[摘 要] 文章以兩道高考解析幾何試題為載體，多角度探究解決方法.從運動變化的源頭上由因導果，順勢而為;以目標為導向由果索因，逆向思考;從斜率雙用的角度建立直線方程;從二次曲線系的角度用一次（直線）建構二次;通過平移齊次化建構直線斜率的和積關系;通過二次曲線的極點、極線來解決定點、定直線問題.

[關鍵詞] 解析幾何;多視角;定點;定直線

解析幾何的研究對象是幾何，研究方法是解析法，對象的載體是直線與圓錐曲線. 在點或線的運動變化中蘊藏著的不變性成為高考解析幾何試題探究的主要內容，就是這種變與不變?yōu)楦呖济}增添了新意，為考生解題增加了挑戰(zhàn). 為方便高三師生在二輪、三輪復習或高考沖刺階段從多維度、多視角拓寬解題思路，提高解題效率，筆者以兩道高考解析幾何試題為例，展開多視角探究，與同行交流.

試題呈現(xiàn)

例1 （2020年高考全國Ⅰ卷理科第20題）已知A，B分別為橢圓E：+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，·=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

例2 （2023年高考全國Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-2，0），離心率為.

（1）求C的方程;

（2）記C的左、右頂點分別為A，A，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA與NA交于點P，證明：點P在定直lLtYYxjtm82HtBW58dVVfQ==線上.

多視角分析（例1、例2的第（2）問）

視角1 從源頭來看

例1的源頭是動點P（6，y）：點P的變化引起直線PA和PB的變化，而直線PA和PB的變化引起交點C，D的變化，即直線CD隨之變化. 順著以上思路完成以下工作（見圖3），即可解決這個問題.

例2的源頭是動直線MN：直線MN的變化引起點M和N的變化，于是直線AM和AN隨之而變，兩直線的交點P也隨之而變. 順著以上思路完成以下工作（見圖4），即可解決這個問題.

證明 由第（1）問可得A（-2，0），A（2，0），設M（x，y），N（x，y），顯然直線MN的斜率不為0，所以設直線MN的方程為x=my-4，且-<m<，與-=1聯(lián)立可得（4m2-1）y2-32my+48=0，則Δ=64（4m2+3）>0，y+y=，yy=.

直線MA的方程為y=（x+2），直線NA的方程為y=（x-2）.聯(lián)立直線MA與直線NA的方程，得======-.

由=-，得x=-1，即x=-1. 因此，點P在定直線x= -1上.

視角2 從目標來看

例1的目標是直線CD，直線CD與橢圓交于C，D兩點，直線AC與BD交于點P. 順著以上思路完成以下工作（見圖5），即可解決這個問題.

上述思路可行，但是通過求C，D兩點的坐標去求直線AC和BD的方程，運算較為復雜，有沒有簡化運算，繞開求C，D兩點坐標的方法呢？可以嘗試將C，D兩點與已知點B聯(lián)系起來. 由于k=，k·k=-，因此k=-. 又k=，所以k·k=-，即k·k=·== -. 這樣就不需要求出C，D兩點的坐標，使用韋達定理即可.

視角3 從直線斜率雙用來看

例1 由k=3k，得k=3k，xy+3y=3xy-9y，由k·k=-=-和k·k=-=-，對k=3k進行斜率雙用替換，最終得到直線CD的一般式方程，進而發(fā)現(xiàn)直線CD過定點（見圖6）.

斜率雙用的前提結論：

（1）若A（x，y） ， B（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上任意兩點，則k==-·;

若A（x，y） ， B（x，y）是雙曲線-=1 （a>0，b>0）上任意兩點，則k==·;

若A（x，y），B（x，y）是拋物線y2=2px上任意兩點，則k==.

（2）直線l過P（x，y） ，P2（x，y）兩點，P（x，y）為直線l上任意點，則直線l的兩點式方程為=?（y-y）x-（x-x）y+xy-xy=0.

視角4 從二次曲線系來看（二次曲線系方程的相關結論見文[1]）

例1 設直線CD：x=my+n，即x-my-n=0;直線CA：y=（x+3），即tx-9y+3t=0;直線BD：y=（x-3），即x-3y-3t=0;直線AB：y=0.

設過點A，B，C，D的二次曲線方程為（tx-9y+3t）（x-3y-3t）+λy（x-my-n）=0，整理得x2+y2+xy+y-9=0①. 橢圓E：+y2=1，即x2+9y2-9=0②.

由①②兩式的系數(shù)對應相等，得λ-12t=0，

18t-nλ=0，整理得18t-12tn=0，所以n=，CD：x=my+，所以直線CD過定點

另外，也可以這樣解答：

設P（6，t），則直線PA的方程為y=（x+3），即tx-9y+3t=0.同理可得直線PB的方程為tx-3y-3t=0.

經(jīng)過直線PA和直線PB的方程可寫為（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）=0，化為t2（x2-9）+27y2-12txy+18ty=0①.

易知A，B，C，D四點滿足上述方程，同時A，B，C，D四點又在橢圓E：x2-9=-9y2上，將其代入①式得（27-9t2）y2-12txy+18ty=0，即y[（27-9t2）y-12tx+18t]=0，可得y=0或（27-9t2）y-12tx+18t=0.其中y=0表示直線AB，而（27-9t2）y-12tx+18t=0表示直線CD. 令y=0，得x=，即直線CD過定點

例2 設直線MN：x=my-4，即x-my+4=0;直線AM：x=hy-2，即x-hy+2=0;直線AN：x=ty+2，即x-ty-2=0;直線AA：y=0.

