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圓周率計算:中國古代數(shù)學發(fā)展史上的明珠

2024-10-11 00:00:00孫越姚豆豆
科學大眾(中學) 2024年9期

從蠻荒到開化,從結(jié)繩計數(shù)到四則運算……在探索數(shù)學的道路上,華夏民族的祖先不斷向前。

在14 世紀以前,中國一直是世界上數(shù)學最發(fā)達的幾個國家之一,尤其在圓周率的推算上,一直保持著遙遙領(lǐng)先的地位。圓周率計算的精準度,在一定程度上反映了當時一個國家數(shù)學發(fā)展的水平。在這方面,我國著名數(shù)學家祖沖之將圓周率的推算結(jié)果精確到了小數(shù)點后7 位。這個紀錄在世界上保持了近千年的時間。

圓,是一種普遍存在的圖形,遍布于人類生活的各個方面。人類對圓的探索與思考,自然而然地延伸到了對圓周率的研究上。圓周率,即圓的周長和直徑的比值。它是一個神秘莫測的無理數(shù),具有無窮無盡的小數(shù)。直到今日,人類仍然對它進行著不斷的探索。圓周率的推算,見證了我國古代數(shù)學的發(fā)展,也印證著我國古代數(shù)學的輝煌。

從“周三徑一”到割圓術(shù)

根據(jù)現(xiàn)有記載,我國圓周率的推算最早可以追溯到《周髀算經(jīng)》一書。《周髀算經(jīng)》約成書于公元前1 世紀,那時書中已經(jīng)提出了“周三徑一”的說法,即圓的周長是直徑三倍。但是,《周髀算經(jīng)》一書中并沒有給出明確的理論依據(jù)。當時,圓周率只是一個粗略的數(shù)值,是人們在對田畝的測量中發(fā)展的經(jīng)驗性認識。這種說法體現(xiàn)了中國古人對圓周率的初步探索。

北京教育學院歷史系主任方美玲認為:“圓周率的準確計算,對把握天體的運行規(guī)律從而精確歷法有決定性作用?!彪S著社會的發(fā)展,“周三徑一”逐漸不能滿足精確歷法的需求。公元1世紀,西漢學者劉歆打造了更為精準的圓周率測量工具——律嘉量斛。劉歆是第一個打破自古沿用的“周三徑一”、去追求更精確圓周率數(shù)值的人。他把圓周率的數(shù)值精確到了3.154 7,世稱“歆率”。

從“周三徑一”到歆率,不難看出當時人們對圓周率的計算還停留在實測中,缺少理論方面的計算。這一局面直到東漢時期數(shù)學家張衡的出現(xiàn)才被打破。張衡從圓與它的外切正方形的關(guān)系入手,開始計算圓周率。在《算罔論》和《靈憲》中,都記載著張衡關(guān)于圓周率測算的方法。張衡的計算過程較為復(fù)雜,魏晉時期數(shù)學家劉徽對張衡的計算工作進行介紹時,曾批判說:“然增周太多,過其實矣?!钡豢煞裾J的是,張衡開辟了一個新的思路,為圓周率計算提供了一種理論方法。

劉徽對圓周率進行了進一步的探索,創(chuàng)造出了割圓術(shù)。劉徽在為《九章算術(shù)》所作的注中說:“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣。”簡單來說,就是用圓內(nèi)接正多邊形去分割圓,通過不斷分割,使正多邊形的周長接近圓的周長。分割越多,就越精準。劉徽的割圓術(shù)體現(xiàn)了一種極限思維,為圓周率的計算建立了相關(guān)理論和算法。

從《周髀算經(jīng)》到《九章算術(shù)注》,從“周三徑一”到割圓術(shù),在古人不斷追求圓周率的精確計算之路上,我們可以看到中國古代數(shù)學的不斷進步。經(jīng)驗性認識、測量工具的改進、理論方面的計算、精準科學方法的出現(xiàn)……圓周率計算方法的不斷進步,推動著我國古代數(shù)學的發(fā)展。

將圓周率精確到小數(shù)點后7 位

提起圓周率,我們現(xiàn)在想到的往往是3.141 592 6。早在公元480 年,祖沖之就計算出了這一數(shù)值。他將圓周率精確到了小數(shù)點后7 位,界定在3.141 592 6和3.141 592 7 之間。這不僅在當時是最精準的數(shù)值,而且在往后近千年里都無人超越。

關(guān)于祖沖之是如何計算出圓周率的,至今未有確切答案。祖沖之在《綴術(shù)》中介紹了求圓周率數(shù)值的方法,可惜《綴術(shù)》在戰(zhàn)火中遺失,未能流傳至今。我們現(xiàn)在只能在《隋書·律歷志》中看到相關(guān)記載。在《隋書》中,雖然沒有記載祖沖之計算圓周率的具體方法,但是記載了祖沖之計算圓周率的成果。在聊城大學教授房元霞看來,如果這一結(jié)果是祖沖之用割圓術(shù)計算所得,就需要對9 位數(shù)字進行130 次以上的各種運算,這無疑是一項大工程。這里就不得不提到祖沖之計算圓周率的主要工具——算籌。每一次圓周率的計算都是9 位數(shù)的計算,使用算籌計算的難度十分大。盡管如此,祖沖之最后的計算結(jié)果誤差極小。

圓周率數(shù)值計算結(jié)果的不斷精確,反映著我國古代數(shù)學家在數(shù)學思想和方法等方面的進步。正是由于一代代數(shù)學家進行研究,我國古代數(shù)學才能領(lǐng)先于世界。

思想延伸到現(xiàn)代科研中

我國古代圓周率的計算方法包含著許多精妙的思想,至今仍影響著現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展。在劉徽的割圓術(shù)中,割圓越多,內(nèi)接多邊形就越接近圓,測量的數(shù)據(jù)就越準。這種極限思維不僅在當時是一種令人驚嘆的創(chuàng)新思維,在當下的數(shù)學研究中也起著重要作用。極限思維就是沒有窮盡的計算過程,現(xiàn)代的微積分、數(shù)值分析、復(fù)雜變量理論等數(shù)學研究中都運用了極限思維。除此之外,在圓周率中發(fā)揮重要作用的幾何模型也在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展中占據(jù)重要地位。

北京大學科學與社會研究中心教授孫小禮認為,祖沖之在圓周率方面的成就是與“搜煉古今”“咸加該驗”和決不“虛推古人”的科學精神分不開的,是與他艱苦卓絕的科學勞動和堅韌不拔的堅強毅力分不開的。在現(xiàn)今社會,創(chuàng)新發(fā)展需要“咸加該驗”,要懷抱著嚴謹?shù)男膽B(tài)對待科研工作,進行堅持不懈的努力。

人類對圓周率十分癡迷,至今仍在進行小數(shù)點后的計算。運用計算機技術(shù),現(xiàn)代科研人員已經(jīng)可以將圓周率計算到小數(shù)點后萬億位。目前,圓周率的精確計算主要是為了對計算機進行性能檢測,計算機得出的數(shù)值越精準,說明計算能力越強。圓周率日趨精準,也體現(xiàn)著現(xiàn)代科學技術(shù)的不斷進步。

文章來源:《科技日報》

(責任編輯:吳宇)

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