“統(tǒng)計(jì)與概率”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域之一，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)素養(yǎng)的重要知識(shí)載體，不過因其在評(píng)價(jià)中分值少、試題總體難度不高經(jīng)常不被教師和學(xué)生重視.對(duì)比新舊課標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》從整體上提高了對(duì)該領(lǐng)域的要求，確立了從數(shù)據(jù)意識(shí)到數(shù)據(jù)觀念的階梯式培養(yǎng)目標(biāo)[1]，特別指出要讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)分析的必要性，形成和發(fā)展數(shù)據(jù)觀念和模型觀念[2].那么該如何在實(shí)際教學(xué)中落實(shí)這一培養(yǎng)目標(biāo)，提高學(xué)生的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)呢？下面謹(jǐn)以筆者的一節(jié)市級(jí)公開課“頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖”為例，談?wù)勛约旱睦斫?

1 教材分析

“頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖”這一課安排在蘇科版八年級(jí)下冊“數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”這一章.在這之前，學(xué)生已經(jīng)了解了數(shù)據(jù)收集的方式，會(huì)根據(jù)不同需要選擇不同的統(tǒng)計(jì)圖（條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖）來描述數(shù)據(jù).本節(jié)內(nèi)容則是在學(xué)習(xí)了頻數(shù)和頻率概念的基礎(chǔ)上，研究如何用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖來描述連續(xù)型統(tǒng)計(jì)量的數(shù)據(jù)分布情況，并利用這兩個(gè)工具來解釋數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，從而對(duì)實(shí)際問題作出簡單的判斷和預(yù)測.

2 初步設(shè)想

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是分組的必要性以及如何確定分組.為了突破難點(diǎn)，基于課本上研究50名學(xué)生身高分布情況的問題，筆者設(shè)計(jì)了如下問題串：

（1）綜合分析這50個(gè)數(shù)據(jù)，你得到了哪些信息？

（2）用什么方法來描述這個(gè)樣本體現(xiàn)出的學(xué)生身高范圍和整體分布情況？

（3）生活中是否有對(duì)數(shù)據(jù)分組的例子？

（4）如果分組研究數(shù)據(jù)，你想將數(shù)據(jù)分成多少組？如何分？

3 改進(jìn)思路

根據(jù)初步設(shè)想試講后，發(fā)現(xiàn)這樣設(shè)計(jì)存在很大的問題：

（1）分組的必要性真的講清楚了嗎？其實(shí)，根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)，大部分學(xué)生對(duì)“整體分布”一詞的理解并不深刻，還不明白為什么要分組就在教師的“指揮”下開始嘗試了.

（2）在“分組”環(huán)節(jié)師生討論過久，導(dǎo)致后面留給學(xué)生自己制表、繪圖的時(shí)間較短，而且因?yàn)闆]有明確分組方法，學(xué)生在自主制表、繪圖環(huán)節(jié)大多沒有選擇“加一位小數(shù)”的分組方法.

（3）教師的展示并不能代替學(xué)生的學(xué)習(xí)，比如制表中劃記的過程，根據(jù)表來繪圖的過程都應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷.因此學(xué)生在自主繪圖時(shí)普遍感到困難.

試講之后筆者重點(diǎn)思考了如下問題：

（1）為何要研究本節(jié)內(nèi)容？分組的必要性這一難點(diǎn)該如何突破？

（2）有了頻數(shù)分布表，為什么要繪制頻數(shù)分布直方圖？它們的意義、作用分別是什么？

（3）作為一節(jié)統(tǒng)計(jì)課，如何讓學(xué)生感受到進(jìn)行數(shù)據(jù)整理、描述和分析的重要性，從而發(fā)展數(shù)據(jù)觀念？

之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用三種統(tǒng)計(jì)圖來直觀描述數(shù)據(jù)，但對(duì)于連續(xù)型的統(tǒng)計(jì)量，學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)繪制出的統(tǒng)計(jì)圖不能清楚地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特征和規(guī)律，這也是本節(jié)課學(xué)習(xí)的必要性.為了讓學(xué)生能體會(huì)到這一點(diǎn)，不妨以問題“為了了解身高的整體分布情況，能否用我們學(xué)習(xí)過的統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行描述？”順應(yīng)學(xué)生的思維，啟發(fā)學(xué)生思考.

