［摘 要］ 文章從代數(shù)和幾何兩個視角對2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第16題的解法進行分析，提出注重試題研究，構(gòu)建解析幾何問題的思維框架；注重多想少算，深化先幾何后代數(shù)的思維習(xí)慣；注意通性通法，強化解析化思維的主元優(yōu)選意識.

［關(guān)鍵詞］ 高考數(shù)學(xué)；解析幾何；教學(xué)思考

真題再現(xiàn)

（2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第16題）已知A（0，3）和P

3，

為橢圓C：+=1（a>b>0）上兩點.

（1）求C的離心率；

（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程.

試題分析 試題以橢圓為載體，綜合考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、直線與橢圓的位置關(guān)系、三角形的面積公式、點到直線的距離公式等必備知識；著重考查直觀想象能力、數(shù)學(xué)運算能力等關(guān)鍵能力；突出考查理性思維等學(xué)科素養(yǎng). 新課標(biāo)Ⅰ卷調(diào)整了解析幾何題的位置，提高了試題的靈活性，減少了死記硬背和機械刷題的引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生發(fā)散思維，打破唯一答案的限制.

解法分析

試題第（1）問體現(xiàn)了高考試題的“低起點”，突出對基礎(chǔ)知識的考查；試題第（2）問體現(xiàn)了高考試題的“多層次”，突出對理性思維的考查. 下文重在討論試題第（2）問的解法.

1. 視角1：代數(shù)主導(dǎo)

將幾何關(guān)系“△ABP的面積為9”轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系的主要策略是：將兩點間的距離確定為三角形的“底”，另外一點到底邊的距離確定為三角形的“高”. 具體求解時可以直線PB為主導(dǎo)，即將直線PB的斜率作為主元設(shè)取未知數(shù)；也可以直線AB為主導(dǎo)，即將直線AB的斜率作為主元設(shè)取未知數(shù)；還可以直線AP為主導(dǎo)，即將點B的坐標(biāo)作為主元設(shè)取未知數(shù). 具體解法如下：

（1）“線切入”的主元選擇

解法1 將直線PB的斜率作為主元設(shè)取未知數(shù).

若l的斜率不存在，則l：x=3，B

3，-

，PB=3，A到PB的距離d=3，此時S=×3×3=≠9，不滿足條件.

若l的斜率存在，設(shè)PB：y-=k（x-3），P（x，y），B（x，y）. 聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得y=k（x-3）

+，

+

=1，消除y得（4k2+3）x2-（24k2-12k）x+36k2-36k-27=0. 由韋達定理得

x

+x

=，

x

x

=，所以PB==.

又點A到直線PB的距離d=，所以S=··=9，整理得4k2-8k+3=0，解得k=或. 經(jīng)檢驗，符合Δ>0. 所以l：y=x或y=x-3，即l：3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法2 將直線AB的斜率作為主元設(shè)取未知數(shù).

若直線AB的斜率不存在，則B（0，-3），S=×6×3=9，符合題意，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0.

若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+3. 聯(lián)立直線AB和橢圓C的方程，得y=kx+3，

+

=1，消除y得（4k2+3）x2+24kx=0，解得x=0或x=.

令x=，則y=，B

，

，所以k==-，直線AP的方程為y=-x+3，即x+2y-6=0.

又點B到直線PA的距離d==，AP==，所以S=··=9，整理得2k=3. 所以k=. 經(jīng)檢驗，符合Δ>0. 所以B

-3，-

. 所以直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

（2）“點切入”的主元選擇

解法3 將點B的坐標(biāo)作為主元設(shè)取未知數(shù).

設(shè)B（x，y），點B在橢圓C上，則+=1.

由已知得k==-，則直線AP的方程為y=-x+3，即x+2y-6=0. 所以點B到直線PA的距離d==.

因為AP==，所以S=··=9，整理得

x

+2y-6=12，則

x

+2y-6=12，

+

=1，解得

x=-3，

y

=-，或

x=0，

y=-3，即B（0，-3）或

-3，-

.

當(dāng)B（0，-3）時，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0；

當(dāng)B

-3，-

時，直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法4 將點B的坐標(biāo)（橢圓的參數(shù)方程）作為主元設(shè)取未知數(shù).

