［摘 要］ 當下，數學探究活動已成為高中數學教學的重要組成部分. 為了有效開展數學探究活動，教師可應用深度學習理念設計教學內容，并結合教學實際創(chuàng)設具有挑戰(zhàn)性的研究主題，充分發(fā)揮數學探究活動在培養(yǎng)學生問題意識、發(fā)展學生創(chuàng)造性思維、提高學生自學能力等方面的教育價值，促進學生綜合能力及綜合素養(yǎng)的發(fā)展與提升.

［關鍵詞］ 數學探究活動；研究主題；自學能力

在新課程的推動下，數學探究活動已成為當下高中數學教學的重要部分. 通過數學探究活動的開展，學生可以獲得獨立思考和合作探究的必要時間和空間，有助于學生積累豐富的探究經驗和思想方法，有利于培養(yǎng)學生的問題意識以及勤于思考、樂于探究的良好學習習慣，同時也有助于推動學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 因此，在數學教學中，教師應有意識地設計數學探究活動，讓學生親歷知識形成的全過程，以促成深度學習. 深度學習是當下數學課堂教學的一個熱詞，其是針對傳統課堂淺層學習和被動學習提出的全新學習方式. 在實際教學中，教師需要根據學生的實際情況設計符合學生認知規(guī)律且具有挑戰(zhàn)性的主題，通過引導學生深入探究，幫助他們更好地理解知識、應用知識，并獲得成功的體驗，從而發(fā)展學生的數學能力. 在教學“探索與證明基本不等式”時，筆者基于教學實際精心設計了一次探究活動，以期讓學生在探究中學會發(fā)現、學會思考、學會學習，促成深度學習的發(fā)生. 現將教學過程呈現給大家，供參考！

教學簡錄

1. 任務驅動，激發(fā)興趣

任務1 查閱資料，豐富認知.

2002年第24屆國際數學家大會在北京隆重舉行. 本次大會會徽（如圖1所示）是根據趙爽弦圖設計的，它像轉動的風車，揮舞著手臂，熱情洋溢地迎接來自世界各地的數學家. 對于趙爽弦圖，你知道多少？你知道趙爽是如何利用“勾股圓方圖”詳細證明勾股定理的嗎？請大家到網上查閱相關資料，了解這別具一格的證明方法.

設計意圖 課前借助探究性任務鼓勵學生利用網絡或書籍查閱相關資料，以此開闊學生的視野，豐富學生的知識結構，引導學生學會自主學習. 另外，通過閱讀相關資料，讓學生體會數形結合在研究數學問題中的價值，并培養(yǎng)學生數形結合意識.

任務2 利用幾何畫板讓趙爽弦圖“動起來”.

觀察動圖（具體制作過程可以到網上查詢），請嘗試寫出其中蘊含的相等或不等的數量關系.

設計意圖 在教學中，教師充分發(fā)揮現代信息技術的優(yōu)勢，通過“動手做”激發(fā)學生的探究熱情，使他們學會用幾何畫板等工具來研究數學問題，充分體驗探究樂趣.

2. 課堂探究，推導公式

問題1 如圖3所示，令正方形ABCD的面積為S，4個全等的直角三角形的面積之和為S，直角邊的邊長分別為a，b. 結合已有經驗，你能寫出怎樣的不等或相等關系？

問題2 不等式a2+b2≥2ab是否對任意實數均成立？何時取等號？請嘗試用特值法加以驗證.

師生活動：教師提供時間讓學生列舉實例，然后將結果填寫到Excel中，引導學生從特殊中抽象出一般性規(guī)律，最終形成猜想. 即a2+b2≥2ab（a，b∈R），當且僅當a=b時取等號.

設計意圖 這樣將情境問題逐步轉化為數學問題，引導學生用數學眼光觀察問題，用數學知識解決問題，培養(yǎng)學生直觀想象和數學抽象等素養(yǎng). 在教學中，教師充分利用問題情境的優(yōu)勢，引導學生在問題探索過程中提出猜想，并通過特值法進行驗證，從而逐步提煉出重要不等式. 這樣引導學生經歷數學知識的形成過程，有助于激發(fā)深度學習，提升學生的數學素養(yǎng). 另外，在此過程中，教師充分利用幾何畫板的生動和形象特點增強學生的注意力，讓學生身心愉悅地參與到課堂探究活動中，以此提升課堂教學有效性.

