［摘 要］轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表征了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中主體的主動(dòng)性、意義的建構(gòu)性和常識(shí)的轉(zhuǎn)化性，關(guān)聯(lián)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多個(gè)維度的轉(zhuǎn)換性，但并不是轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的簡(jiǎn)單推演，也不能被視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論現(xiàn)代發(fā)展的主要方向或者唯一的研究范式，而是要將數(shù)學(xué)的學(xué)科特質(zhì)和學(xué)習(xí)思維等屬性嵌入到那些看似相同或相似的轉(zhuǎn)換性過(guò)程中，需要重視數(shù)學(xué)活動(dòng)中意義的視角和圖式，在變化、變換和變式中建構(gòu)與完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)。好的轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅能引導(dǎo)數(shù)學(xué)教與學(xué)關(guān)系的轉(zhuǎn)變，而且能助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力提升和涵養(yǎng)核心素養(yǎng)教育的全面落實(shí)。

［關(guān)鍵詞］轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)思維；核心素養(yǎng)

［中圖分類(lèi)號(hào)］G720 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A ［文章編號(hào)］1005-5843（2024）05-0023-08

［DOI］10.13980/j.cnki.xdjykx.2024.05.004

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表征了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中主體的主動(dòng)性、意義的建構(gòu)性和常識(shí)的轉(zhuǎn)化性，契合了學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的需要。倡導(dǎo)并落實(shí)轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)于健全學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)制，幫助教師依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，化解核心素養(yǎng)培養(yǎng)制約因素具有非常重要的意義。本文基于轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)理論的再認(rèn)識(shí)，初步探討轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與價(jià)值。

一、關(guān)于轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)

在成人教育領(lǐng)域，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)指向了學(xué)習(xí)者世界觀、人生觀、方法論的檢視、質(zhì)疑、修正、調(diào)整、改造以及相關(guān)價(jià)值觀的重建，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)要適應(yīng)新情境、積累新經(jīng)驗(yàn)。轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)最初由美國(guó)哥倫比亞大學(xué)師范學(xué)院教授、成人教育學(xué)者杰克·麥基羅（Jack Mezirow ）在20世紀(jì)70年代提出，在學(xué)術(shù)界被認(rèn)為世界范圍內(nèi)成人學(xué)習(xí)領(lǐng)域影響最為深遠(yuǎn)的一種學(xué)習(xí)理論［1］。后來(lái)的研究者，比如保羅·弗萊雷（Paulo Freire）、羅伯特·博伊德（Robert Boyd）、克蘭頓（Patricia Cranton）、愛(ài)德華·泰勒（Edward W.Tayler）等人，基于已有學(xué)習(xí)理論的實(shí)踐與反思，融入了建構(gòu)主義、解放教育思想、批判性思維和認(rèn)知心理學(xué)等有關(guān)內(nèi)容，并因此推動(dòng)了轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)理論的深化與拓展［2］。

（一）轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)中的改變與轉(zhuǎn)變以意義為核心要素

就內(nèi)容而言，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)涉及學(xué)習(xí)者感知事物方式的改變，是一種與成人學(xué)習(xí)密切相關(guān)的過(guò)程或模式。這種學(xué)習(xí)觀認(rèn)為學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)習(xí)者知識(shí)結(jié)構(gòu)的改變，而且是學(xué)習(xí)者在觀點(diǎn)及信念體系上的轉(zhuǎn)變。學(xué)習(xí)者通過(guò)改變、轉(zhuǎn)變獲得許多新的信息，通過(guò)質(zhì)疑原有觀念開(kāi)啟以轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)化為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)。在轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)習(xí)者要從知識(shí)、技能的單純接受轉(zhuǎn)向意義的建構(gòu)，要通過(guò)使用先前的解釋來(lái)分析業(yè)已變化或修訂了的某一經(jīng)驗(yàn)的意義，促進(jìn)其所學(xué)知識(shí)及認(rèn)知思維向深層次轉(zhuǎn)變。關(guān)聯(lián)著轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的核心要素是意義，這是因?yàn)?，每個(gè)人都有由意義視角、意義圖式組成的固定的意義結(jié)構(gòu)。對(duì)學(xué)習(xí)者而言，有沒(méi)有發(fā)生轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)，需要評(píng)價(jià)其已有意義結(jié)構(gòu)是否發(fā)生了改變。好的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)將有助于學(xué)習(xí)者建立更有開(kāi)放性、包容性和區(qū)分性的新的意義結(jié)構(gòu)，可通過(guò)獲得的意義指導(dǎo)自身的行為。學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)是學(xué)習(xí)者自我建構(gòu)的結(jié)果，學(xué)習(xí)者可基于經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)生成學(xué)習(xí)的意義，建構(gòu)特定的知識(shí)與理解。學(xué)習(xí)者所擁有的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)對(duì)于學(xué)習(xí)中轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)不僅是不可或缺的，而且也是其在學(xué)習(xí)中進(jìn)一步進(jìn)行自我解構(gòu)的前提和基礎(chǔ)。

