［摘 要］ 在生活基礎上數(shù)學建模，可幫助學生了解模型的形成與發(fā)展，為后續(xù)靈活應用模型解決實際問題奠定基礎. 文章以“指數(shù)函數(shù)的概念”教學為例，借助兩個旅游景區(qū)不同年份游客人次的變化情況，引導學生親歷“初建模型—求解模型—應用模型—總結(jié)提升”等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提升學生的建模能力，為發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)夯實基礎.

［關鍵詞］ 數(shù)學建模；知識；生活；指數(shù)函數(shù)

數(shù)學建模素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出的六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一. 數(shù)學模型對學生來講并非一件新鮮事物，作為核心素養(yǎng)，其在不同階段的表現(xiàn)是不同的，從小學階段的模型意識到初中階段的模型觀念再到高中階段的數(shù)學建模，經(jīng)過了一個螺旋上升的發(fā)展過程.

數(shù)學本身是非凡、多樣、多彩的. 隨著新課改的深入推進，數(shù)學教師應達成這一共識：不同個體學習數(shù)學的方式有所區(qū)別，學習數(shù)學知識的目的是更好地解決生活問題，數(shù)學課堂教學應想辦法激活各個層次學生的思維，挖掘?qū)W生的潛能，讓學生將數(shù)學知識與生活實際有機地融合起來，為發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)創(chuàng)造條件. 在課堂中強化建模實踐，不僅能拉近生活實際與數(shù)學知識的距離，還能給學生帶來豐富的學習體驗，讓學生領悟數(shù)學知識到生活實際的可行之道［1］.

教學過程

1. 導入新課，初建模型

師：隨著我國經(jīng)濟高速增長，人民生活水平不斷提高，不少家庭每年都會以旅游的方式增長見識，愉悅身心，各景區(qū)游客量日益遞增. 如表1所示，此為A，B兩地景區(qū)2005年至2019年游客人次的變化情況. 通過對表格的觀察，可發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？如何用數(shù)學知識來研究并描述這一現(xiàn)象？

在該生活情境的啟發(fā)下，學生借助描點法將表格中的數(shù)據(jù)整理為散點圖，并將各個點用光滑的曲線連接起來構(gòu)成圖1. 觀察圖形，可見A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升，即線性增長；B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長，各點連接而成的曲線沒有明顯的變化規(guī)律.

設計意圖 將學生感興趣的生活實際作為教學情境，意在引導學生感知建模過程中的理解問題與簡化問題兩個環(huán)節(jié). 從理解問題的視角來看，學生從A，B兩地景區(qū)游客人次的變化情況中可抽象出相應的數(shù)學問題，初步感知生活實際與數(shù)學知識的聯(lián)系；從簡化問題的視角來看，將表格數(shù)據(jù)簡化為散點圖，學生可直觀洞察游客人次的變化情況，抽象出現(xiàn)實模型，增強數(shù)據(jù)分析能力.

2. 生成概念，求解模型

（1）大膽猜想

師：B地景區(qū)的游客人次變化情況可借助什么量來表達？

探索此問題，可進入師生活動階段：教師先帶領學生將A地景區(qū)的游客人次與時間的函數(shù)表達式（y=10x+600，x∈［0，14］，x∈N），以及當年游客人次與次年游客人次的關系（yn+1-yn=10〈等差〉，n∈N）抽象出來，再要求學生獨立思考與合作交流，對B地景區(qū)各年的游客人次變化情況加以探索，猜想模型.

學生在交流過程中逐一排除一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)，有的學生提出B地景區(qū)的游客人次的變化規(guī)律與二次函數(shù)相似，那么，這是否正確科學呢？為了探索這個問題，學生自主列式（y=ax2+bx+c，yn+1-yn=a+2an+b），同時畫圖分析，發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律與二次函數(shù)也不相符.

設計意圖 大膽猜想，可縮小模型范圍，為學生思維明確方向，也為學生從生活中提取數(shù)學模型，以及后續(xù)求解數(shù)學模型夯實基礎.

（2）構(gòu)建模型

師：相鄰兩年間的游客人次相減獲得A地景區(qū)游客人次的年增長量，對于B地景區(qū)的游客人次的變化規(guī)律，能否用同種方法來分析呢？是否有其他方法？B地景區(qū)每年的游客人次增長量存在怎樣的情況？

在教師指導下，學生根據(jù)2006年至2018年B地景區(qū)游客人次的變化情況建立新模型，并用新模型計算2019年B地景區(qū)的游客人次，將所得結(jié)果與已知數(shù)據(jù)進行類比，判斷所構(gòu)建的新模型是否準確科學.

探索發(fā)現(xiàn)年增長率和年增加量是該生活情境中的兩個重要變化量，而B地景區(qū)無法與A地景區(qū)一樣借助年增加量獲得游客人次的變化規(guī)律，由此考慮用年增長率來探索B地景區(qū)當年的游客人次與上一年的游客人次的關系，即通過相除得到=a，=a，…，=a，獲得模型=ax-1.

設計意圖 通過數(shù)據(jù)與圖象分析，學生自主進入建模狀態(tài)，并在大膽猜想與思考的基礎上，建構(gòu)適合情境的新模型. 在此過程中，學生主動參與建?；顒樱兄２襟E，體會數(shù)學知識、生活實際與建模之間的聯(lián)系，建立學習自信，發(fā)展數(shù)學思維.

（3）求解模型

學生通過獨立思考、自主計算與探索、合作交流，發(fā)現(xiàn)B地景區(qū)每年的游客人次增長率穩(wěn)定在一個常數(shù)附近. 根據(jù)這個特點猜想B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律為=1.11x-1（x∈［1，+∞）. 至此，學生的思路變得明確.