同時(shí)，新課標(biāo)中指出對(duì)于“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)以現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例為背景，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)實(shí)際問題中數(shù)據(jù)的分類，感悟數(shù)據(jù)分析的必要性，形成和發(fā)展數(shù)據(jù)觀念和模型觀念[2].因此，在課堂中創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題，使用真實(shí)的數(shù)據(jù)很有必要，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng).

基于以上思考，筆者重新設(shè)計(jì)了教學(xué)思路：提出問題（創(chuàng)設(shè)問題情境）—整理數(shù)據(jù)（引出分組的必要性）—討論分組（如何合理分組）—制表（讀表、理解意義）—繪圖（讀圖、理解意義）—解決問題（形成判斷和決策）.

4 課例呈現(xiàn)

4.1 提出問題

問題現(xiàn)我校八年級(jí)要舉行班級(jí)廣播操比賽，準(zhǔn)備從本班43名同學(xué)中挑選身高差不多的30名同學(xué)參加比賽，該如何確定這30名學(xué)生呢？

學(xué)生提出為解決這個(gè)問題，需要收集全班同學(xué)的身高數(shù)據(jù)，并且要了解身高數(shù)據(jù)的整體分布情況.這時(shí)展示課前剛剛收集到的43個(gè)身高數(shù)據(jù).（現(xiàn)場測量學(xué)生的身高，一邊測量一邊錄入到excel表格里.）

教學(xué)說明：首先讓學(xué)生回憶一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)需要經(jīng)歷的過程，即“提出問題—收集數(shù)據(jù)—整理、描述數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—解決問題”；然后拋出上述問題，對(duì)于這個(gè)問題，同樣地，需要先收集數(shù)據(jù)，再對(duì)其進(jìn)行整理和描述，為了解身高數(shù)據(jù)的整體分布情況，就需要分組整理數(shù)據(jù)，初步引出分組的必要性.在該活動(dòng)中，以真實(shí)的情境為載體，現(xiàn)場收集43名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的真實(shí)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性.

4.2 整理數(shù)據(jù)

問題1觀察這些數(shù)據(jù)，你能從中獲得哪些信息？

問題2前面我們已經(jīng)學(xué)過三種統(tǒng)計(jì)圖，是否可以用其中一種統(tǒng)計(jì)圖來描述數(shù)據(jù)，從而獲得整體分布情況？

對(duì)于問題1，學(xué)生從兩方面作了回答.一是觀察到數(shù)據(jù)中的最大值是182，最小值是150，即能夠求出這組數(shù)據(jù)的范圍；二是估計(jì)出身高在160～170之間的人數(shù)較多，但并不確定.接著教師追問“那怎么才能更直觀并且相對(duì)準(zhǔn)確地描述數(shù)據(jù)呢？”，進(jìn)而拋出問題2.學(xué)生普遍認(rèn)為可以用學(xué)過的條形統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行描述，橫軸是每個(gè)身高的數(shù)據(jù)，縱軸是對(duì)應(yīng)身高的人數(shù).教師現(xiàn)場利用excel工具繪制出學(xué)生想要的條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖1）.

問題3觀察這個(gè)條形統(tǒng)計(jì)圖，你有怎樣直觀的感受？這說明什么？

對(duì)于問題3，學(xué)生表示這個(gè)條形統(tǒng)計(jì)圖中的長方形“多且亂”，不能較好地描述數(shù)據(jù)的整體分布情況.