設(shè)B（2cosθ，3sinθ），其中θ∈［0，2π），同解法3一樣得到直線AP的方程為x+2y-6=0，所以點B到直線AP的距離d=. 又AP=，所以S=··=9，整理得

2cosθ+6sinθ-6

=12. 結(jié)合cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ

=-，

sinθ

=-或cosθ=0，

sinθ=-1.所以B（0，-3）或

-3，-

. 下同解法3.

2. 視角2：幾何主導(dǎo)

以“△ABP的面積為9”為幾何關(guān)系，其中A（0，3）和P

3，

是△ABP的兩個頂點，幾何主導(dǎo)視角，需要盡可能利用好已知定點A，P的信息. 若觀察到AP定長，則△ABP在邊AP上的高為定值，即點B的運動軌跡是與直線AP平行且距離為的直線，進而先求點B的坐標(biāo)，再求直線PB的方程；若觀察到△AOP的面積為，即9的一半，則可用對稱性直接求出點B的坐標(biāo)，再求直線PB的方程.具體解法如下：

解法5 以點B的運動軌跡為切入視角.

因為A（0，3），P

3，

，所以AP==，所以k==-，直線AP的方程為y=-x+3，即x+2y-6=0. 設(shè)點B到直線AP的距離為d，由S=

AP

·d=9，得d==.

將直線AP沿著與AP垂直的方向平移個單位即可得到滿足條件的點B的軌跡（如圖2所示）. 設(shè)點B的軌跡（直線）方程為x+2y+C=0，則=，解得C=6或C=-18.

當(dāng)C=6時，聯(lián)立

+

=1，

x+2y+6=0，解得x=0，

y=-3或x=-3，

y=-，即B（0，-3）或

-3，-

.

當(dāng)B（0，-3）時，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0；

當(dāng)B

-3，-

時，直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

當(dāng)C=-18時，聯(lián)立

+

=1，

x+2y-18=0，得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，該直線與橢圓無交點.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法6 以△APB與△AOP的面積關(guān)系為切入視角.

觀察可得△AOP的面積為，所以S=2S.

由圖3可知，點B所在的直線與直線PA關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.

因為點B在橢圓C上，所以由橢圓的對稱性可得點B的坐標(biāo)為（0，-3）或

-3，-

.

當(dāng)B（0，-3）時，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0；

當(dāng)B

-3，-

時，直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

教學(xué)思考

1. 注重試題研究，構(gòu)建解析幾何問題的思維框架

解析幾何試題是溝通幾何與代數(shù)的重要學(xué)習(xí)媒介. 在教學(xué)中，教師應(yīng)基于真題研究，從代數(shù)、幾何兩個角度引導(dǎo)學(xué)生積極思考，逐步形成思維框架，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗文本化. 圖4概括了上文所述的6種解法，提煉出“代數(shù)視角的主元選擇、幾何視角的經(jīng)驗積累、代數(shù)與幾何匯集后的解題邏輯、目標(biāo)關(guān)系出現(xiàn)后的問題求解”的幾何解答題的思維框架. 在教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用思維框架自主探索解題思路，學(xué)會科學(xué)思考.

2. 注重多想少算，深化先幾何后代數(shù)的思維習(xí)慣

“數(shù)”與“形”是解析幾何的本質(zhì)體現(xiàn)，幾何是緣起，也是歸宿.在解析幾何問題求解過程中“代數(shù)好想不好算，幾何好算不好想”，教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘題目隱藏的幾何條件，努力實現(xiàn)代數(shù)表征的簡潔表達，以實現(xiàn)運算量的大幅降低. 因此，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力. 圖形是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何圖形分析能力的關(guān)鍵. 培養(yǎng)良好作圖能力后，選題要盡可能保障每個題目都能從幾何或代數(shù)視角進行求解，以深化“先幾何后代數(shù)”的思維習(xí)慣的培養(yǎng).

3. 注意通性通法，強化解析化思維的主元優(yōu)選意識

解析化思維作為解析幾何問題的通性通法，與運算能力緊密相關(guān)，指向?qū)W生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng). 運算對象的明晰和運算程序的設(shè)計是影響解析幾何運算量的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生思考不同研究對象對應(yīng)的不同變量的關(guān)系表征，初步判斷運算量的大小，進而篩選出運算量較小的解題思路. 因此，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生從主元的角度切入，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)選主元的意識.