問題3 剛剛我們運用特殊到一般思想方法得到結論“a2+b2≥2ab（a，b∈R），當且僅當a=b時取等號”，對于這一結論，可以證明嗎？

設計意圖 該結論是從特殊案例中抽象、猜想得到的，具有一定的主觀性. 然數學是一門嚴謹的學科，猜想并不能作為結論，因此有必要引導學生對該結論進行驗證，以此培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，提高學生的邏輯推理能力. 在此過程中，教師不要急于將證明思路呈現給學生，而應提供機會讓學生進行合作探究，并給予啟發(fā)、指導、評價和鼓勵，以此增強學生的學習信心.

問題4 若a>0，b>0，用代替a，代替b，你能得到什么結論？其成立的條件是什么？

追問：你能用不同的方法來證明這一不等式嗎？

師生活動：教師提供時間讓學生猜想、驗證、交流. 形成猜想后，教師鼓勵學生嘗試應用不同的方法加以證明，并讓學生以小組為單位交流證明過程. 教師巡視，并將優(yōu)秀的證明過程通過投影展示出來.

方法1：作差比較法. -=≥0，當且僅當a=b時取等號.

方法2：分析法. 要證明≤，只需證明a+b≥2，即證明a+b-2≥0，只需證明（-）2≥0，顯然該不等式成立（當且僅當a=b時取等號）.

方法3：綜合法. 因為（-）2≥0，所以a+b-2≥0，所以a+b≥2，所以≥（當且僅當a=b時取等號）.

這樣，通過多角度思考與探究，學生順利得到基本不等式.

設計意圖 在教學中，教師基于學生的最近發(fā)展區(qū)設計富有挑戰(zhàn)性的學習活動，使學生充分體驗數學探究魅力，發(fā)展自學能力. 在探究過程中，教師將主動權交給學生，鼓勵學生思考與合作，培養(yǎng)學生勤于思考的良好學習習慣. 同時，教師還鼓勵學生多角度思考和解決問題，以此激發(fā)學生的潛能，點燃學生的學習熱情，讓學生逐漸愛上數學學習，有效提高學生的學習品質.

3. 幾何解釋，理解公式

問題5 如圖4所示，已知AB為圓O的直徑，點C為AB上任意一點，過點C作DE⊥AB，分別交圓O于D，E兩點，連接AD，BD，OD.

（1）設AC=a，BC=b，結合已有經驗，你能否找到和呢？

（2）根據以上發(fā)現，你能否對基本不等式作出幾何解釋呢？

師生活動：教師預留時間讓學生觀察，充分挖掘圖4所蘊含的數量關系，以此幫助學生更加直觀地理解基本不等式. 在此活動中，教師鼓勵學生利用幾何畫板制作動圖，通過移動點C的位置分析基本不等式的幾何意義. 當然，在此過程中，學生難免會遇到障礙，教師可以鼓勵學生合作探究，集思廣益，突破障礙，獲得深刻理解.

設計意圖 在教學中，教師引導學生從“形”的角度出發(fā)，尋找相等與不等關系，揭示基本不等式的幾何意義；鼓勵學生將“數”與“形”有機地結合起來，充分感知“數”與“形”的和諧之美，從而培養(yǎng)學生數形結合意識，提高學生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

4. 實際應用，深入理解

例1 王大伯準備用柵欄圍一個面積為4平方米的矩形苗圃. 從節(jié)省材料的角度出發(fā)，該苗圃的長和寬分別是多少時，所用的柵欄最短？最短是多少？

例1的難度不大，學生應用基本不等式即可解決問題：設矩形的長為a米，寬為b米，則ab=4. 又≥，所以2（a+b）≥8，當且僅當a=b=2時取等號. 即當矩形的長和寬都為2米時，所用的柵欄最短，其長度為8米.

例2 王大伯想用長12米的柵欄圍成一個矩形苗圃，怎么圍可以使矩形面積最大？最大面積是多少？

學生結合例1的探究經驗，很快得到了答案：設該矩形苗圃的長和寬分別為a米和b米，則2（a+b）=12，即a+b=6. 又≤=3，所以ab≤9，當且僅當a=b=3時，等號成立. 即將其圍成邊長為3米的正方形可使苗圃的面積最大，最大面積為9平方米.

追問：你還能用其他方法來解決這一問題嗎？

師生活動：教師提供時間讓學生尋求不同的方法解決問題，如函數法，教師呈現具有代表性的解答.

