形如 f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d （ a ， b ， c ， d∈R 且 a≠0 ）的函數(shù)通常被稱為三次函數(shù).相較于二次函數(shù)的零點問題，三次函數(shù)的零點問題較為復(fù)雜.解答三次函數(shù)的零點問題，往往需運用導(dǎo)數(shù)法，通過研究導(dǎo)函數(shù)來判斷出三次函數(shù)的單調(diào)性，以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及圖象的變化趨勢，來求零點的個數(shù)或取值范圍.

求解三次函數(shù)的零點問題的步驟為：

（1）對三次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)；

（2）令導(dǎo)函數(shù)為0，據(jù)此構(gòu)造出一元二次方程，并討論方程的判別式與0的關(guān)系.若方程的判別式小于或等于0，則函數(shù)單調(diào)遞增（遞減）；若方程的判別式大于0，則需根據(jù)求根公式或通過因式分解求得導(dǎo)函數(shù)的零點；

（3）用導(dǎo)函數(shù)的零點將函數(shù)的定義域劃分為幾個子區(qū)間，并在每個子區(qū)間內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的符號.由導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時，函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時，函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；

（4）根據(jù)極值的定義求得函數(shù)的極值，并畫出函數(shù)的圖象；

（5）研究函數(shù)圖象與 x 軸的交點的個數(shù)和位置，據(jù)此建立關(guān)系式，判斷出函數(shù)零點的個數(shù)，并求得其取值范圍.

在解答三次函數(shù)的零點問題時，我們往往要結(jié)合三次函數(shù)的圖象來確定零點的取值范圍或個數(shù).這就要求我們根據(jù)三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一元二次方程，討論方程的根的判別式、根的取值，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，明確函數(shù)圖象的大致變化趨勢.

一般地，對于三次函數(shù)，只有當(dāng)其中的一個極值為0時，函數(shù)才有2個零點.我們需先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性；然后確定函數(shù)的極值，并畫出函數(shù)的圖象；再結(jié)合函數(shù)的圖象找到使函數(shù)的圖象與 x 軸只有2個交點的情形，據(jù)此建立關(guān)系式，即可求得 a 的值.總之，在解答三次函數(shù)的零點問題時，要注意：

（1）掌握并熟練運用函數(shù)零點的定義；（2）根據(jù)函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為方程問題、不等式問題，通過討論方程的根的分布情況解不等式，明確導(dǎo)函數(shù)零點的取值，判斷出函數(shù)的單調(diào)性；（3）靈活運用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題；（4）熟悉三次函數(shù)的求導(dǎo)法則和極值的定義.這樣才能確?？焖佾@得正確的答案.

（作者單位：江蘇省無錫市立人高級中學(xué)）