教學(xué)說明：為了了解數(shù)據(jù)的分布特征和變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)分組，但學(xué)生的體會(huì)并不深刻，甚至不明白何為“整體分布”.所以考慮從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，已學(xué)的統(tǒng)計(jì)圖是否能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)？呈現(xiàn)出不理想的統(tǒng)計(jì)圖，通過發(fā)現(xiàn)“長方形多而亂”體現(xiàn)出這樣的條形統(tǒng)計(jì)圖并不能直觀描述數(shù)據(jù)的整體分布情況，學(xué)生才能理解何為“整體分布”以及尋找更恰當(dāng)?shù)姆绞?考慮到條形統(tǒng)計(jì)圖的繪制不是本節(jié)課的重點(diǎn)，繪制也比較繁瑣，所以選擇現(xiàn)場用excel生成.

4.3 分組

問題1要想了解這組數(shù)據(jù)的整體分布情況，怎么辦？

追問：在我們以往的學(xué)習(xí)生活中，有沒有這樣處理數(shù)據(jù)的例子？

問題2那該如何分組呢？請(qǐng)大家自己試一試，將你認(rèn)為合理的分組結(jié)果寫在學(xué)習(xí)單上.

問題3請(qǐng)根據(jù)討論修改你的分組.

學(xué)生提出需要分組處理數(shù)據(jù)，并從對(duì)考試成績分段研究的實(shí)際例子中再次感受到研究的意義.學(xué)生的初步分組主要有以下錯(cuò)誤：（1）對(duì)于同一個(gè)數(shù)據(jù)，同時(shí)存在兩組中；（2）分界值不連續(xù)，導(dǎo)致有的數(shù)據(jù)無法分組.針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師以“如果有一個(gè)數(shù)據(jù)是159.5該放在哪一組？”追問引發(fā)討論.學(xué)生認(rèn)為可以取近似值，四舍五入當(dāng)作160，這也是一種處理辦法，但如果不能取近似值呢？學(xué)生接著說就在每一分組后面?zhèn)渥⒉话舷拗?“那可不可以用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示呢？”從而得到用不等式來確定分組的方法.

還有學(xué)生提出因?yàn)檫@里身高數(shù)據(jù)都是整數(shù)，所以分組的分界點(diǎn)可以精確到十分之一，這樣就能保證每一個(gè)數(shù)據(jù)有唯一分組.如果數(shù)據(jù)中出現(xiàn)小數(shù)呢？那就讓精確度再提高一位，共同討論出“加一位小數(shù)”的方法.

對(duì)于是先確定組距還是組數(shù)，其實(shí)都可以.因?yàn)榻M數(shù)＝極差÷組距，所以為了計(jì)算的方便，往往會(huì)選擇先確定組距.分多少組合適取決于想要的分布精確度，組數(shù)越多，數(shù)據(jù)分布越精細(xì).

教學(xué)說明：如何恰當(dāng)分組是本節(jié)課的難點(diǎn)，分組的關(guān)鍵是分幾組、組距多大及如何確定分點(diǎn)，分組的結(jié)果要確保每一個(gè)數(shù)據(jù)都有“家”，且有唯一的“家”.在這里，筆者并沒有把分組的流程格式化地教給學(xué)生，而是希望學(xué)生在嘗試、比較、反思的過程中體會(huì)得出分組的方法.

4.4 制表

問題1接下來要統(tǒng)計(jì)每一個(gè)組有多少數(shù)據(jù)，請(qǐng)大家采用劃記的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并填入表中.