不同于單純知識(shí)或機(jī)械技能的簡(jiǎn)單性傳遞、轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)者對(duì)于知識(shí)結(jié)構(gòu)的改變，而且重視學(xué)習(xí)者對(duì)于自身認(rèn)知體系的轉(zhuǎn)變。在轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)過(guò)程中，既有對(duì)所學(xué)知識(shí)及其意義的主動(dòng)建構(gòu)，又有對(duì)已有知識(shí)、技能、過(guò)程、方法、信念或價(jià)值觀的評(píng)估和重構(gòu)，并因此顯現(xiàn)了學(xué)習(xí)中建構(gòu)與解構(gòu)的意義［3］。就學(xué)習(xí)的過(guò)程與方式而言，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)并非一個(gè)簡(jiǎn)單的線性過(guò)程，而是有其個(gè)性化、經(jīng)驗(yàn)性、流動(dòng)性等方面的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)者不同的生活背景、知識(shí)基礎(chǔ)、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)情境會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)的發(fā)生、維持與深化產(chǎn)生不同的影響，不同學(xué)習(xí)者的思維碰撞、合作探究和實(shí)踐反思有助于轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的效果改善。對(duì)個(gè)體而言，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)更多的是基于其已有的認(rèn)知、理解、關(guān)聯(lián)、分析、整合和反思而實(shí)現(xiàn)，為了將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，需要開(kāi)展具有一定批判性、反思性的學(xué)習(xí)檢視，并注重與他人進(jìn)行的互動(dòng)、交流。

（二）轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)離不開(kāi)學(xué)習(xí)者的自我主導(dǎo)力

較之于其他維度的改變，學(xué)習(xí)者心理結(jié)構(gòu)和信念系統(tǒng)的改變是根本性的學(xué)習(xí)改變。為了實(shí)現(xiàn)這種改變，學(xué)習(xí)者需要學(xué)習(xí)的自我主導(dǎo)力。缺少這種主導(dǎo)力，學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)會(huì)丟失其轉(zhuǎn)變的基礎(chǔ)，難以取得有價(jià)值的學(xué)習(xí)成果［4］。學(xué)習(xí)者之所以要學(xué)習(xí)，說(shuō)到底是為了改變，改變是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的目的。

為了實(shí)現(xiàn)有效改變的目的，參與式學(xué)習(xí)需要被進(jìn)一步倡導(dǎo)，這將有利于學(xué)習(xí)者在深度參與的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能和觀念等方面的有效轉(zhuǎn)變。學(xué)習(xí)者在參與式學(xué)習(xí)過(guò)程中的主導(dǎo)力可表現(xiàn)在多個(gè)方面。一方面，可表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)知識(shí)的主動(dòng)質(zhì)疑，因?yàn)橹挥袑?duì)原有觀念進(jìn)行主動(dòng)質(zhì)疑，學(xué)習(xí)者才有機(jī)會(huì)理性地檢視、發(fā)現(xiàn)其原有觀念所存在的問(wèn)題，才能據(jù)此進(jìn)一步了解、明晰其原有觀念“因?yàn)槭裁醇熬烤故窃鯓酉拗屏俗约簩?duì)世界或他人的觀察、理解、感受”。另一方面，可表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者的批判性反思，這種反思不僅涉及對(duì)學(xué)習(xí)者原有觀念來(lái)源及相關(guān)后果的批判性評(píng)估，而且涉及學(xué)習(xí)者在新境遇、新經(jīng)驗(yàn)中對(duì)原有觀念適切性、有效性的檢視，涉及學(xué)習(xí)者對(duì)于觀念之選擇、計(jì)劃之行動(dòng)、實(shí)踐之角色和主體間關(guān)系等維度的審思。

在數(shù)字化、自動(dòng)化和人工智能等技術(shù)日益廣泛運(yùn)用的時(shí)代，個(gè)體能否形成有效的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)，往往取決于個(gè)體能否對(duì)其原有的意義視角進(jìn)行批判與反思，批判性思維有助于其主體性的安頓、重塑［5］，學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)的批判性反思是其轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。從實(shí)踐層面來(lái)分析，對(duì)于批判性的自我反思也可具化為學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)中自我或他我的對(duì)話。事實(shí)上，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)是基于學(xué)習(xí)者已有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)知識(shí)及其認(rèn)知框架的改變也是學(xué)習(xí)者自我主導(dǎo)力的重要方面，學(xué)習(xí)者通過(guò)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行深刻性反思，可對(duì)所獲得的外部知識(shí)進(jìn)行組織、重新組織及基于評(píng)估而重構(gòu)。由于轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)不一定要通過(guò)理性的批判，不一定要局限于語(yǔ)言文字溝通等顯性的方式，所以轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)也可借助于諸如想象、默想等超理性的活動(dòng)或?qū)υ捳归_(kāi)［6］。

（三）轉(zhuǎn)換性意義存在于學(xué)習(xí)者的心理、信念和行為等層面

轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的目的不僅在于獲得知識(shí)與技能，而且在于促進(jìn)學(xué)習(xí)者成為主動(dòng)、能動(dòng)的思考者，能通過(guò)具有批判性的自我反思有效調(diào)整、修正其業(yè)已存在或已經(jīng)固化了的意義圖式，并因此使學(xué)習(xí)者能從原有的意義視角中解放出來(lái)，改變那些已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)前變化的一些世界觀、人生觀、價(jià)值觀或方法論，建立更新的意義視角，建構(gòu)更新的世界觀、人生觀、價(jià)值觀或方法論。

正是經(jīng)歷了轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)，才賦予了學(xué)習(xí)者心理、信念和行為等不同層面的轉(zhuǎn)換性意義。在心理層面，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)促進(jìn)了學(xué)習(xí)者的自我了解以及相關(guān)意識(shí)的改變，重視自我發(fā)展要適應(yīng)時(shí)代發(fā)展和社會(huì)需求，強(qiáng)化了學(xué)習(xí)者的深度學(xué)習(xí)和認(rèn)知重構(gòu)，并因此在不斷變化、充滿復(fù)雜性的社會(huì)環(huán)境中保持學(xué)習(xí)者應(yīng)有的靈活性、適應(yīng)性和發(fā)展性。在信念層面，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)促進(jìn)了學(xué)習(xí)者在世界觀、人生觀、價(jià)值觀和方法論等信念系統(tǒng)要素的改變，并因此使學(xué)習(xí)者在面對(duì)復(fù)雜多變的社會(huì)環(huán)境時(shí)能靈活地調(diào)整自己的認(rèn)知系統(tǒng)，更好地適應(yīng)和應(yīng)對(duì)來(lái)自不同方面的挑戰(zhàn)。在行為層面，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)促進(jìn)了學(xué)習(xí)者生活態(tài)度和方式的改變，強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)者主動(dòng)參與、內(nèi)在動(dòng)機(jī)對(duì)于學(xué)習(xí)及由此產(chǎn)生改變的重要性。

