“形變質(zhì)通”是天津市特級(jí)教師張菁老師對數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)間存在的“彼此關(guān)聯(lián)、相互轉(zhuǎn)化”的規(guī)律的概括?！靶巫儭笔侵笖?shù)學(xué)知識(shí)存在的不同形式、形態(tài)，“質(zhì)通”是指看似不同的數(shù)學(xué)知識(shí)間存在的本質(zhì)的關(guān)聯(lián)。教學(xué)的根本目的是育人，數(shù)學(xué)學(xué)科育人一定要有“數(shù)學(xué)味”，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是基于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)來促進(jìn)學(xué)生心智發(fā)展的育人活動(dòng)?！靶巫冑|(zhì)通”是對數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)間存在規(guī)律的概括，它是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特性之一，同時(shí)“形變質(zhì)通”還是“普遍聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化”的辯證思維在數(shù)學(xué)學(xué)科的充分體現(xiàn)。

一、數(shù)學(xué)學(xué)科育人的思考

我們參與了張菁老師主持的天津市教育科學(xué)規(guī)劃辦課題《“形變質(zhì)通”在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實(shí)施學(xué)科育人的應(yīng)用研究》。經(jīng)過三年的教學(xué)實(shí)踐探索，課題組圍繞“形變質(zhì)通”所具有的聯(lián)系、發(fā)展、辯證的哲學(xué)思維特性構(gòu)建課堂教學(xué)，從數(shù)學(xué)所具有的哲學(xué)思維視角實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的育人活動(dòng)。在此將一些教學(xué)案例與大家分享。

二、“形變質(zhì)通”的數(shù)學(xué)學(xué)科育人案例

（一）在辯證的情境中認(rèn)識(shí)數(shù)字“1”

在一年級(jí)第一學(xué)期“1至10的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師通常注重學(xué)生將各個(gè)數(shù)字與所對應(yīng)的量建立聯(lián)系，理解數(shù)的大小。數(shù)學(xué)知識(shí)中充滿辯證，看似簡單的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”，同樣可以從辯證的視角去審視它、思考它。小學(xué)生剛接觸數(shù)學(xué)的時(shí)候，也就接觸到了辯證的數(shù)學(xué)知識(shí)。換言之，數(shù)學(xué)教師在面對剛?cè)雽W(xué)的小學(xué)生時(shí)，就要有意識(shí)地用辯證的觀點(diǎn)構(gòu)建數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生辯證思維。

在一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)完“1至10的認(rèn)知”，能夠準(zhǔn)確點(diǎn)數(shù)及理解數(shù)的大小的基礎(chǔ)上，課題組教師設(shè)計(jì)了“神奇數(shù)字‘1’”的教學(xué)課，讓學(xué)生辯證理解“1”。師：“同學(xué)們看一看水果有多少，看誰說的數(shù)又快又準(zhǔn)？”隨著教師出示1根香蕉、1個(gè)櫻桃，學(xué)生快速說“1”。隨后教師出示的香蕉1根一根疊加至多根，教師出示的櫻桃從一個(gè)疊加至多個(gè)，學(xué)生分別快速說出相應(yīng)的數(shù)。這能讓學(xué)生在數(shù)的過程中體會(huì)數(shù)的含義及數(shù)的大小。隨后教師將之前散狀的水果以整體形態(tài)出現(xiàn)。

教師問：“你能用數(shù)字‘1’表示這些水果嗎？”教師引導(dǎo)學(xué)生用1把香蕉、1碗櫻桃來表達(dá)水果的數(shù)量，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中1個(gè)和多個(gè)的表述，即1副眼鏡有2個(gè)鏡片；1個(gè)小組有6個(gè)同學(xué)；1個(gè)年級(jí)有4個(gè)班；1個(gè)學(xué)校6個(gè)年級(jí)；1個(gè)國家有56個(gè)民族……在“1”個(gè)與多個(gè)的表達(dá)中，學(xué)生的辯證思維逐步發(fā)展，這也提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)后繼力。

（二）在聯(lián)系的情境中抓住“游戲公平”的本質(zhì)

