［摘 要］ 相對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)教材中的閱讀材料更具趣味性. 實(shí)踐證明，借助數(shù)學(xué)閱讀材料滲透數(shù)學(xué)文化具有重要的教學(xué)價(jià)值，值得每一個(gè)教師去研究與思考. 文章以“橢圓的定義”教學(xué)為例，以閱讀材料“刁尼秀斯之耳”為主線，從“呈現(xiàn)閱讀材料，引出橢圓”“逐步探索問(wèn)題，挖掘性質(zhì)”“實(shí)踐操作探索，深入理解”“抽象概括總結(jié)，構(gòu)建概念”四方面展開分析，并有針對(duì)性地談一些思考與感悟.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)文化；閱讀材料；橢圓

數(shù)學(xué)文化涵蓋數(shù)學(xué)思想的演變、方法的應(yīng)用、觀點(diǎn)的提出，以及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)美等人文元素. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在科技與社會(huì)發(fā)展中的推動(dòng)作用，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，從真正意義上提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、人文精神與科學(xué)素養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化有顯性融入與隱性融入兩種方法，知識(shí)本身所攜帶的數(shù)學(xué)文化為隱性融入，而以閱讀材料呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化則為顯性融入. 學(xué)生通過(guò)對(duì)學(xué)科知識(shí)背景的了解，可不斷開闊視野，挖掘潛能. 為此，本文結(jié)合“橢圓的定義”教學(xué)具體談一談如何應(yīng)用顯性閱讀材料，滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程

1. 呈現(xiàn)閱讀材料，引出橢圓

閱讀材料 如圖1所示，此為西西里島的巖洞內(nèi)所關(guān)押的犯人與看守者，犯人因無(wú)法承受長(zhǎng)期孤獨(dú)的生活計(jì)劃越獄. 每次越獄之前，犯人都會(huì)做一套詳細(xì)的越獄方案，但每次都以失敗告終，這就導(dǎo)致他們互相猜忌、懷疑，認(rèn)為犯人中有告密者. 然而，不論怎么排查，都沒有發(fā)現(xiàn)誰(shuí)是告密者. 一個(gè)犯人偶然發(fā)現(xiàn)巖洞的形狀為橢圓形，不論犯人在巖洞內(nèi)多么小聲地交談，聲音都能經(jīng)過(guò)巖洞壁反射到洞口被看守者聽到，所以看守者對(duì)犯人的一舉一動(dòng)都了如指掌. 自此，該巖洞被稱為“刁尼秀斯之耳”.

師：這是一個(gè)神奇的故事，看守者為何能聽見犯人談話內(nèi)容呢？

生1：犯人發(fā)出的聲音，經(jīng)過(guò)巖洞壁的反射，最終匯聚到洞口，被看守者聽到.

師：巖洞壁的曲線形狀是什么呢？

生2：如圖2所示，這是一個(gè)橢圓形.

師：這是結(jié)合閱讀材料所獲得的形狀，既然大家都覺得是橢圓形，那么該怎樣完整地形容橢圓呢？說(shuō)一說(shuō)它的形成原理.

設(shè)計(jì)意圖 閱讀材料的展示，一方面刺激學(xué)生的感官系統(tǒng)，引發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的興趣；另一方面，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)該現(xiàn)象形成的原理，為抽象橢圓模型奠定基礎(chǔ). 根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建問(wèn)題，可有效啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生明確探索方向.

2. 逐步探索問(wèn)題，挖掘性質(zhì)

問(wèn)題1 橢圓的形成因素有哪些？哪些因素決定橢圓的形成？

結(jié)合閱讀材料內(nèi)容，學(xué)生稍作思索就發(fā)現(xiàn)看守者與犯人所處的地理位置決定了橢圓形成的要點(diǎn). 若將巖洞的軸截面理解為一個(gè)橢圓，則看守者與犯人所處的位置可理解為橢圓內(nèi)兩個(gè)恒定不變的點(diǎn)，聲音傳播可想象為從其中一點(diǎn)發(fā)出的射線撞擊橢圓壁后反射經(jīng)過(guò)另一點(diǎn)（如圖3所示）.