二、轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表征了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中主體的主動(dòng)性、意義的建構(gòu)性和常識(shí)的轉(zhuǎn)化性，關(guān)聯(lián)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多個(gè)維度的轉(zhuǎn)換性。然而，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不是轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的簡(jiǎn)單推演，也不能被視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論現(xiàn)代發(fā)展的主要方向或唯一的研究范式。

（一）轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的一般屬性

從學(xué)習(xí)的一般屬性來(lái)分析，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)包含了主體、認(rèn)知、非認(rèn)知、目標(biāo)、方法、策略和環(huán)境等多種因素，需強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)主體的目標(biāo)性、主動(dòng)性、能動(dòng)性、創(chuàng)造性、實(shí)踐性及其作為學(xué)習(xí)活動(dòng)組織者的引導(dǎo)作用。這也表明，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和其他學(xué)科的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)一樣，都具有某種相似或共同的轉(zhuǎn)換性過(guò)程，都是按照某種基本相同或相似的法則展開(kāi)具體的學(xué)習(xí)過(guò)程。

比如，對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是通過(guò)諸如上課、閱讀、交流、理解、分析、思考、探究、實(shí)踐等途徑而發(fā)生，不僅習(xí)得了數(shù)學(xué)的知識(shí)與技能，而且建構(gòu)了有關(guān)的思想與方法，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)認(rèn)知行為或行為潛能比較持久的變化。作為一個(gè)過(guò)程，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)涉及新舊知識(shí)間的連接及思維與認(rèn)知從無(wú)序到有序的轉(zhuǎn)化，涉及學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織與重新組織。作為一個(gè)結(jié)果，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)著知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)，既有知識(shí)、技能和能力等顯性成分，也有經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)、思維、情意等隱性成分。這也表明，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不僅僅局限于概念、命題、公理、定理等內(nèi)容的學(xué)習(xí)與轉(zhuǎn)換，而是要深入到學(xué)習(xí)者核心素養(yǎng)的建構(gòu)與發(fā)展，需對(duì)“三維一體”學(xué)習(xí)目標(biāo)升級(jí)或轉(zhuǎn)換。這是因?yàn)?，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一方面是對(duì)學(xué)生所擁有的具體數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)換，另一方面還同時(shí)轉(zhuǎn)換了學(xué)生的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與認(rèn)知信念體系，豐富或優(yōu)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)化綜合素質(zhì)。

（二）轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是嵌入數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)和思維建構(gòu)要求的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)

從數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊屬性來(lái)分析，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是具有數(shù)學(xué)學(xué)科這一特殊屬性的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)。

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)聚焦學(xué)生的概念理解和問(wèn)題解決，重視數(shù)學(xué)知識(shí)與思維的建構(gòu)，是一種具有科學(xué)性公共語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)，是抽象活動(dòng)的轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)，與抽象思維、邏輯推理、模型建構(gòu)和知識(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換密切相關(guān)。理解轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要高度重視數(shù)學(xué)學(xué)科特殊屬性在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的內(nèi)化，要圍繞數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本真問(wèn)題開(kāi)展轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分析、研究，并據(jù)此進(jìn)行轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵建構(gòu)。事實(shí)上，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所具有的邏輯性不僅體現(xiàn)于其數(shù)學(xué)活動(dòng)中嚴(yán)格的命題推理和嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)，而且體現(xiàn)在內(nèi)嵌于學(xué)習(xí)中的抽象性而需要抽象概念的學(xué)習(xí)、應(yīng)用及以此為基礎(chǔ)的推理和證明，需要關(guān)注一般性規(guī)律和普遍性問(wèn)題的研究。相應(yīng)地，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也發(fā)生于從具體到抽象、從特殊到一般之間的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換。

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有意義的抽象學(xué)習(xí)，需強(qiáng)調(diào)抽象學(xué)習(xí)過(guò)程中的意義賦予和抽象學(xué)習(xí)材料的潛在意義，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在面對(duì)抽象學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)要具備有意義的抽象學(xué)習(xí)心向，善于在已有知識(shí)及其與要學(xué)習(xí)新材料間建立聯(lián)系。數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)化屬性決定了轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是注重思維參與的數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)換性體現(xiàn)于數(shù)學(xué)化過(guò)程中數(shù)學(xué)思維由淺層次向深層次的轉(zhuǎn)換，學(xué)習(xí)者通過(guò)數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換獲得數(shù)學(xué)思維發(fā)展及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善。這也表明，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維建構(gòu)與發(fā)展這一關(guān)鍵，平衡好數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中意義性、常識(shí)性、抽象性、結(jié)構(gòu)性之間的關(guān)系。

從不同思維類(lèi)型來(lái)分析，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是學(xué)習(xí)者在不同數(shù)學(xué)思維間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)者不同思維相互協(xié)同、動(dòng)態(tài)平衡的學(xué)習(xí)。為此，不僅要認(rèn)識(shí)到抽象思維、邏輯思維對(duì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的本真作用，而且要認(rèn)識(shí)到合情推理思維對(duì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)所具有的重要價(jià)值。