設計意圖 學生基于運算、總結(jié)與探索，提升數(shù)學運算素養(yǎng)與思維水平，為構(gòu)建數(shù)學模型奠定基礎.

3. 深化理解，完善模型

要求學生解釋怎樣根據(jù)數(shù)據(jù)獲得相應模型，并且探索所獲得的模型與現(xiàn)實生活是否相符.

在教師啟迪下，學生以小組合作交流的方式進行思考與分析，獲得如下結(jié)論：從2006年起，B地景區(qū)每年的游客人次為2005年游客人次的1.11， 1.112，1.113，…，1.11x倍. 設經(jīng)過x年后B地景區(qū)的游客人次為2005年游客人次的y倍，則y=1.11x（x∈［0，+∞））. 根據(jù)模型y=1.11x（x∈［0，+∞））計算2019年B地景區(qū)的游客人次是278×1.1115-1≈1198（萬次），與2019年B地景區(qū)的實際游客人次1244（萬次）相比，誤差為3.7%. 實踐表明，模型數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)誤差較小，因此確定該模型具有可靠性，可用于解決實際問題.

設計意圖 此環(huán)節(jié)涉及建模過程中的“結(jié)果解釋”與“修改模型”兩個步驟. 基于結(jié)果解釋的維度思考，即使能自主建立模型，并不表示學生已經(jīng)完成了教學任務，親歷建模過程，能將模型的來龍去脈描述得清清楚楚才算是真正意義上理解了模型. 修改模型是指在實際應用模型前，檢驗模型與生活實際的匹配程度. 應用數(shù)形結(jié)合思想探索模型，讓學生體驗實際數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)的誤差，認識到數(shù)學的周密性、嚴謹性和規(guī)范性，培養(yǎng)邏輯思維能力.

4. 拓展應用，發(fā)散思維

師：當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半. 按照這種衰減規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關系？

因為有了景區(qū)游客人次探索的基礎，所以大部分學生都能通過獨立思考構(gòu)建出模型y=

（x∈［0，+∞））.

師生共同總結(jié)兩函數(shù)的共性，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=1.11x和y=

都可以表示為y=ax（a>0，a≠1），其中x是自變量. 學生親歷建模過程，不僅自主獲得了可以解決生活實際問題的模型，還自然而然地理解了指數(shù)函數(shù).

設計意圖 拓展教學內(nèi)容，讓學生自主體驗一個完整的建模過程，此為深化與鞏固學生理解建模流程的過程，也是增進數(shù)學知識與生活實際聯(lián)系的過程. 學生在建模中體驗、思考與感悟，獲得“四基”與“四能”的同時，發(fā)展良好的數(shù)學建模素養(yǎng).

5. 應用模型，凝練提升

問題1 如果平均每位游客出游一次可給當?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價格為150元，B地景區(qū)沒有門票，那么A，B兩地景區(qū)在2005年至2019年之間，由游客帶來的收入有多少？

問題2 某種生物死亡1萬年后，其體內(nèi)碳14的含量會衰減為原來的百分之幾？

設計意圖 知識到生活的關鍵在于靈活應用所學知識解決實際問題. 本節(jié)課的教學重點是引導學生感知建模過程，發(fā)展學生的建模素養(yǎng)，能讓學生應用所構(gòu)建的模型解決實際問題. 引導學生應用指數(shù)函數(shù)模型來分析上述兩個問題，一方面可進一步深化學生對指數(shù)函數(shù)概念的理解，另一方面可增強學生的知識應用能力，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

6. 回顧總結(jié)，發(fā)展學力

課堂尾聲，要求學生自主總結(jié)建?；静襟E，感受建模思想. 鼓勵學生自評、互評課堂中的表現(xiàn)，提升反思與總結(jié)能力.

設計意圖 回顧學習過程，促使學生自我反省，為構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)奠定基礎，也讓學生將所學知識與技能轉(zhuǎn)化為內(nèi)在素養(yǎng)和能力.

教學思考

結(jié)合本節(jié)課教學來看，數(shù)學建模離不開生活實際的支撐，遵循“生活—知識—生活”的流程. 在教學實踐中，教師要充分了解學情，以學生認知范圍內(nèi)的實際問題為教學起點，通過問題驅(qū)動建模教學，并將提問的權(quán)利還給學生，從真正意義上激發(fā)學生的潛能，發(fā)展學生的數(shù)學思維和數(shù)學學科核心素養(yǎng).

值得注意的是，從知識到生活的高中數(shù)學建模實踐在發(fā)現(xiàn)并提出問題、建立模型、求解模型與完善模型等環(huán)節(jié)，一定要基于深度學習的角度出發(fā)，時刻遵循“以生為本”教學理念，避免流于形式，此為發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要舉措.

總之，數(shù)學建模源于生活，服務于生活，其內(nèi)容和理念應根植于生活之中［2］. 建立在學生已有認知基礎上，根據(jù)學生的生活經(jīng)驗構(gòu)建數(shù)學模型，不僅能體現(xiàn)生活的“數(shù)學味”，還能凸顯數(shù)學知識的“生活味”，揭露知識與生活的關聯(lián)性. 從知識到生活的建模實踐，需教師反復探索與打磨，設計出科學的情境問題，提升學生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的建模素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 周學君，龔雨欣，董清艷. 指向數(shù)學建模素養(yǎng)的高中數(shù)學教學設計框架及實施：以人教A版“指數(shù)函數(shù)的概念”為例［J］. 黃岡師范學院學報，2023（12）：80-85.

［2］ 周穎. 從知識到生活的高中數(shù)學建模實踐研究［J］. 數(shù)學教學通訊，2023（18）：52-53+60.