“游戲公平”是北師大四年級(jí)教材關(guān)于“可能性”知識(shí)的教學(xué)內(nèi)容。在本節(jié)課教學(xué)中，教師注重創(chuàng)設(shè)游戲情境，讓學(xué)生在游戲中經(jīng)歷、體驗(yàn)如何使游戲規(guī)則公平。課堂重點(diǎn)通常放在學(xué)生動(dòng)手操作體驗(yàn)上，學(xué)生在操作實(shí)踐的基礎(chǔ)上理解“可能性”的“公平”出現(xiàn)。數(shù)學(xué)知識(shí)是彼此關(guān)聯(lián)的，是可聯(lián)系轉(zhuǎn)化的。

課題組教師在教學(xué)此部分內(nèi)容時(shí)，跳出單元的局限，將教學(xué)內(nèi)容放置在學(xué)生學(xué)習(xí)的整數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中思考，將“游戲公平”從平均除法的意義切入。教師問：“有6個(gè)蘋果，平均分給兩個(gè)同學(xué)，每人分得多少個(gè)？”對于四年級(jí)學(xué)生來說，這個(gè)問題非常簡單，學(xué)生輕松地回答著。

教師問：“這樣分公平嗎？為什么？”學(xué)生回答：“公平，因?yàn)槊咳朔值靡粯佣唷！苯處焼枺骸爱?dāng)我們將實(shí)物按人數(shù)平均分，每人得到的一樣多，此時(shí)的分配方案是公平的。下面請同學(xué)們看一看小明和小華玩的游戲公平嗎？如果公平請講一講為什么？如果不公平請你提出更改的方案。”隨后教師出示問題引導(dǎo)學(xué)生討論游戲公平性。討論游戲方案為擲骰子決定誰先走棋。擲骰子時(shí)，點(diǎn)數(shù)大于3，小明先行；點(diǎn)數(shù)小于3，小華先行。

由于本課是從平均分除法切入，學(xué)生自然將平均分的知識(shí)遷移到游戲公平中，將可能出現(xiàn)的機(jī)會(huì)平均分，從而得出這個(gè)游戲規(guī)則不公平的結(jié)論。基于對游戲公平的本質(zhì)就是平均分可能性的認(rèn)識(shí)，學(xué)生很快得出公平的方案：點(diǎn)數(shù)為1、3、5時(shí)小明先行，點(diǎn)數(shù)為2、4、6時(shí)小華先行；點(diǎn)數(shù)為1、2、3時(shí)小明先行，點(diǎn)數(shù)為4、5、6時(shí)小華先行；點(diǎn)數(shù)為2、5、6時(shí)小明先行，點(diǎn)數(shù)為1、3、4時(shí)小華先行……這些方案的背后都是將擲骰子出數(shù)字的6種可能性等分。

當(dāng)教師在教學(xué)中跳出知識(shí)單元的局限，運(yùn)用知識(shí)間動(dòng)態(tài)的關(guān)聯(lián)建構(gòu)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，學(xué)生學(xué)得輕松，思維更加深刻。

（三）在發(fā)展的情境中復(fù)習(xí)形成知識(shí)系統(tǒng)化

數(shù)學(xué)知識(shí)是動(dòng)態(tài)的，數(shù)學(xué)是由各動(dòng)態(tài)知識(shí)組成的一個(gè)系統(tǒng)化的有機(jī)體。在學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到一定儲(chǔ)備時(shí)，教師要將不同階段的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，促進(jìn)學(xué)生加深對知識(shí)的透徹理解的同時(shí)，使其學(xué)會(huì)用發(fā)展的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)、看問題。

六年級(jí)學(xué)生學(xué)完分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比例應(yīng)用題后，教師設(shè)計(jì)了一道應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法解答。題目如下：小猴子摘桃子的數(shù)量是猴媽媽摘桃子數(shù)量的50%，猴媽媽摘了16個(gè)桃子，小猴子摘了多少個(gè)桃子？本題目是以百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)，學(xué)生首先選擇從百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題角度來解答，即16×50%=8（個(gè)）。教師問：“小猴子摘桃子的數(shù)量是猴媽媽摘桃子數(shù)量的50%，這個(gè)數(shù)量關(guān)系變換表達(dá)角度，就是一道二年級(jí)學(xué)生可以解答的數(shù)學(xué)題，你能用二年級(jí)的知識(shí)解答這道六年級(jí)的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題嗎？”六年級(jí)的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題可以用二年級(jí)知識(shí)解答，學(xué)生立刻被教師的問題吸引，回答：“可以將‘小猴子摘桃子的數(shù)量是猴媽媽摘桃子數(shù)量的50%’表述為‘猴媽媽摘桃子的數(shù)量是小猴子摘桃子數(shù)量的2倍’，16÷2=8（個(gè)）?！痹诖嘶A(chǔ)上教師引導(dǎo)學(xué)生將50%用1：2的形式來表達(dá)，進(jìn)而這道百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題可以用六年級(jí)的化簡比知識(shí)進(jìn)行解答，即1：2=（8）：16。