為了深化學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要突出3個(gè)方面的努力。第一，高度重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，防止不知不覺(jué)陷入“掐頭去尾燒中段”的概念教學(xué)陷阱。這種陷阱突出了“一個(gè)定義”，強(qiáng)調(diào)了“三點(diǎn)注意”，然后進(jìn)行大容量數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練，教學(xué)過(guò)程貌似嚴(yán)密、無(wú)懈可擊，但并不真正有利于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的意義，相反會(huì)模糊概念內(nèi)涵與外延的清晰界限。第二，高度重視數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)習(xí)者的思維從工具性理解、運(yùn)算性理解走向關(guān)系性理解、結(jié)構(gòu)性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解，重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)精神的感悟，關(guān)注學(xué)生知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)的累積、激活、轉(zhuǎn)換、改造和創(chuàng)生。第三，高度重視學(xué)習(xí)不同維度的平衡，比如抽象思維與具體操作的平衡，學(xué)科邏輯與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的平衡，邏輯推理與合情推理的平衡，等等。

（三）轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)換性體現(xiàn)了基于常識(shí)的結(jié)構(gòu)性、層次性

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)換性是基于常識(shí)的轉(zhuǎn)化性，有其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性、層次性。根據(jù)弗賴登塔爾（H.Freudenthal）的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)是一種系統(tǒng)化常識(shí)，是轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維支架。事實(shí)上，無(wú)論是隱性數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成還是顯性數(shù)學(xué)關(guān)系的抽象建構(gòu)都離不開(kāi)學(xué)生以常識(shí)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是與“常識(shí)”“經(jīng)驗(yàn)性”“擬經(jīng)驗(yàn)性”密切相關(guān)的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)。一方面，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是源于、寓于學(xué)習(xí)者“常識(shí)”“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的能動(dòng)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和有序的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)必然有利于學(xué)生轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建構(gòu)與發(fā)展。另一方面，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生于學(xué)習(xí)者基于“常識(shí)”的“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”“反思”等數(shù)學(xué)活動(dòng)，轉(zhuǎn)換本身是一種過(guò)程性的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷，意味著學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。數(shù)學(xué)知識(shí)及其相關(guān)的邏輯思維隱藏于數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐之中，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)者經(jīng)由轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)習(xí)與思維結(jié)構(gòu)化的關(guān)鍵在于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，特別是能否基于學(xué)生“常識(shí)”“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”精心設(shè)計(jì)聚焦數(shù)學(xué)核心內(nèi)容、具有一定邏輯結(jié)構(gòu)、體現(xiàn)序列化特點(diǎn)的問(wèn)題。

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)換性還體現(xiàn)了基于常識(shí)的層次性，這是因?yàn)椋谄胀ǔＷR(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，需經(jīng)過(guò)必要的抽象、提煉和組織，并據(jù)此凝聚成可在高一層次成為新常識(shí)的法則。由此，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在本質(zhì)上也是由常識(shí)轉(zhuǎn)化為法則再轉(zhuǎn)化為新常識(shí)的螺旋上升過(guò)程。學(xué)習(xí)者頭腦中常識(shí)經(jīng)由數(shù)學(xué)教學(xué)法加工而實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化與轉(zhuǎn)換，這一過(guò)程不僅涉及對(duì)一些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式的分析、理解、內(nèi)化和應(yīng)用，而且還涉及到對(duì)一些數(shù)學(xué)思想方法的感悟與數(shù)學(xué)思維模式的建構(gòu)。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)在常識(shí)上的層次性還表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者在不同階段所存在著的常識(shí)的層次差異。比如，對(duì)于小學(xué)生而言，生活常識(shí)構(gòu)成了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，學(xué)生基于生活常識(shí)可設(shè)計(jì)一系列主體性數(shù)學(xué)活動(dòng)，不同數(shù)學(xué)活動(dòng)間與同一數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)部相互關(guān)聯(lián)、相互轉(zhuǎn)化，形成數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)中結(jié)構(gòu)框架的基礎(chǔ)，這時(shí)，數(shù)學(xué)常識(shí)既有個(gè)性化、直觀性特征，又有活動(dòng)性、實(shí)踐性特點(diǎn)。到了初高中之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)常識(shí)與數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更為緊密相關(guān)，不僅顯現(xiàn)了思維性、抽象性、關(guān)系性的特征，而且顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯與生活邏輯的整合。在此情況下，抽象不僅是轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基本思想，而且是學(xué)生形成、發(fā)展理性思維的重要基礎(chǔ)，學(xué)生通過(guò)對(duì)抽象和關(guān)系的把握建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)中分析性、論證性、創(chuàng)造性、實(shí)踐性的思維和相關(guān)的數(shù)學(xué)思維。從對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)引導(dǎo)來(lái)分析，把握了學(xué)生不同階段常識(shí)性特征，可更加合理地設(shè)計(jì)與常識(shí)密切相關(guān)的情景問(wèn)題，使學(xué)生在常識(shí)性的學(xué)習(xí)平臺(tái)上落實(shí)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)向數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)的有序轉(zhuǎn)化。

較之于其他學(xué)科中學(xué)習(xí)的引導(dǎo)，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中教師對(duì)學(xué)生引導(dǎo)要更加重視學(xué)生有序的“思想實(shí)驗(yàn)”和從操作層面落實(shí)概念性知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，并因此促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解。做不到這點(diǎn)，相關(guān)實(shí)踐就容易異化轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身，形成難以避免的局限性。比如，有一線數(shù)學(xué)教師將轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單地理解為變式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重視一題多變、一式多變、一圖多變、一題多解和一法多用，這些做法雖增進(jìn)了學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)果理解，但并沒(méi)有提升學(xué)生在思維或方法上的創(chuàng)新性、創(chuàng)造性，相反，是將具有復(fù)雜性、探究性、問(wèn)題性的數(shù)學(xué)過(guò)程學(xué)習(xí)進(jìn)行了降格處理，不僅窄化了轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，而且弱化了轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的功能與價(jià)值。

