［摘 要］ 研究者以“兩角差的余弦公式”教學(xué)為例，分別從“返璞歸真，互動(dòng)引入”“逐步完善公式證明”“向量法證明公式”等方面展開(kāi)分析，旨在使課堂預(yù)設(shè)更加靈活，突出動(dòng)態(tài)生成與精心設(shè)計(jì).

［關(guān)鍵詞］ 預(yù)設(shè)；動(dòng)態(tài)生成；教學(xué)

布魯姆認(rèn)為：如果所有結(jié)果都能預(yù)料到，那么教育就不能稱(chēng)為一門(mén)藝術(shù)了. 確實(shí)，每一個(gè)學(xué)生都是獨(dú)立個(gè)體，擁有獨(dú)特的想象力與創(chuàng)造力，而且課堂具有一定的多變性特征，因此不論多么精心的預(yù)設(shè)都有可能出現(xiàn)“意外”. 教師應(yīng)打破“照本宣科”“照章辦事”的理念，在精心預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上，靈活應(yīng)對(duì)課堂變化，想方設(shè)法讓課堂動(dòng)態(tài)生成. 本文以“兩角差的余弦公式”教學(xué)為例，探討使課堂動(dòng)態(tài)生成的基本方式.

教學(xué)實(shí)錄

1. 返璞歸真，互動(dòng)引入

課堂是師生、生生間交互的場(chǎng)所，教師是課堂的“導(dǎo)演”而非“主演”，學(xué)生才是“主角”. 從教學(xué)目標(biāo)視角來(lái)看，課堂具有現(xiàn)場(chǎng)性和動(dòng)態(tài)性，學(xué)習(xí)氛圍、條件與狀態(tài)等都有可能發(fā)生變化. 因此，教師在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，需要將這些彈性因素考慮進(jìn)去. 此外，課堂環(huán)境相對(duì)封閉，故教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)適當(dāng)?shù)厣殿A(yù)設(shè)目標(biāo)，為高價(jià)值目標(biāo)的生成提供充足空間.

當(dāng)教學(xué)遇見(jiàn)意外情況時(shí)，若教師堅(jiān)持預(yù)設(shè)思路，則難引學(xué)生共鳴，只有順應(yīng)學(xué)生思維靈活應(yīng)對(duì)，才能讓課堂真正生成.

問(wèn)題1 你們覺(jué)得如何用正弦值和余弦值來(lái)表示cos（α-β）？

生1：我認(rèn)為可以先猜想結(jié)論，再證明結(jié)論.

師：這個(gè)想法不錯(cuò)，那先從簡(jiǎn)要結(jié)論出發(fā)進(jìn)行推測(cè)吧. cos（α-β）是否等于cosα-cosβ呢？

生2：借助特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)α，β的值分別為和0時(shí)，發(fā)現(xiàn)cos（α-β）≠cosα-cosβ，因此該結(jié)論不成立.

生3：觀(guān)察其結(jié)構(gòu)，α-β的余弦cos（α-β）就是一個(gè)整體，因此任意角的余弦值不能簡(jiǎn)單應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行處理.

師：很不錯(cuò)，兩位同學(xué)分別從特殊角度和一般角度分析了問(wèn)題，否認(rèn)了這種猜想. 之前我們接觸過(guò)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，現(xiàn)在我們就一起從特殊角著手進(jìn)行分析，看看cos（α-β）究竟等于什么. 先來(lái)研究角α取π，2π，0，，時(shí)cos（α-β）的情況.

學(xué)生以小組合作的方式積極互動(dòng)、交流，得到如下結(jié)論：①當(dāng)角α取π，2π，0時(shí)，cos（α-β）=cosαcosβ；②當(dāng)角α取，時(shí)，cos（α-β）=sinαsinβ.

師：從你們的研究中，我看到了智慧的火花，關(guān)于cos（α-β）的結(jié)論，能否統(tǒng)一表示？

生4：鑒于上述兩個(gè)結(jié)論在給定條件下不能相互轉(zhuǎn)換，是不是說(shuō)明cos（α-β）所表達(dá)的式子并非單項(xiàng)式，而是與sinαsinβ和cosαcosβ都有所聯(lián)系？

生5：由于sinkπ=cos

kπ+

=0（k∈Z），故猜想cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ.