問(wèn)題2 如圖4所示，如果F，F(xiàn)為橢圓內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，而點(diǎn)P在橢圓上，那么

PF，

PF，

F

F存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生3：連接FP，F(xiàn)P，F(xiàn)F，形成△FFP，則

F

F-

FP<

FP或

F

F+

FP>

FP.

師：不錯(cuò)，除此之外，三者還有沒有其他數(shù)量關(guān)系？

生4：

FP+

FP>

F

F或

FP-

FP<

F

F.

問(wèn)題3 通過(guò)以上探索，可以確定

FP+

FP為固定值嗎？

如圖5所示，借助幾何畫板進(jìn)行演示，發(fā)現(xiàn)雖然

FP與

FP的值可以自由變化，但是它們的和卻不會(huì)因?yàn)辄c(diǎn)P位置的變化而變化，由此明確當(dāng)F，F(xiàn)為定點(diǎn)時(shí)，

FP+

FP的值為固定值.

問(wèn)題4 橢圓上的任意點(diǎn)與定點(diǎn)F，F(xiàn)之間的距離之和有什么特點(diǎn)？

依然應(yīng)用幾何畫板進(jìn)行演示驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)橢圓上的任意點(diǎn)與定點(diǎn)F，F(xiàn)之間的距離之和恒為常數(shù)2a，且2a>2c（2c為兩定點(diǎn)F，F(xiàn)之間的距離），橢圓的幾何特征浮出水面.

設(shè)計(jì)意圖 結(jié)合閱讀材料，學(xué)生很快就自主發(fā)現(xiàn)并提出橢圓上的點(diǎn)所滿足的數(shù)量關(guān)系. 而且，靈活、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用幾何畫板能促使學(xué)生在強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突中發(fā)現(xiàn)變化中的不變——P是橢圓上的任意一點(diǎn)，

FP+

FP為定值. 將橢圓的幾何特征挖掘出來(lái)，再次有效推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

3. 操作實(shí)踐探索，深入理解

師：我們運(yùn)用幾何畫板探究并驗(yàn)證了橢圓所具備的幾何性質(zhì)，除此之外，大家還能想到其他驗(yàn)證方法嗎？

活動(dòng)要求：如圖6所示，已知F（圓內(nèi)非F的一點(diǎn)）是圓F內(nèi)的一定點(diǎn)，A是位于圓周上的任意點(diǎn)，怎樣借助對(duì)折紙片的方法找出線段AF的垂直平分線？

生5：如圖7所示，對(duì)折紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，折痕就是線段AF的垂直平分線.

師：很好！如圖8所示，在圓上多處取點(diǎn)A，并不斷重復(fù)這個(gè)折疊過(guò)程，會(huì)有什么新的收獲？

生6：通過(guò)不斷折疊，發(fā)現(xiàn)無(wú)數(shù)條折痕最終圍成了一個(gè)橢圓.

師：折痕與橢圓之間有一個(gè)怎樣的位置關(guān)系？

生7：兩者相切.

師：有什么辦法證明？

生8：先要明確點(diǎn)P是否位于橢圓上. 如圖9所示，若2a為圓的半徑，直線l為折痕所在的直線，AF，AF與直線l分別相交于點(diǎn)P，C. 因?yàn)橹本€l為AF的垂直平分線，所以AC=CF，∠ACP=∠FCP，為直角. 由此不難獲得△CPA≌△CPF，所以PA=

PF. 所以

PF+

PF=

FP+AP=

AF=2a，也就是點(diǎn)P位于橢圓上.

師：根據(jù)以上探索可知，點(diǎn)P不僅位于橢圓上，還是橢圓與直線l的交點(diǎn)，那么，它是橢圓與直線l的切點(diǎn)嗎？

生9：從相交與相切的角度來(lái)看，若直線l與橢圓相交，則存在兩個(gè)交點(diǎn)，而相切只有一個(gè)交點(diǎn). 若點(diǎn)P是橢圓與直線l的唯一交點(diǎn)，則點(diǎn)P就是切點(diǎn).