三、轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值

盡管轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不能被視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論現(xiàn)代發(fā)展的主要方向或唯一研究范式，但由于轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中意義視角、意義圖式的轉(zhuǎn)變，強(qiáng)調(diào)了從知識(shí)學(xué)習(xí)、技能訓(xùn)練轉(zhuǎn)向概念理解、問(wèn)題解決、思維進(jìn)階和能力提升，所以利于學(xué)生從多個(gè)角度審視、理解所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題及所探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)變化、變換和變式更有層次、更有深度地推進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者結(jié)合所學(xué)內(nèi)容、所用方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值和理念進(jìn)行反思；利于學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)活動(dòng)中內(nèi)化知識(shí)，實(shí)現(xiàn)由知識(shí)到能力、學(xué)力和素養(yǎng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目標(biāo)傳導(dǎo)，彰顯轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獨(dú)特價(jià)值。

（一）引導(dǎo)數(shù)學(xué)活動(dòng)中教與學(xué)關(guān)系的轉(zhuǎn)變

在轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視野中，數(shù)學(xué)教師不再只是數(shù)學(xué)活動(dòng)信息的提供者，而是逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槟軇?dòng)性數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、開(kāi)發(fā)者、組織者和促進(jìn)者，需將學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)換為學(xué)生可接受的形式，通過(guò)必要的教學(xué)準(zhǔn)備、內(nèi)容表征、方法選擇和活動(dòng)調(diào)適引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)［7］。轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是主體解放性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生需收集、分析、處理數(shù)學(xué)活動(dòng)的信息，但不再被動(dòng)地接收數(shù)學(xué)活動(dòng)信息，而是轉(zhuǎn)向自主、能動(dòng)的轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)意義的自我建構(gòu)。推動(dòng)轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅有助于數(shù)學(xué)課堂中教育教學(xué)方式的完善和良好師生關(guān)系的建立，而且有助于師生及時(shí)轉(zhuǎn)變那些并不恰當(dāng)?shù)蚜?xí)慣化了的數(shù)學(xué)教與學(xué)關(guān)系。之所以如此，是因?yàn)檗D(zhuǎn)換性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可為理解數(shù)學(xué)課堂中教與學(xué)關(guān)系的改變提供值得借鑒的行動(dòng)框架和具有指導(dǎo)意義的方法論，利于學(xué)習(xí)者深刻洞察數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)關(guān)系及基于教學(xué)關(guān)系的深刻洞察而對(duì)具有豐富性、實(shí)踐性的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的優(yōu)化、改進(jìn)。

從數(shù)學(xué)課堂中知識(shí)轉(zhuǎn)換角度來(lái)分析，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅關(guān)注學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)課堂中客觀性知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“從具體到抽象再到具體”“從特殊到一般再到特殊”不斷循環(huán)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，將接收到的客觀性知識(shí)內(nèi)化為學(xué)習(xí)者個(gè)體性知識(shí)。例如，為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面、數(shù)、式、函數(shù)、映射、關(guān)系等抽象概念，教學(xué)中不是要簡(jiǎn)單、直接地進(jìn)行相關(guān)概念的抽象化描述或提出一些形式化數(shù)學(xué)定義，而是以一些具體對(duì)象作為基礎(chǔ)，然后進(jìn)行必要的逐級(jí)抽象、描述、分析。但是，教學(xué)并不止于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的具體、特殊的感官體驗(yàn)或直觀理解，而是通過(guò)逐級(jí)抽象或一般化的數(shù)學(xué)過(guò)程建構(gòu)學(xué)生的抽象思維，構(gòu)建有意義的高階數(shù)學(xué)認(rèn)知。有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師可在提供大量相反意義量這一生活原型基礎(chǔ)上引入數(shù)學(xué)中正負(fù)數(shù)的概念，可通過(guò)對(duì)生活中諸如黑板面、墻面、地面、桌面、水面等自然界中的具體物體進(jìn)行必要抽象，揭示數(shù)學(xué)中“平面”這一概念所具有的“無(wú)限延伸性”“沒(méi)有厚度”等本質(zhì)特征。這些做法可幫助學(xué)生更好地建構(gòu)概念恰當(dāng)?shù)男睦肀碚?。更一般地說(shuō)，為了降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象的層次，教師可合理采用具體對(duì)象對(duì)一些抽象對(duì)象進(jìn)行替代，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)具體對(duì)象抽象化、特殊問(wèn)題一般化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義重構(gòu)。通過(guò)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)，不僅深化了學(xué)生對(duì)于有關(guān)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)策略的理解，而且提升了學(xué)生對(duì)于公共性、抽象性數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化的能力，利于學(xué)生將已內(nèi)化的個(gè)體性知識(shí)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為可分享的公共知識(shí)。

從學(xué)習(xí)過(guò)程中思維轉(zhuǎn)換來(lái)分析，課堂中要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，要引導(dǎo)學(xué)生善于將新知識(shí)、新命題轉(zhuǎn)化為其已掌握的舊知識(shí)、舊命題，學(xué)會(huì)師生角色轉(zhuǎn)換，從學(xué)生角度思考數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與任務(wù)，合理利用變式教學(xué)，通過(guò)“一題多解”“一法多題”“多角度思考”等方法激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生克服舊有思維惰性和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑依賴，學(xué)會(huì)靈活地改變數(shù)學(xué)思考的方向、角度，變換數(shù)學(xué)思維的方式、方法，通過(guò)改變問(wèn)題的方向或角度，將待解問(wèn)題從一種形式或形態(tài)轉(zhuǎn)換成另一種形式或形態(tài)。例如，面對(duì)一個(gè)待解的實(shí)際問(wèn)題，教師可引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化，將待求實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的諸如函數(shù)、方程或不等式等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考能否將所給實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)數(shù)據(jù)關(guān)系用某一具體函數(shù)、線性方程或不等式來(lái)表示，能否進(jìn)行相關(guān)圖像及其性質(zhì)分析，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一系列縱向數(shù)學(xué)化，通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、求解與反思來(lái)剖析待解實(shí)際問(wèn)題的答案。通過(guò)類(lèi)似的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生更有效地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)化、抽象問(wèn)題的具化、陌生問(wèn)題的熟化。