問(wèn)題2 有道理，該怎樣驗(yàn)證這個(gè)猜想呢？

生5：同樣取幾個(gè)特殊值試一試就知道了.

至此，兩角差的余弦公式在師生積極互動(dòng)與交流中自動(dòng)生成. 當(dāng)教師準(zhǔn)備結(jié)束這個(gè)話(huà)題時(shí)，有學(xué)生舉手，表示自己有新的想法.

生6：結(jié)合上述分析可知，cos（α-β）的表示式與sinαsinβ和cosαcosβ都相關(guān)，猜想cos（α-β）可表示為xcosαcosβ+ysinαsinβ+zf（α，β）（x，y，z為待定常數(shù)），f（α，β）是關(guān)于角α，β的一個(gè)函數(shù).

師：這個(gè)想法比較全面深刻，是否準(zhǔn)確呢？

學(xué)生自主驗(yàn)證，獲得x=y=1的結(jié)論，并經(jīng)討論認(rèn)為zf（α，β）的值為0.

2. 逐步完善公式證明

在證明兩角差的余弦公式時(shí)，預(yù)設(shè)方法如下：①?gòu)娜呛瘮?shù)線(xiàn)的角度分析，在銳角范圍下明確公式成立后，直接推廣至任意角. ②利用向量進(jìn)行證明. ③利用兩點(diǎn)間的距離，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明.

師：如果我們想把猜想轉(zhuǎn)變成真理，那么實(shí)踐檢驗(yàn)是關(guān)鍵. 每一條猜想，都需要通過(guò)證明才能歸納成定理或公式. 當(dāng)α，β，α-β都是銳角時(shí)，公式cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ是成立的. 想要明確此公式對(duì)于任意角是否也成立，需要進(jìn)一步推廣驗(yàn)證.

問(wèn)題3 現(xiàn)在我們把α，β推廣至任意角. 如圖1所示，以x軸非負(fù)半軸為始邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作任意角α，其終邊與單位圓相交于點(diǎn)Q；以O(shè)Q為始邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)作任意角β，其終邊與單位圓相交于點(diǎn)P. 過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于M，作PA垂直O(jiān)Q于A，過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于B. 如何使用角α，β的三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)表示角α-β的余弦線(xiàn)OM呢？

話(huà)音剛落，學(xué)生們紛紛露出恍然大悟的表情：cos（α-β）=MO=BO+BM=BO+PC=AOcosα+APsinα=sinαsinβ+cosαcosβ.

從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，課堂教學(xué)就是互動(dòng)與合作的過(guò)程，隨著思維、知識(shí)與價(jià)值取向的碰撞，課堂變得更加靈動(dòng)、智慧. 教師切忌一成不變地按照預(yù)設(shè)實(shí)施教學(xué)，而應(yīng)結(jié)合學(xué)生在課堂中的真實(shí)反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，讓課堂在交互與資源共享中有機(jī)生成.

3. 向量法證明公式

從動(dòng)態(tài)生成的角度來(lái)看，教師在實(shí)施教學(xué)活動(dòng)前要“理解教學(xué)”，對(duì)整體的教學(xué)布局有一個(gè)理性、清晰的認(rèn)識(shí)，設(shè)置彈性化的課堂預(yù)設(shè). 在實(shí)際教學(xué)中，教師在課堂上應(yīng)留有較大的自由度與包容度，做好“教學(xué)指導(dǎo)”與“信息重組”的工作.

高中數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)容多、信息量大，如果沒(méi)有跟上教學(xué)思路很可能忽略很多東西. 教師一定要手腦耳并用，科學(xué)合理運(yùn)用信息，達(dá)成預(yù)設(shè)目標(biāo). 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，反映的主要是思維結(jié)果，而非原始發(fā)現(xiàn)者的認(rèn)知過(guò)程. 復(fù)歸學(xué)生思維，有助于學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu).

