摘要：本文介紹了一款實用工具——Polypad，并通過教學(xué)片段分析和總結(jié)了該工具在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，希望通過合理運用能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性。

關(guān)鍵詞：實用工具；Polypad；教學(xué)片段

中圖分類號：G434 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 論文編號：1674-2117（2024）19-0093-03

教學(xué)片段一：利用Polypad進(jìn)行平面鑲嵌活動

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：“初中階段綜合與實踐領(lǐng)域，可采用項目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析問題、思考與表達(dá)、解決與闡釋社會生活以及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實問題，感受數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、金融、地理、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的融合，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力?！薄皩嵺`性”是綜合與實踐內(nèi)容的基本特征之一，而單靠實踐比較耗時、費力，此時若適當(dāng)借助數(shù)字資源輔助教學(xué)，則會收到意想不到的效果。下面，筆者以七巧板為例介紹如何設(shè)計瓷磚進(jìn)行平面鑲嵌。具體操作步驟如下：

（1）進(jìn)入Polypad操作界面（如圖1），界面共分三個工具欄，左側(cè)工具欄中有幾何、代數(shù)和概率等大量實用工具，界面的空白處是畫布區(qū)域。

（2）在Polypad界面左側(cè)工具欄中打開“幾何”下的“多邊形和形狀”，這里提供了一些常用的多邊形，把一個正方形拖入到畫布中，選中正方形后在圖形下方會彈出一個工具框，選擇“切”工具，把正方形切成兩半。

（3）按照相同的方法，把正方形切成七部分，然后分別設(shè)置成不同的顏色進(jìn)行區(qū)別，最后把它們分散排列開來，這樣就制作好了一個七巧板，如下頁圖2所示。學(xué)生利用自己制作的七巧板就可以進(jìn)行鑲嵌活動了。

教學(xué)片段二：利用Polypad探尋楊輝三角規(guī)律

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常需要通過觀察來探究規(guī)律?！皸钶x三角”是人教版八年級上冊“閱讀與思考”欄目的內(nèi)容，利用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，教師往往難以激發(fā)學(xué)生參與探究的積極性，因此可以借助Polypad畫布，引導(dǎo)學(xué)生繪制龐大的“楊輝三角”，然后從不同角度觀察、探究其中蘊涵的規(guī)律。具體操作步驟如下：

（1）在Polypad界面左側(cè)工具欄中打開“號碼”下的“號碼卡”，把號碼拖到畫布中并排列成楊輝三角圖形。需要注意的是，利用號碼卡最后一欄中的輸入框可以輸入任意一個號碼，如圖3所示。

（2）引導(dǎo)學(xué)生探究楊輝三角中蘊涵的規(guī)律。先讓學(xué)生全選一行數(shù)字，然后選擇復(fù)制，接著選擇合并（如圖4），此時所復(fù)制的這一行數(shù)會自動合成一個數(shù)，如第4行的5個數(shù)會合成16，重復(fù)這樣的操作，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)每一行各數(shù)之和剛好是行數(shù)的平方。接著，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)合作探究楊輝三角中蘊涵的其他規(guī)律。

（3）教師打開“數(shù)學(xué)游樂場”課程部分的課例資源——帕斯卡三角（楊輝三角），與學(xué)生共同欣賞楊輝三角的美，探索、總結(jié)楊輝三角中蘊涵的規(guī)律。這里的楊輝三角非常龐大、簡潔，而且具有互動性。例如，可以通過不同的顏色，體現(xiàn)從不同角度看到不同的序列以及由這些序列形成的神奇的圖案，如斐波那契數(shù)列等。

教學(xué)片段三：利用Polypad探究函數(shù)圖像的規(guī)律

在初中階段，學(xué)生主要學(xué)習(xí)的函數(shù)是一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)。以二次函數(shù)為例，學(xué)生用描點法畫圖，基本上能看出二次函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)與圖像和對稱軸的關(guān)系，但是若每次改變a、b、c的值都用描點法畫圖，是比較耗時、費力的，此時可引導(dǎo)學(xué)生在Polypad中繪制二次函數(shù)圖像并通過改變a、b、c的值來探究圖像的變化規(guī)律。具體操作步驟如下：