從數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式轉(zhuǎn)換來(lái)分析，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求關(guān)注學(xué)生的個(gè)性化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、跨學(xué)科性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、探究性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和創(chuàng)新思維發(fā)展，要求關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)化，重視學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)理論的掌握，并用它們來(lái)分析、理解、解決問(wèn)題。例如，在小學(xué)階段“認(rèn)識(shí)千米”這一知識(shí)學(xué)習(xí)中，可圍繞特定的知識(shí)主題，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)與體育、語(yǔ)文、信息科技以及道德法治等學(xué)科進(jìn)行橫跨的學(xué)習(xí)活動(dòng)。就與體育的橫跨而言，可設(shè)計(jì)跑步比賽中如何進(jìn)行距離測(cè)量的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在此活動(dòng)中，學(xué)生不僅要認(rèn)識(shí)“千米”的意義，而且要測(cè)算出每分鐘跑步的速度、預(yù)估完成1千米所需的時(shí)間。教師可在數(shù)學(xué)活動(dòng)中設(shè)計(jì)出標(biāo)注了起點(diǎn)、終點(diǎn)、中途點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)“千米”基礎(chǔ)上初步理解體育運(yùn)動(dòng)中距離和速度兩者間的關(guān)系。就與語(yǔ)文的橫跨而言，教師可指導(dǎo)學(xué)生閱讀與長(zhǎng)跑有關(guān)的報(bào)刊文章，從中提取出與距離、速度、時(shí)間等有關(guān)的信息，將所提取信息有效整合到具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，在完成數(shù)學(xué)問(wèn)題基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)一篇有個(gè)人體驗(yàn)的短文，描述自己一次長(zhǎng)跑經(jīng)歷及結(jié)合有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)討論如何進(jìn)行跑步策略優(yōu)化。就與信息科技的橫跨而言，可使用地圖軟件標(biāo)記不同地點(diǎn)間距離，幫助學(xué)生初步了解諸如地理信息系統(tǒng)等軟件的具體應(yīng)用，同時(shí)探索如何利用計(jì)算機(jī)編程對(duì)跑步比賽中的過(guò)程進(jìn)行模擬，理性分析不同速度對(duì)于完成1千米跑步距離所需時(shí)間的影響。就與道德法治的橫跨而言，可引導(dǎo)學(xué)生討論在長(zhǎng)跑比賽中為何要遵守競(jìng)賽規(guī)則、應(yīng)遵守哪些行為準(zhǔn)則及如何通過(guò)精確數(shù)學(xué)計(jì)算和活動(dòng)安排保證長(zhǎng)跑比賽公平性。這樣的轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅可使學(xué)生獲得多個(gè)學(xué)科學(xué)習(xí)體驗(yàn)，增加數(shù)學(xué)知識(shí)的理解性、致用性，而且通過(guò)對(duì)舊有教學(xué)模式的變革，可更好地激發(fā)學(xué)生卷入數(shù)學(xué)活動(dòng)的熱情，更有效地增強(qiáng)學(xué)生深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

（二）助推學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力提升

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅關(guān)注問(wèn)題解決過(guò)程中的形式轉(zhuǎn)換，而且關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)如何被學(xué)生內(nèi)化并轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力提升具有重要影響的核心信念和價(jià)值觀，關(guān)注所學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法的普遍性意義。比如，在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，不僅注意解題活動(dòng)中具體的數(shù)學(xué)思維，而且跳出具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)解題思維，通過(guò)解題后的歸納與總結(jié)，用更加凝練的語(yǔ)言提升、推廣解題活動(dòng)中的數(shù)學(xué)思維，從一般的思維活動(dòng)中尋覓由數(shù)學(xué)解題意義視角、意義圖式所組成的數(shù)學(xué)解題意義結(jié)構(gòu)，從更為一般的角度揭示解題活動(dòng)中所蘊(yùn)含的思想與方法的普遍性意義。從更廣泛的角度來(lái)審視，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中諸如“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”“實(shí)踐反思”“深度互動(dòng)”“整體性思維”“大概念”“結(jié)構(gòu)化”“跨學(xué)科”等主觀或客觀重組要素都契合了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力提升要求。