師：有沒有什么辦法可以證明？

生10：如圖10所示，在△ANF中，

FN+AN>

FA. 根據(jù)等量替換法可知

FN+

FN=

FN+AN>

AF=2a.據(jù)此能確定點(diǎn)N并不在橢圓上，也就是說(shuō)直線l上只有一個(gè)點(diǎn)P處于橢圓上，所以點(diǎn)P是橢圓與直線l的切點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 實(shí)踐操作不僅能提升學(xué)生的探究能力，還能優(yōu)化學(xué)生的思維，幫助學(xué)生建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生從真正意義上領(lǐng)悟折痕與橢圓之間的位置關(guān)系.

4. 抽象概括總結(jié)，建構(gòu)概念

問(wèn)題5 怎樣結(jié)合橢圓的幾何特征總結(jié)橢圓的概念？怎樣根據(jù)橢圓的概念畫橢圓？

設(shè)計(jì)意圖 從橢圓的概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)與提煉，不僅能進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想體會(huì)橢圓概念的本質(zhì)，確定作圖的具體方法，還能讓學(xué)生基于多元表征，深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，為應(yīng)用與創(chuàng)新奠定基礎(chǔ). 同時(shí)令深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.

教學(xué)案例分析

本節(jié)課，以閱讀材料為起點(diǎn)引入教學(xué)主題，并圍繞閱讀材料提出探究問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從折紙活動(dòng)與幾何畫板的演示中發(fā)展自主探究能力，培育數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化. 從數(shù)學(xué)角度分析折痕與橢圓的位置關(guān)系，進(jìn)一步激活學(xué)生的思維，促使學(xué)生自主總結(jié)橢圓的概念，幫助學(xué)生提煉數(shù)形結(jié)合思想.

在訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很喜歡此類探究課，因?yàn)殚喿x材料讓課堂變得更加豐富，這是將生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)的教學(xué)方式. 學(xué)生還提出，許多著名建筑均融入了數(shù)學(xué)知識(shí)，彰顯生活與數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系. 數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)社會(huì)的抽象表達(dá)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理和模型建構(gòu)，揭示事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. 這是一節(jié)成功的課堂，學(xué)生從中不僅感知到閱讀材料的重要性，還體驗(yàn)到信息技術(shù)的介入使得數(shù)學(xué)知識(shí)更加直觀易理解.

關(guān)于閱讀材料的幾點(diǎn)思考與感悟

1. 用于課后閱讀

教材上的閱讀材料與數(shù)學(xué)文化有較大關(guān)系，很多內(nèi)容都是知識(shí)的形成歷程，這些閱讀材料是對(duì)教材正文的補(bǔ)充與拓展. 教師結(jié)合學(xué)情與教情利用好閱讀材料，采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略幫助學(xué)生更好地理解與掌握所學(xué)知識(shí). 若閱讀材料涉及數(shù)學(xué)史、小故事或數(shù)學(xué)家，教師可鼓勵(lì)學(xué)生課后自主閱讀，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展，并撰寫心得進(jìn)行交流.

2. 用于課堂參考

教材上的閱讀材料往往蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)思想方法的形成對(duì)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展至關(guān)重要. 課堂上，教師可帶領(lǐng)學(xué)生一起解讀閱讀材料，讓學(xué)生從中體會(huì)知識(shí)的來(lái)龍去脈，為完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).

3. 用于引領(lǐng)閱讀

若課堂時(shí)間充裕，教師可根據(jù)實(shí)際情況為學(xué)生列出學(xué)習(xí)提綱，鼓勵(lì)學(xué)生帶問(wèn)題閱讀材料. 這種任務(wù)明確的閱讀方法能為學(xué)生指明思考方向，讓學(xué)生在交流與總結(jié)中碰撞出智慧的火花. 因此，結(jié)合閱讀材料設(shè)計(jì)問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生閱讀，可激活學(xué)生的思維，激發(fā)課堂的智慧與活力.

總之，數(shù)學(xué)閱讀材料不可或缺，具有獨(dú)特價(jià)值. 作為教師，應(yīng)關(guān)注閱讀材料在滲透數(shù)學(xué)文化方面的重要性，有效利用閱讀材料，促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng).