后線上鞏固，師生優(yōu)化梳理

A組任務(wù)：如圖18，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G，H分別是DD1，BC1，CD，AD的中點.證明：（1）MN∥平面ABCD；（2）MN⊥平面A1AG.

設(shè)計意圖：繼續(xù)采用課前線上環(huán)節(jié)學生自編的優(yōu)秀題目作為課后A組作業(yè)，既能鞏固直線與平面平行、直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用，又能讓學生獲得成就感，激發(fā)學生課后完成作業(yè)的投入度.

B組任務(wù)：（1）（教材第152頁練習3）如圖19，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′.

（2）（2016年山東卷）在如圖20所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB，AB=BC，AE=EC，求證：AC⊥FB.

C組任務(wù)（選做）：請同學們從上述A，B組試題中，找出“面面垂直”關(guān)系，并給予證明.

設(shè)計意圖：一輪復(fù)習B組作業(yè)既緊扣教材，又銜接高考，加深學生對本課內(nèi)容的掌握.C組作業(yè)則給學有余力的學生進行拓展，為后續(xù)復(fù)習作鋪墊.

課后的線上鞏固環(huán)節(jié)中，教師根據(jù)學生的課堂練習與課后任務(wù)反饋的結(jié)果，及時整合相關(guān)微課進行推送，學生可通過課后微課的學習，從而突破本課的重點、難點及疑點，順利達成教學目標.

3 總結(jié)與展望

結(jié)合《標準》的要求，教師要有意識地積累數(shù)學活動案例［1］，重視“實踐性智慧”，借案例進行反思，高度重視案例（包括正例和反例）的分析，并能通過案例的比較獲得關(guān)于如何從事新的實踐活動的重要啟示［3］.“O2O”是課題組結(jié)合藝術(shù)生高三備考現(xiàn)狀，對新型教學模式的實踐，普遍得到學生、家長的認可.它對培養(yǎng)學生形成獨立的學習意識、促進全面發(fā)展有重要意義，但仍存在一些問題有待解決，如課前推送的資源沒形成體系、課后微課的整合是否有效等.課題組將繼續(xù)努力，對該模式是否適用于其他課型的推廣，作進一步探究.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：83.

［2］宋昱瑩.“O2O”教學模式在高中地理教學中的應(yīng)用研究［D］.石家莊：河北師范大學，2017.

［3］鄭毓信.課改背景下的數(shù)學教育研究［M］.上海：上海教育出版社，2012：109-111.