通過(guò)轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)更加關(guān)注作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力核心要素的數(shù)學(xué)思維，通過(guò)數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題轉(zhuǎn)換學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，通過(guò)合法性邊緣參與激活數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，通過(guò)優(yōu)化數(shù)學(xué)思維和分析、求解問(wèn)題獲得更加清晰、深入、全面、合理的思維轉(zhuǎn)換思路和問(wèn)題探求精神，將直觀、具體的思維轉(zhuǎn)換為理性、抽象的思維，并逐步走向具有求真、明體、達(dá)用的理性精神。較之于對(duì)理性認(rèn)知因素的重視，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也重視了與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力提升密切相關(guān)的非理性因素，將學(xué)生數(shù)學(xué)情意、空間想象、數(shù)學(xué)直覺(jué)等視為轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得以實(shí)現(xiàn)不能缺位的因素和重要的動(dòng)力。例如，在初中“等腰三角形的基本性質(zhì)”這一數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀就是數(shù)學(xué)活動(dòng)不能缺位的因素和重要的動(dòng)力。這是因?yàn)?，在引?dǎo)學(xué)生對(duì)“兩個(gè)底角相等”“頂角平分線、底邊上中線、底邊上高相互重合”這些性質(zhì)的探究中，教師首先需要學(xué)生通過(guò)直觀進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)的感知、猜想而非嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)證明或概念界定，數(shù)學(xué)直覺(jué)對(duì)于學(xué)生理解等腰三角形性質(zhì)及與此相關(guān)的學(xué)習(xí)力就可起到關(guān)鍵性作用。畢竟，等腰三角形兩個(gè)底角相等是一個(gè)直觀概念，這種直觀感知能讓學(xué)生快速地識(shí)別、應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)，可直接領(lǐng)悟、洞察“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)。認(rèn)知與非認(rèn)知兩類(lèi)因素相互協(xié)同，既強(qiáng)化了學(xué)習(xí)者對(duì)思維習(xí)慣的改變，又強(qiáng)化了學(xué)習(xí)者對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，重視數(shù)學(xué)課堂中通過(guò)互動(dòng)與交流提高數(shù)學(xué)洞察力、達(dá)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共識(shí)。

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)技能發(fā)展過(guò)程的同時(shí)，也關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程與方法的優(yōu)化，要求學(xué)生持續(xù)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，不斷增加數(shù)學(xué)活動(dòng)的方向感、目標(biāo)感、實(shí)踐感及反思性和進(jìn)階性，并因此使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從一種狀態(tài)、形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)、形式。例如，教師可通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于符號(hào)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程、轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)、假設(shè)、比較、分類(lèi)討論、模型化等思想方法的掌握，寓思想方法于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，能有效增加學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)及與學(xué)習(xí)本身有關(guān)的方向感、目標(biāo)感、體系性，不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)能力。就具體的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)而言，擁有轉(zhuǎn)化思想方法的學(xué)生不僅能正向地思考、分析待探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且可通過(guò)逆向性的數(shù)學(xué)思維，從待探求結(jié)果出發(fā)，逐步地分析、推導(dǎo)出當(dāng)前待探究問(wèn)題的前因，并因此找到問(wèn)題求解關(guān)鍵點(diǎn)。好的轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)營(yíng)造有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)環(huán)境，搭建師生互動(dòng)交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)、能動(dòng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)參與和批判性的數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生能基于抽象、推理和模型建構(gòu)進(jìn)行理性對(duì)話。

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可涵養(yǎng)學(xué)生可遷移、可持續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)力。例如，正是從“轉(zhuǎn)換”和“遷移”角度分析，可看到新數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)也是已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)重新梳理與再認(rèn)識(shí)的過(guò)程。就數(shù)認(rèn)識(shí)的擴(kuò)展而言，數(shù)系擴(kuò)張不僅僅是從一元數(shù)系到二元數(shù)系的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，而且是涉及代數(shù)、拓?fù)浜虶alois理論等數(shù)學(xué)分支的復(fù)雜性數(shù)學(xué)化過(guò)程，與此相關(guān)，學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)學(xué)力也就涵養(yǎng)于轉(zhuǎn)換性中的學(xué)習(xí)遷移和可持續(xù)性數(shù)學(xué)思考。中小學(xué)階段，先后經(jīng)歷了從整數(shù)到有理數(shù)、從有理數(shù)再到實(shí)數(shù)、從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)張，數(shù)系擴(kuò)張學(xué)習(xí)也是轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從中可逐步地?cái)U(kuò)展學(xué)生對(duì)于數(shù)的理解和運(yùn)算能力。在小學(xué)階段，經(jīng)歷了從自然數(shù)到正有理數(shù)擴(kuò)張。在初中階段，經(jīng)歷了從有理數(shù)到實(shí)數(shù)擴(kuò)張。在高中階段，經(jīng)歷了從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)擴(kuò)張，復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程就變成實(shí)數(shù)域上有關(guān)知識(shí)重新復(fù)習(xí)與認(rèn)識(shí)過(guò)程。學(xué)生可用新學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)知識(shí)重溫初中階段代數(shù)式各種運(yùn)算的知識(shí)，可用新學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)知識(shí)重新認(rèn)識(shí)幾何變換，重新理解高中階段所學(xué)向量、三角、不等式與解析幾何等知識(shí)。這樣的轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅感受到新舊數(shù)學(xué)知識(shí)間的差異性，而且使以前所學(xué)舊知識(shí)在新情境中獲得了新生，舊知識(shí)成為新知識(shí)的特殊情況，新知識(shí)成為舊知識(shí)的拓展、提升，學(xué)生對(duì)于舊知的復(fù)習(xí)過(guò)程和新知的內(nèi)化過(guò)程也成為數(shù)學(xué)學(xué)力的涵養(yǎng)過(guò)程。事實(shí)上，在轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)活動(dòng)方式，需探究問(wèn)題、解析概念、轉(zhuǎn)化思維、明理達(dá)用，需改變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念、數(shù)學(xué)活動(dòng)價(jià)值觀念、數(shù)學(xué)思維方式，在循理而行的數(shù)學(xué)化活動(dòng)過(guò)程中體會(huì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提升所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的層次和數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐品性，并通過(guò)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系建立和新舊知識(shí)間相似性發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中高通路遷移實(shí)現(xiàn)。

（三）涵養(yǎng)核心素養(yǎng)教育的全面落實(shí)

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅關(guān)注不同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的相似性、關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)性，關(guān)注師生對(duì)于核心素養(yǎng)及其培養(yǎng)理念的理解，而且注重從已有數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，通過(guò)改變特定問(wèn)題的情境、條件、障礙或待解的目標(biāo)，進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)命題的變化、轉(zhuǎn)換，提出新的概念、方法、問(wèn)題、命題，引導(dǎo)教師使用與核心素養(yǎng)建構(gòu)相適配方法優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的自主性、能動(dòng)性，自覺(jué)地加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解和靈活應(yīng)用。這些做法將有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的交流、應(yīng)用與傳遞中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值創(chuàng)造，將不復(fù)雜的工具性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及時(shí)轉(zhuǎn)向較復(fù)雜的溝通性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)向最復(fù)雜的解放性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)［8］?？梢?jiàn)，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能將學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與品格，促進(jìn)師生運(yùn)用更加合理、有效的途徑落實(shí)以核心素養(yǎng)培養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)轉(zhuǎn)化工作。根據(jù)Mezirow對(duì)轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)的研究［9］，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可更好地聚焦學(xué)生所秉持的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義，有助于核心素養(yǎng)的落實(shí)。這是因?yàn)?，轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是與傳統(tǒng)授受式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式不同的學(xué)習(xí)，它以增長(zhǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力為學(xué)習(xí)目的，以學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展、核心素養(yǎng)建構(gòu)為學(xué)習(xí)價(jià)值，以學(xué)生正確價(jià)值觀建立為學(xué)習(xí)情感，是轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀及數(shù)學(xué)活動(dòng)信念體系的能動(dòng)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。通過(guò)轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生可將已有數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法合理應(yīng)用到新情境中，從而提升其抽象、推理、模型化的數(shù)學(xué)能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合素質(zhì)，這本身就是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)所倡導(dǎo)并強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力與必備數(shù)學(xué)品格。美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家舍費(fèi)爾德（Schoerfeld）指出：“我所希望的并非僅僅是教會(huì)我的學(xué)生解決問(wèn)題——特別是別人所提出的問(wèn)題，而是幫助他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考。”［10］從實(shí)踐角度來(lái)分析，轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)不僅利于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，而且利于學(xué)生改進(jìn)數(shù)學(xué)思考方式和問(wèn)題分析、解決的策略，于知識(shí)、思維和觀念的縱向聯(lián)結(jié)中提升核心素養(yǎng)。比如，通過(guò)思維導(dǎo)圖、逆向思維、合情推理思維等方法與技術(shù)，學(xué)生可打破其固有的思維模式，促進(jìn)自己從不同角度思考如何進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換、如何進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容間聯(lián)系、如何進(jìn)行問(wèn)題分析與解決途徑拓展等。在這樣的轉(zhuǎn)換性學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生可經(jīng)由聯(lián)系提升思維的深刻性，經(jīng)由轉(zhuǎn)換提升思維的靈活性，并因此使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷從數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)階、綜合走向數(shù)學(xué)思維的分化、深化，然后走向數(shù)學(xué)觀念的整合、提升。

轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有助于涵養(yǎng)核心素養(yǎng)教育還表現(xiàn)為轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)差生的轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為一種深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，對(duì)差生的幫助不僅僅表現(xiàn)為對(duì)差生數(shù)學(xué)知識(shí)積累及其品質(zhì)的關(guān)注，而且表現(xiàn)為對(duì)差生數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情意以及能否學(xué)好數(shù)學(xué)信念的關(guān)注，重視對(duì)差生不當(dāng)觀念、不當(dāng)信念的轉(zhuǎn)變。許多學(xué)生之所以淪為數(shù)學(xué)差生，不是因?yàn)樗麄儾幌雽W(xué)數(shù)學(xué)，而是因?yàn)樗麄儾粫?huì)學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)不會(huì)數(shù)學(xué)。通過(guò)轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可循序漸進(jìn)地對(duì)差生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，使他們?cè)诮處煄椭轮鲃?dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，更積極地思考數(shù)學(xué)，更自覺(jué)地重視學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度理解，科學(xué)地克服死記硬背等機(jī)械化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，努力建構(gòu)品質(zhì)更加良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，在數(shù)學(xué)問(wèn)題求解過(guò)程中，教師可借用波利亞（George Polyd）所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)啟發(fā)法對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題計(jì)劃、方法和策略的引導(dǎo)。調(diào)研表明，數(shù)學(xué)差生很容易在學(xué)習(xí)策略、自尊心和自信心等方面存在缺陷或不足。通過(guò)轉(zhuǎn)換性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可幫助數(shù)學(xué)差生有針對(duì)性地獲得有效學(xué)習(xí)策略，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換、命題轉(zhuǎn)化，更理性地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)自我設(shè)定和數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程自我引領(lǐng)，建立積極、主動(dòng)、自覺(jué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，在成功的數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)中提高自尊心、自信心和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自我效能感。

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Transformational Mathematics Learning： Meaning and Value

Abstract： Transformative Mathematics Learning represents the initiative of the subject， the constructiveness of meaning and the transformation of common sense in mathematics learning activities， it is related to the convertibility of many dimensions in mathematics learning， but it is not a simple deduction of the convertibility learning theory in mathematics learning activities， it should not be regarded as the main direction or the only research paradigm of the modern development of mathematics learning theory， but should embed the characteristics of mathematics subject and learning thinking into those seemingly same or similar transformative processes， it is necessary to pay attention to the angle of view and schema in mathematics activities， to construct and perfect the structure of mathematics knowledge in the process of change， transformation and variation， and to transform mathematics knowledge into mathematics ability and core accomplishment. A good transformative mathematics learning can not only guide the change of the relationship between mathematics teaching and learning， but also promote the improvement of students mathematics learning ability and the implementation of the education of self-cultivation core competency.

Key words：transformative mathematics learning; mathematical knowledge; mathematical thinking; core quality