（1）在Polypad界面左側(cè)工具欄中打開“代數(shù)”下的“坐標(biāo)和表格”，把一個坐標(biāo)軸拖到畫布中，接著打開“代數(shù)”下的“可變滑塊”，拖動“a、b、c”三個可變滑塊到畫布中。

（2）選中界面最下方繪圖工具欄中的“x2”方程工具，在畫布中輸入方程“a·x2+b·x+c”，然后單擊它，界面下方出現(xiàn)繪圖圖標(biāo)（如下頁圖5），單擊它，系統(tǒng)就會自動繪制出二次函數(shù)的圖像，改變?nèi)齻€可變滑塊，改變系數(shù)的值，函數(shù)圖像也會隨著改變。

教學(xué)片段四：利用Polypad探究完全平方公式

教科書中的幾何圖形是靜止的，難以激發(fā)學(xué)生探究的熱情，若讓學(xué)生借助Polypad畫布制作“代數(shù)瓷片”，構(gòu)造幾何圖形，則可以大大提高學(xué)生參與課堂的積極性。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)完全平方公式時往往會出現(xiàn)“（x+y）2=x2+y2”的錯誤，若能借助Polypad，通過對面積的討論，學(xué)生便可以發(fā)現(xiàn)完全平方公式與面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更容易記住公式“（x+y）2=x2+2xy+y2”，進(jìn)而感受到幾何與代數(shù)內(nèi)在的統(tǒng)一性。具體操作如下：

（1）在Polypad界面左側(cè)工具欄中打開“代數(shù)”下的“代數(shù)瓷片”，依次將面積為x2、y2、xy的矩形拖到畫布中，拼接成如圖6所示圖形。

（2）當(dāng)Polypad界面左側(cè)工具欄中沒有現(xiàn)成的“代數(shù)瓷片”時，可以教學(xué)生自己制作瓷片，如要在Polypad畫布中構(gòu)造圖形說明等式“（x+3）2=x2+6x+9”，可以操作如下：

①從Polypad界面左側(cè)工具欄中拖動面積為x2的瓷片，然后點擊畫布下方工具欄中的“復(fù)制”按鈕，復(fù)制三份備用。

②單擊第1張備份瓷片，點擊畫布下方工具欄中的“水平分割”按鈕，點擊2次，便可將其平均分成4份，然后點擊畫布下方工具欄中的顏色按鈕，將顏色設(shè)置為綠色，并在這些瓷片上標(biāo)注“x”，拖動其中的3份，拼接到瓷片（x2）下方。類似地，單擊第2張備份瓷片，點擊畫布下方工具欄中的“垂直分割”按鈕，點擊2次，便可將其平均分成4份，然后點擊畫布下方工具欄中的顏色按鈕，將顏色設(shè)置為綠色，并在這些瓷片上標(biāo)注“x”，拖動其中的3份，拼接到瓷片（x2）右方。

③單擊第3張備份瓷片，先后點擊畫布下方工具欄中的“水平分割”和“垂直分割”按鈕各2次，便可把這塊瓷片平均分成16份，然后點擊畫布下方工具欄中的顏色按鈕，將顏色設(shè)置為橙色，在這些瓷片上標(biāo)注“1”，然后拖動其中的9份依次拼接到剛才所得圖形的右下方，得到一個正方形，這個正方形可以直觀表達(dá)等式“（x+3）2=x2+6x+9”。

（3）滑動Polypad界面左側(cè)工具欄下方的“x滑條”，可調(diào)整畫布中圖形的大小。學(xué)生可以用類似的方法，在畫布中構(gòu)造不同的圖形來表示不同的等式，如x2-4x+4=（x-2）2，x2+6x+2=（x+3）2-7等，學(xué)生在操作中得以從幾何的角度直觀地理解完全平方公式和“配方”，體會幾何與代數(shù)內(nèi)在的統(tǒng)一性，感悟數(shù)形結(jié)合思想。

限于篇幅，Polypad更多的應(yīng)用有待大家自行探索。

基金項目：廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“初中數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)的實踐與研究”（編號：2023C402）。