設計意圖 從生活情境出發(fā)，引導學生利用新知解決生活中的一些實際問題，體會數學的應用價值，促進“學以致用”教學目標的落實. 在課堂上，教師鼓勵學生利用不同方法求解，幫助學生積累求解最值的經驗，讓學生體會解題方法的多樣性，豐富學生的認知結構，提高學生的數學應用水平.

解后反思：結合以上問題的解決過程，請運用從特殊到一般的思想方法，闡述你的發(fā)現.

師生活動：在教師的啟發(fā)和指導下，學生歸納總結一般性結論. ①若ab=P（P為定值），則當且僅當a=b時，a+b有最小值，其最小值為2；②若a+b=S（S為定值），則當且僅當a=b時，ab有最大值，其最大值為.

通過經歷從特殊到一般的探究，形成了一般性結論，有利于學生思維能力的發(fā)展和數學能力的提升. 當然，在此過程中，教師要重視引導學生關注基本不等式的適用條件，即“一正、二定、三相等”.

設計意圖 在教學中，教師引導學生將具體問題抽象成一般性結論，以此深化學生對知識的理解. 在此過程中，教師安排學生以小組為單位開展合作學習，并引導學生自主歸納基本不等式的要點，以此有效規(guī)避因機械套用而出現錯解的風險，培養(yǎng)思維的嚴謹性，提高解題準確率.

5. 課堂練習，鞏固強化

（1）用長20米的柵欄圍成一個矩形苗圃，若使得苗圃的面積最大，可以怎么圍？

（2）用長30米的柵欄靠墻圍一塊矩形菜地，墻長18米，當矩形的長、寬分別為何值時，矩形菜地的面積最大？

（3）若想做一個底面積為48平方米，高為2米的長方體蓄水池，底面的邊長取何值時，可以使其耗材最少？

設計意圖 通過經歷前面的探究，學生已經初步建立了運用基本不等式求解最值的數學模型. 為了幫助學生深化理解這一模型，逐步提高數學應用水平，教師給出具體問題.

教學思考

1. 以發(fā)展學生素養(yǎng)為導向，促進數學核心素養(yǎng)落實

深度學習不僅要關注學生知識的掌握情況，還要關注知識的形成過程，幫助學生理解數學本質，形成適應終身學習的必備品質和關鍵能力，促進學生數學核心素養(yǎng)的落實. 在教學中，教師應以學生認知為出發(fā)點，以發(fā)展學生素養(yǎng)為導向，結合教學實際精心創(chuàng)設問題，引導學生經歷知識發(fā)現、發(fā)展及應用等全過程，促進學生數學素養(yǎng)的提升. 在此過程中，教師要重視數形結合思想方法的滲透，引導學生通過多角度探究揭示基本不等式的本質含義，從而為應用打下堅實的基礎.

2. 以挑戰(zhàn)性探究活動為主線，提升學生的自主探究能力

在新課程的推動下，教師可將教學內容分成若干個具有挑戰(zhàn)性的、引領性的學習主題，讓學生以“主角”的身份參與其中，化“被動”為“主動”，幫助學生走出記憶模仿的淺層學習，逐步走向深度學習. 在本節(jié)課教學中，筆者在課前、課中設計了多個探究任務，如課前讓學生利用幾何畫板制作趙爽弦圖，課中引導學生從“數”和“形”兩個角度解釋基本不等式，這樣通過數學活動讓學生不知不覺參與到數學課堂活動中，并讓學生在活動中學會思考、學會合作，推動學生自主探究能力的提升.

3. 以全面發(fā)展學生為目標，注重學生數學能力的培養(yǎng)

在教學中，教師要貫徹“以生為主體，以師為主導”的教學理念，多為學生提供一些自主學習和合作學習的時間與空間，并及時進行激勵與指導，以此讓不同層級的學生都能有所發(fā)展、有所提升. 教師要結合教學實際創(chuàng)設有效的問題情境，讓學生在問題的驅動下主動思考、主動交流，以此通過有效的互動交流提出、發(fā)現并證明結論，充分發(fā)揮學生的主體價值，促進教學目標的達成. 教師還要及時給予鼓勵、指導和評價，通過“教”與“學”的協調發(fā)展，提升教師的教學素養(yǎng)和學生的學習品質.

總之，在高中數學教學中，教師應以發(fā)展學生為目標，重視學生主體價值的激發(fā)，提供機會引導學生經歷知識形成的過程，以此促成深度學習的發(fā)生，促進學生數學能力全面提升.