同一道數(shù)學(xué)問題，它可以呈現(xiàn)為二年級(jí)的倍數(shù)應(yīng)用題，還可以呈現(xiàn)為六年級(jí)的比的應(yīng)用問題，當(dāng)然將此題“小猴子摘桃子的數(shù)量是猴媽媽摘桃子數(shù)量的50%”的數(shù)量關(guān)系用具體的數(shù)來表達(dá)，原題目可表述為：當(dāng)小猴摘1個(gè)桃子時(shí)，猴媽媽可摘2個(gè)桃子；當(dāng)小猴摘3個(gè)桃子時(shí)，猴媽媽可摘6個(gè)桃子；當(dāng)小猴摘4個(gè)桃子時(shí)，猴媽媽可摘8個(gè)桃子……當(dāng)小猴子和媽媽分別摘桃子的數(shù)量不斷出現(xiàn)時(shí)，小猴子摘桃子數(shù)量與猴媽媽摘桃子數(shù)量之間的比例關(guān)系保持不變，這時(shí)此題可以看成六年級(jí)正比例應(yīng)用題，當(dāng)然站在中學(xué)數(shù)學(xué)角度，它也可看成線性函數(shù)。

抓住數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長性，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度解決問題，學(xué)生收獲的不僅是問題解決的多種方法，更學(xué)會(huì)了用發(fā)展的視角看待數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的實(shí)踐研究

（一）新授課突出“聯(lián)系”

數(shù)學(xué)知識(shí)彼此關(guān)聯(lián)，“舊”知是“新”知的基礎(chǔ)，“新”知是“舊”知的升華。課題組教師在數(shù)學(xué)新授課教學(xué)設(shè)計(jì)中突出“舊”與“新”的聯(lián)系。抓住“新”“舊”知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)，為學(xué)生搭設(shè)解決“新”問題的思維腳手架。如前所述的“游戲公平”一課，教師突出了“新”知與“舊”知平均分除法的“聯(lián)系”。突出“游戲公平”的本質(zhì)就是將可能性平均分，這不僅幫助學(xué)生進(jìn)行深刻學(xué)習(xí)，而且培養(yǎng)學(xué)生“聯(lián)系”地看問題。

（二）練習(xí)課突出“辯證”

數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知識(shí)的過程是一種策略性的探索，其中蘊(yùn)含了深厚的解題智慧，而通常我們接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)則是這種探索過程后經(jīng)過整理、提煉出的程序化表達(dá)。為避免學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)練習(xí)課中形成一種機(jī)械的操練模式，課題組教師在練習(xí)課的設(shè)計(jì)中突出了知識(shí)的“辯證”式存在。如前面所述的“神奇數(shù)字‘1’”，在這節(jié)認(rèn)識(shí)數(shù)的練習(xí)課中，教師突出了“1”個(gè)與多個(gè)的辯證關(guān)系，使學(xué)生在學(xué)活的同時(shí)，收獲了“辯證”地看問題的經(jīng)驗(yàn)。

（三）復(fù)習(xí)課突出“發(fā)展”

數(shù)學(xué)是各部分知識(shí)彼此相連的有機(jī)體。在復(fù)習(xí)課中課題組教師突出知識(shí)的“發(fā)展”性。如前所述的六年級(jí)復(fù)習(xí)課，教師通過一題多解題目的建構(gòu)，將二年級(jí)的倍數(shù)除法、六年級(jí)的百分?jǐn)?shù)及正比例等知識(shí)有機(jī)串聯(lián)起來，使學(xué)生思維開闊的同時(shí)，學(xué)會(huì)“發(fā)展”地看問題。

注：本文系天津市教育科學(xué)規(guī)劃辦一般課題《“形變質(zhì)通”在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實(shí)施學(xué)科育人的應(yīng)用》（課題編號(hào)：CHE210123）的研究成果。

（李 輝）