設過點M，N，A，A的二次曲線方程為（x-hy+2）（x-ty-2）+λy（x-my+4）=0，整理得x2+（ht-λm）y2+（λ-h-t）xy+（4λ+2h-2t）y-4=0①.雙曲線C：-=1，即x2-y2-4=0②.

由①②兩式的系數(shù)對應相等，得λ-h-t=0，

4λ+2h-2t=0，即

h=-λ，

t=λ.所以AM：x=-λy-2，AN：x=λy+2. 聯(lián)立AM，AN，有

x=-λy-2，

x=λy+2，整理得x=-1. 所以，點P在定直線x=-1上.

視角5 從平移齊次化來看

例1 將橢圓E：+y2=1和直線x=6整體向左平移3個單位，橢圓E的右頂點為坐標原點，得到曲線E′：+y2=1（整理為x2+9y2+6x=0）和直線x=3. 設直線CD經(jīng)過同樣的平移后的直線l′：mx+ny=1，將其代入x2+9y2+6x=0，得x2+9y2+6x（mx+ny）=0，整理得9

+6n

+6m+1=0.

令k=，方程9k2+6nk+6m+1=0的兩根即B′C′，B′D′的斜率.據(jù)題意得kk==-，解得m=-，所以直線l′：-x+ny=1，過定點M′

-，0

，則直線CD過定點M

，0

.

例2 將雙曲線C：-=1和直線MN整體向右平移2個單位，雙曲線的左頂點平移至坐標原點，得到曲線C：-=1，整理為4x2-y2-16x=0.設直線MN經(jīng)過同樣的平移后的直線M′N′：mx+ny=1，將其代入4x2-y2-16x=0，得4x2-y2-16x（mx+ny）=0，整理得

+16n

+16m-4=0.

令k=，方程k2+16nk+16m-4=0的兩根k，k即A′M′，A′N′的斜率. 據(jù)題意得k+k=-16n，kk=16m-4. 因為直線M′N′：mx+ny=1過點（-2，0），所以m=-，kk=-12.

令k=k，則kk==4，所以=-3. 設直線MA：y=k（x+2），NA：y=k（x-2），兩式聯(lián)立得k（x+2）=k（x-2），==-3，x=-1. 所以，點P在定直線x=-1上.

總結 已知平面內一定點A（m，n）和圓錐曲線上兩個動點P，Q，當k+k=k或k·k=k時，可以用平移齊次化方法來解決，解決步驟整理如下：

第一步，將直線與圓錐曲線平移，使題設中給定的點成為坐標原點.對于平移后的方程可以這樣書寫：x“左加右減”，y“下加上減”.

第二步，將平移后的直線方程設為mx+ny=1，這樣方便下一步代換“1”.

第三步，化簡平移后的圓錐曲線方程，按各項次數(shù)排列整理為整系數(shù)方程后，將“mx+ny”乘到一次項上得到齊二次方程.兩邊同時除以x2得到關于k的一元二次方程，進而利用韋達定理解決問題.

視角6 從極點極線來看

例1 據(jù)題意可知，直線CD所過定點與點P所在定直線是關于橢圓E的一組極點與極線. 直線CD過定點M（x，0），橢圓E：+y2=1，點P所在定直線為+0·y=1，即x=，即=6，所以x=.所以直線CD過定點M

，0

.

例2 據(jù)題意可知，直線MN所過定點與點P所在定直線是關于雙曲線C的一組極點與極線.直線MN過定點M（-4，0），雙曲線C：-=1，點P所在定直線為-=1，即點P在定直線x=-1上.

極點、極線的相關結論：

已知圓錐曲線C：Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0（A2+B2≠0）的極點為A（x，y），極線l：Axx+Byy+D（x+x）+E（y+y）+F=0.

（1）已知橢圓C：+=1（a>b>0），若點A（x，y）是橢圓C上任意一點，其對應極線為：直線+=1;

（2）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），若點A（x，y）是雙曲線C上任意一點，其對應極線為：直線-=1;

（3）已知拋物線C：y2=2px，若點A（x，y）是拋物線C上任意一點，其對應極線為：直線yy=p（x+x）.

教學建議

針對上述六個不同視角，建議教師在日常教學中將視角1和視角2下的解決路徑和運算過程示范到位，落實到位.有必要親眼“目睹”學生的思考過程和運算過程，需要拿出“算不出結果誓不罷休”的氣魄，因為這是考生必須熟練掌握的通性通法. 對于視角3和視角4，需要教會學生其適用范圍，識別試題特征，夯實基礎知識. 視角5是倍受學生喜愛的方法，建議以本文為例，找出近些年高考中的相關試題供學生專項訓練. 視角6則只適用于以極點、極線為背景設置的問題，雖然適用范圍較窄，但考生如果熟悉，在解答相關問題時可以做到未卜先知，游刃有余.

參考文獻：

[1] 周躍佳. 運用二次曲線系方程巧解高考解析幾何試題[J]. 數(shù)學教學通訊，2024（15）：91-93.

作者簡介：周躍佳（1986—），高級教師，昆明三中副校長，云南師范大學碩士生導師，全國杰出教師，云南省級優(yōu)課名師，市級名師，區(qū)級名師，市級骨干教師，區(qū)級學科帶頭人.