師：通過(guò)以上推導(dǎo)，我們都能感受到，利用三角函數(shù)線(xiàn)證明兩角差的余弦公式并不容易. 我們觀(guān)察一下兩角差的余弦公式左、右兩邊的結(jié)構(gòu)，探尋它們之間存在怎樣的相似點(diǎn). 可否構(gòu)造向量來(lái)證明？同時(shí)分析你的證明對(duì)任意角是否成立？

生7：可以構(gòu)造向量進(jìn)行證明.

生8：任意角α，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），由此可得向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）. 因?yàn)榻K邊OA，OB的夾角θ=2kπ±（α-β），k∈Z，根據(jù)向量的數(shù)量積公式可得cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ. 結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，其中α，β是任意角.

師：很好，不論采用何種方法，均蘊(yùn)含一種什么數(shù)學(xué)思想？

生9：轉(zhuǎn)化與化歸思想.

師：不錯(cuò)，轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，后續(xù)遇到一些新問(wèn)題時(shí)，可從轉(zhuǎn)化的角度來(lái)分析，這對(duì)提升解題能力具有重要意義.

4. 公式的應(yīng)用

學(xué)以致用是教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通過(guò)預(yù)設(shè)來(lái)完成教學(xué)目標(biāo)，首先需要充分了解學(xué)情，借助一定的教學(xué)手段激疑啟思，這是調(diào)控課堂，促進(jìn)課堂生成的基本前提. 實(shí)踐告訴我們，在知識(shí)應(yīng)用階段，不能單純地依靠模仿，而應(yīng)遵循教學(xué)規(guī)律選擇一些合適的例題進(jìn)行引導(dǎo).

例題 如果cos（α-β）=，則（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2的值是多少？

學(xué)生一見(jiàn)到問(wèn)題就提出：可逆向應(yīng)用兩角差的余弦公式，即展開(kāi)待求式子，將sinαsinβ+cosαcosβ視為一個(gè)整體，可得答案為.

解決例題的過(guò)程實(shí)則為促進(jìn)學(xué)生生長(zhǎng)知識(shí)的過(guò)程，這對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識(shí)、積極性和創(chuàng)造性具有重大意義. 教師在預(yù)設(shè)時(shí)認(rèn)為，學(xué)生在解決此題時(shí)可能出現(xiàn)一些障礙，因此設(shè)置了兩道變式題，以降低問(wèn)題難度，提升學(xué)生的理解力. 但實(shí)踐證明，該預(yù)設(shè)是多余的，學(xué)生在解決此題時(shí)表現(xiàn)出了較好的狀態(tài). 為了進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用能力，教師與學(xué)生又互動(dòng)如下：

師：請(qǐng)大家充分發(fā)揮自己的想象，說(shuō)一說(shuō)（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2與cos（α-β）可能存在怎樣的關(guān)系.

生10：或許跟兩點(diǎn)間的距離公式有關(guān).

師：能否用兩點(diǎn)間的距離公式對(duì)兩角差的余弦公式進(jìn)行證明呢？

生11：如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，作單位圓和角α，β，角α，β的始邊都是Ox，終邊則分別與單位圓相交于點(diǎn)Q（cosα，sinα），P（cosβ，sinβ），則PQ2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.

師：若想獲得cos（α-β）的表達(dá)式，則需探尋到與弦PQ等長(zhǎng)的弦.

生12：將角α的終邊OQ反向旋轉(zhuǎn)β至OQ的位置，那么射線(xiàn)OQ就是角α-β的終邊.同時(shí)∠QOP=∠QOP，則△QOP≌△QOP，因此

Q

P=QP.

教師充分肯定了學(xué)生的剖析過(guò)程，并要求學(xué)生順應(yīng)這個(gè)思路完成后面的學(xué)習(xí)任務(wù).

教學(xué)思考

1. 學(xué)生始終占有主體性地位

課堂是師生積極互動(dòng)的主陣地，任何預(yù)設(shè)與生成都要在“以生為本”的基礎(chǔ)上進(jìn)行. 課堂的“主角”一直是學(xué)生，教師的主要任務(wù)就是想方設(shè)法啟發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生自主嘗試從多維度發(fā)現(xiàn)并研究問(wèn)題，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主觀(guān)能動(dòng)性的基礎(chǔ)，也是增強(qiáng)知識(shí)縱橫聯(lián)系的關(guān)鍵，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)有重要影響.

