20.為提升銷量，某電商在其網(wǎng)店首頁(yè)設(shè)置了一個(gè)“勇闖關(guān)，贏紅包”的游戲小程序，其游戲規(guī)則如下：在網(wǎng)頁(yè)上設(shè)置三個(gè)翻牌關(guān)卡，每個(gè)關(guān)卡翻牌結(jié)果只有兩種： Pass （通過(guò)）與 Fail （失?。?，若買家通過(guò)這三關(guān)，則認(rèn)為闖關(guān)成功；若三關(guān)均未通過(guò)或只通過(guò)三關(guān)中的一關(guān)，則游戲失敗；若三關(guān)中恰好通過(guò)兩關(guān)，則允許參加復(fù)活環(huán)節(jié).復(fù)活環(huán)節(jié)有兩個(gè)翻牌關(guān)卡，若兩關(guān)均通過(guò)，也認(rèn)為闖關(guān)成功，否則認(rèn)為闖關(guān)失敗.假定買家每一關(guān)通過(guò)的概率均為1/3，且各關(guān)卡之間是否通過(guò)相互獨(dú)立.若闖關(guān)成功，則買家可贏得 50 元的購(gòu)物紅包.若闖關(guān)失敗，則可獲得 10 元紅包，紅包均可直抵在該網(wǎng)店購(gòu)物的貨款.某日有 8100 人參與了游戲且均在該網(wǎng)店消費(fèi).

（1）求某買家參加這個(gè)游戲闖關(guān)成功的概率；

（2）求該日所有買家所獲紅包總金額 X 的數(shù)學(xué)期望；

（3）假定該電商能從未中獎(jiǎng)的買家的購(gòu)物中平均獲利 8 元/人，從中獎(jiǎng)的買家的購(gòu)物中平均獲利 120元/人（均不含所發(fā)紅包在內(nèi)）.試從數(shù)學(xué)期望的角度判斷該電商這一日通過(guò)游戲搞促銷活動(dòng)是否合算，并說(shuō)明理由.