問題2表1就是我們今天要學(xué)的頻數(shù)分布表.你覺得這個(gè)表有什么作用？

問題3根據(jù)表1，你能描述我班學(xué)生身高的整體分布情況嗎？

4.5 繪圖

問題1你能根據(jù)頻數(shù)分布表設(shè)計(jì)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖來描述數(shù)據(jù)嗎？

問題2比較同學(xué)們畫的這兩幅圖（圖2，圖3），你覺得哪幅圖更準(zhǔn)確？為什么？

問題3問題2中繪制的圖有什么用？

受條形統(tǒng)計(jì)圖的負(fù)遷移影響，不少學(xué)生繪制的圖如圖2，教師選取學(xué)生的不同作品進(jìn)行投屏展示，學(xué)生指出頻數(shù)分布直方圖的條形之間應(yīng)該是沒有間隙的，因?yàn)榉纸M的數(shù)據(jù)是連續(xù)的，進(jìn)而歸納出頻數(shù)分布直方圖與條形統(tǒng)計(jì)圖的區(qū)別和聯(lián)系.從頻數(shù)分布直方圖中，可以較為直觀地看出身高數(shù)據(jù)的整體分布情況.

4.6 解決問題

問題1該如何確定參加廣播操比賽的30名學(xué)生呢？

問題2觀察頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，你還能作出怎樣的推斷和估計(jì)？你覺得估計(jì)的方案科學(xué)嗎？

教學(xué)說明：從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，再回歸到解決問題，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，獲得對(duì)統(tǒng)計(jì)全過程的理性思考，形成統(tǒng)計(jì)思維.在解決問題的過程中，感受用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，體會(huì)頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的實(shí)用性.

5 教學(xué)思考

5.1 以現(xiàn)實(shí)問題為背景，經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)全過程

統(tǒng)計(jì)教學(xué)如何讓學(xué)生感受到其重要性與實(shí)用性，重點(diǎn)在于讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過程.創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，對(duì)真實(shí)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，經(jīng)歷“提出問題—收集數(shù)據(jù)—整理、描述數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—解決問題”的完整過程，更能激起學(xué)生研究的興趣，提高學(xué)生的參與度.學(xué)生在解決問題的過程中，知道數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息，能根據(jù)問題的背景和所要研究的問題確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法，感受到分組、制表、繪圖每一步的意義和作用.

5.2 立足新知與舊知差異，體會(huì)新知適用性

通過不理想的條形統(tǒng)計(jì)圖促使學(xué)生感受到利用舊知不能解決新問題，即如果一個(gè)數(shù)據(jù)一組，不能較好地描述數(shù)據(jù)的整體分布情況，從而為了解數(shù)據(jù)的總體分布特征和變化規(guī)律需要進(jìn)行分組研究，分組整理就需要用到頻數(shù)分布表，為了更直觀呈現(xiàn)，就需要利用頻數(shù)分布直方圖.

自主繪圖時(shí)讓學(xué)生再次體會(huì)頻數(shù)分布直方圖與條形統(tǒng)計(jì)圖的聯(lián)系與區(qū)別，頻數(shù)分布直方圖的橫向指標(biāo)是連續(xù)的，是特殊的條形統(tǒng)計(jì)圖.在對(duì)比中，明確對(duì)于連續(xù)型統(tǒng)計(jì)量，需要使用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

5.3 形成合理判斷與決策，感悟統(tǒng)計(jì)思想

由本班學(xué)生的身高分布情況去推斷全年級(jí)身高的分布情況，是在用樣本的頻數(shù)分布去估計(jì)總體的分布情況，是進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)推斷，是對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出預(yù)測.決策是否合理，關(guān)鍵取決于樣本是否具有代表性，由此從中體會(huì)數(shù)據(jù)分析的重要性，感悟通過樣本特征估計(jì)總體特征的思想.

根據(jù)圖表呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)分布情況，學(xué)生能感悟到數(shù)據(jù)分析的必要性，能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值，會(huì)用數(shù)據(jù)的分析結(jié)果，形成合理的判斷或決策，發(fā)展數(shù)據(jù)觀念.

參考文獻(xiàn)：

[1]宋乃慶，劉彩霞，陳婷.義務(wù)教育新課標(biāo)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的發(fā)展變化——基于數(shù)據(jù)素養(yǎng)培養(yǎng)的視角[J].課程5教材5教法，2022，42（9）：27-34.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.