本節(jié)課，教學(xué)過(guò)程由教師引導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立思考與合作交流，親歷“兩角差的余弦公式”的形成與發(fā)展. 由于新知建構(gòu)由學(xué)生主動(dòng)完成，因此記憶更加深刻，尤其體現(xiàn)在公式證明與應(yīng)用方面. 由此也能看出，將學(xué)生視為課堂主人，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地參與課堂活動(dòng)，可有效激發(fā)學(xué)生的智慧，為完善認(rèn)知架構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力創(chuàng)造基礎(chǔ).

2. 處理好預(yù)設(shè)與動(dòng)態(tài)生成的關(guān)系

高質(zhì)量的課堂都是開(kāi)放性的課堂，靜態(tài)預(yù)設(shè)是動(dòng)態(tài)生成的前提與保障. 教學(xué)中難以預(yù)料所有狀況，精心預(yù)設(shè)也無(wú)法完全把控. 教學(xué)推進(jìn)更多取決于學(xué)生在課堂中的參與程度與教師處理突發(fā)事件的策略. 教師需妥善處理預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，以應(yīng)對(duì)突發(fā)情況，避免慌亂. 程式化教學(xué)不利于課堂動(dòng)態(tài)生成.

縱觀(guān)本節(jié)課教學(xué)，邏輯清晰、層次分明，學(xué)生在一個(gè)個(gè)精心預(yù)設(shè)的問(wèn)題下，激發(fā)潛能，不僅自主夯實(shí)了知識(shí)基礎(chǔ)，還有效發(fā)展了“四能”，促進(jìn)學(xué)力的發(fā)展. 但在教學(xué)的第四個(gè)環(huán)節(jié)“公式的應(yīng)用”，教師預(yù)設(shè)與學(xué)生實(shí)際認(rèn)知出現(xiàn)了偏差，教師因?yàn)榈凸缹W(xué)力，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，致使學(xué)生毫無(wú)挑戰(zhàn)性. 面對(duì)這一現(xiàn)狀，教師根據(jù)學(xué)情及時(shí)調(diào)整教學(xué)方案，有效避免無(wú)效教學(xué)現(xiàn)象. 這種在課堂上靈活應(yīng)對(duì)的教學(xué)手法，不僅展現(xiàn)教師深厚的教學(xué)功底和卓越的職業(yè)素養(yǎng)，還凸顯處理好預(yù)設(shè)與生成關(guān)系的重要性.

3. 高質(zhì)量的預(yù)設(shè)促進(jìn)動(dòng)態(tài)生成

課堂動(dòng)態(tài)生成并不是否定預(yù)設(shè)，而是挑戰(zhàn)預(yù)設(shè)，智慧生成源于高質(zhì)量預(yù)設(shè). 如本節(jié)課，教師對(duì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式精心預(yù)設(shè)了三種方法，結(jié)合學(xué)情和教情將這三種方法整合在一起，促進(jìn)課堂的動(dòng)態(tài)生成，取得了較好的成效. 此環(huán)節(jié)成功源于課前精心預(yù)設(shè)，準(zhǔn)備充分，整合應(yīng)用時(shí)才能游刃有余.

總的來(lái)說(shuō)，正如建構(gòu)主義理論所闡述的那樣：學(xué)生所掌握的知識(shí)并非完全依賴(lài)于教師的直接傳授，實(shí)際上，他們通過(guò)自己的生活經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)構(gòu)建了許多知識(shí). 因此，教師不能僅僅從自己的主觀(guān)角度出發(fā)，去替代學(xué)生的真實(shí)思維過(guò)程. 這句話(huà)深刻地提醒我們，學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)習(xí)具有重要影響. 因此，教師在精心策劃和設(shè)計(jì)課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)，必須客觀(guān)分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和教學(xué)的實(shí)際情況，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生需求來(lái)設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng). 這樣的做法是促使課堂上知識(shí)動(dòng)態(tài)生成和學(xué)生思維活躍的關(guān)鍵所在.